Otras carreras Que tan alto podemos hacer un edificio?

[Richard R Richard]

De que material y que altura maxima, podemos construir una columna autosostenida anclada a la tierra, que no se cae por su propio peso, despreciemos el pandeo.

Aqui les doy datos de materiales o aleaciones, mezclas etc , y por supuesto el problema es abierto a que propongan otros si les parecen mejores o discutibles los que les presento.

Material	Modulo de young GPa	Resistencia a la tracción MPa	Resistencia a la compresión MPa	Densidad kg/m^3
Acero	210	500	400	7800
Aluminio	70	90	50	2700
Grafeno	1000	50000	98	1750
Piedra(granito)	50	5	50	2800
Hormigon	23	10	40	2200

[JCB]

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Hola a tod@s.

Gracias por proponer interesante ejercicio, Richard. Cuando escribes “que no se cae por su propio peso”, entiendo que te refieres a que el peso propio no genera una tensión de compresión superior a la admisible, en la base inferior de la columna. Si es así, diría que falta el dato de la densidad del material, aunque podría estar equivocado, faltaría más.

$\sigma_c=\dfrac{P}{S}=\dfrac{\rho Vg}{S}=\dfrac{\rho Shg}{S}=\rho gh$,

$h=\dfrac{\sigma_c}{\rho g}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

oops ya los busco y agrego editando .....Hecho gracias JCB

[sater]

Buenas Richard.

Lo que quieres ver, si no entiendo mal, ¿es cuándo se sobrepasaría el esfuerzo de ruptura del material? Tengo el tema algo oxidado.

Lo que si recuerdo (por unas clases particulares que le dí a una chica que estudiaba veterinaria) eran unos problemillas sobre cuál es la máxima altura de los árboles para que no se caigan por su propio peso. La idea era que, como el centro de gravedad usualmente no estará sobre la base (y lo mismo podríamos decir de las columnas), se genera un momento externo que produce pandeo, y cuando este supera a las fuerzas internas (que se pueden relacionar con el módulo de Young) el árbol/columna se cae. De hecho, tenía una grafiquilla con datos reales donde se veía que el resultado teórico se ajustaba muy bien a la realidad.

Creo que para que una columna se caiga, necesariamente en algún momento habrá que considerar el pandeo.

Un saludo.

[JCB]

sater: quizás te refieres a la carga crítica de Euler con un extremo empotrado y el otro libre, aplicando la carga (el peso) en el cdm. En todo caso, si no se tiene en cuenta a ésta, el ejercicio es más sencillo, aunque menos representativo de la realidad.

[sater]

Me refiero a lo que aparece en la página 12 del documento que se puede ver en el siguiente enlace: http://ocw.uv.es/ciencias/fisica/clase3.pdf El L crítico que calculan es lo que recuerdo enseñar a calcularle a la chica que mencionaba.

Por lo demás es que no sé que es la carga crítica de Euler (yo de elasticidad di un temilla en primero de carrera y aprendí más bien poco).

[Richard R Richard]

Hola Gracias por el interés, propongo el problema para pasar el encierro...en el problema. yo estoy proponiendo que en base a los conocimientos básicos de resistencia de materiales, calculemos la altura de una columna de altura máxima,que no se "caiga" por su propio peso, solo despreciemos el pandeo, ya que ese problema se ataca de otro modo. Si hay ciertos limites que no podemos superar, entonces que datos usas , si los usas y porque , y si propones otro que mejore la altura, mas interesado estoy y estaremos creo...

para hacerlo fácil una barra cilíndrica de radio R, o buen hueca, un perfil hexagonal, rectangular, lo mismo es... Digamos que nos saltamos las licencias de seguridad necesarias.

[sater]

Pero lo que no entiendo es como se va a caer si no se "vuelca". Las cosas se caen porque se inclinan, ¿no? Siento estar liando más el hilo, es que este tema lo llevo flojo.

[Richard R Richard]

Llamo "caer" a superar un limite, el creas conveniente y veremos si resulta, que haga inestable la estructura, ejemplo un pequeño desequilibrio en la distribución sobre la vertical, en la estructura puede crear pandeo, pero no es lo que busco, en definitiva si te aclaro mas, acoto el problema y el abanico de soluciones.
cabe preguntarse, la sección es constante?
los materiales tecnologicos son o no mejores?
Que pasa si le ponemos una taza de café encima de la torre?
Necesitamos o no mas material para que soporte la taza?
Ese el el tipo de ideas a desarrollar en el , hilo JCB , ya dio una idea de como calcular la altura, pero cual material escoje , cual es el limte que se impone?
Por ese lado me parece divertido y constructivo debatir.

[sater]

Vale, creo que entiendo. Pensaré algo a ver :P

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias sater, por el enlace que has indicado en tu comentario # 3.2. Es interesante la aplicación de la Resistencia de Materiales a la Biología. Intentaré deducir como se llega a esa expresión, a partir de la carga crítica de Euler. Por otra parte, y según parece, la altura máxima de un árbol también estaría limitada por la capacidad de subida de los nutrientes de la tierra hasta las hojas. Y quizás algún otro factor limitador que un biólogo nos explicaría con mayor conocimiento de causa.

En el primer párrafo del comentario # 4.2, Richard me ha hecho pensar en una columna de sección variable. Estoy intentando llegar a una conclusión a partir de un sólido isotensional, pero como en este caso no hay carga en la base superior de la columna, estoy encallado en una singularidad.

Salud y gracias,
JCB.

[Richard R Richard]

Vayamos tirando líneas principales,

Cuál sería el límite que no podemos pasar?

la columna vertical esta solicitada entre base y su altura por su propio peso, esto crea carga de compresión, y es la única que tendremos en cuanta para sencillez, ya dijimos que pandeo, vientos laterales. cargas de seguridad no los tenemos en cuenta.

Es entonces el límite de ruptura por compresión el que no podemos pasar, pues diría que no, cuando se llega a ese limite ya hubo deformación plástica, lo que con muy baja probabilidad deje en pie la columna, la deformación en frío, depende de la estructura interna, que no tiene porque ser perfectamente uniforme.

Entonces el limite que nos proponemos no cruzar la tensión limite elástica o de fluencia..., en la mayoría de las aplicaciones este valor se calcula como el 2% (estiramiento porcentual) del Modulo de Young.
Ahora bien tiene sentido formular tal límite cuando este excede el límite práctico de resistencia a la compresión... como puede ser?

cada limite se calcula con ensayos distintos, por lo general el limite elástico se lo realiza con un ensayo a tracción, y no a compresión como necesitamos.

Si bien el grafeno tiene el mejor de los módulos de elasticidad, cuando es sometido a compresión, fuera del plano donde ubican sus moléculas , no tiene mayor resistencia que el mismo grafito.

Bueno ahora miremos otros limites que nos debemos imponer,

Cual es el tamaño de la base si decidimos que la sección no fuera constante, para hablar de un edificio en altura , fijaría que el radio no puede superar la altura, y en caso de que esto no se cumpla tenemos dos limites mas, el volumen del material, y si existe tal cantidad en la tierra para hacer la construcción, y que el radio no puede superar al radio terrestre, no?

luego debe cumplirse que $\sigma_{max}=0.02E\quad\wedge\quad \sigma_{max}<\sigma_{c_{elast}}$

$\sigma_{max} \geq\sigma(h)=\dfrac{peso \, soportado}{seccion} =\dfrac{\rho g V(h)}{S(h)}$

Estamos de acuerdo?

y ahora queda la cuestión de diseño...

JCB si fijas que todas la secciones se ajusten a que la tensión sea la máxima, tendras problemas cuando alcances la cima si el radio de la sección tiende a cero, acota el radio superior al micrón, pero nunca lo hagas nulo.

Es mejor o peor la sección constante?
Es mejor o peor ,la sección hueca?
Que material conviene?
Que cota máxima es alcanzable?

[JCB]

Hola a tod@s.

En mi primer mensaje # 2, limité la altura de la columna en función de la máxima tensión de rotura a la compresión.

Lo hice así por una razón fundamental: los valores del módulo de elasticidad (o de Young) y del límite elástico, se obtienen en un ensayo de probetas a tracción, no a compresión. Entonces, si para el acero podemos considerar que el límite elástico a tracción es $\sigma_e=0,002E=420\ MPa$, resulta un valor superior a la tensión de rotura a la compresión $(\sigma_c=400\ MPa)$.

Sencillamente, es por este motivo que elegí el valor menor de los dos. Evidentemente, también convendría contemplar un factor de seguridad apropiado.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola doy mi punto de vista de la solución

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La ecuacion $\sigma_{max} \geq\sigma(h)=\dfrac{peso \, soportado}{seccion} =\dfrac{\rho g V(h)}{S(h)}$

acarrea un problema cuando h tiende a 0 la sección tiende a cero luego hay una indeterminación.

pero hagamos un truquillo, le ponemos una pequeña masa m encima del edificio y ahora ya no tenemos dicha indeterminación a menos que m tienda a 0

entonces

$\sigma_{max} =\dfrac{mg +\rho g V(h)}{S(h)}$

luego de lo cual podemos trabajar con el diseño

$\sigma_{max} =\dfrac{mg +\rho g \dst\int_0^H S(h)dh}{S(H)}$

tomando el cero de las variables de altura en la cima del edificio

para lo cual se pueden proponer distintas funciones para el volumen y el área del edificio

en general podemos decir que el área es una constante por un parámetro de longitud al cuadrado $cter^2$

eje una sección cuadrada tiene $cte=1$ donde $r$ es el lado y una circular tiene $cte=\pi$ y donde $r$ es el radio

luego nos queda por definir una función que relacione la altura con el paramento de longitud

podemos tener un parámetro constante , uno lineal, uno cuadrático o en general una función de la altura.

Veamos que pasa si el parámetro es constante $r$ y también la constante de proporcionalidad $c$ la ecuación nos queda

$\sigma_{max} =\dfrac{mg +\rho g \dst\int_0^H c r^2dh}{c r^2}$

luego $H=\dfrac{\sigma_{max}}{\rho g}-\dfrac{mg}{\rho cr^2}$

donde el segundo término lo podemos hacer tan pequeño como queramos reduciendo el valor de $m$

Pero claro mas interesante se pone cuando la sección varía linealmente con la altura, que lo dejo para el próximo post, o si alguien se anima primero.

o mejor aún si proponen algún método para evaluar cualquier función genérica $S=S(r(h))$

[JCB]

Hola a tod@s.

Escribo mis conclusiones acerca de considerar a un sólido isotensional.

Saludos cordiales,
JCB.

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En este sólido, la expresión del área de la sección situada a una distancia $x$ de la base superior $(S_0)$, toma la forma $S(x)=S_0e^{\dfrac{\rho}{\sigma_c}x}$.

Integrando, obtenemos el volumen total

$$V=\dst\int_{0}^{h}S(x)dx=S_0\dfrac{\sigma_c}{\rho}\left(e^{\dfrac{\rho}{\sigma_c}h}-1\right)$$

El área de la base inferior es

$$S_h=S(h)=S_0e^{\dfrac{\rho}{\sigma_c}h}$$

Considerando la tensión de compresión en la base inferior, $\sigma_c=\dfrac{\rho Vg}{S_h}$. Substituyendo (1) y (2), y despejando, llego a que $h=\dfrac{\sigma_c}{\rho}ln \dfrac{g}{g-1}$.

Comparando la altura obtenida del cálculo simple a la tensión de compresión (ver mensaje # 2) con esta última, vemos que la altura obtenida con el sólido isotensional, es mayor

$\dfrac{\sigma_c}{\rho}ln \dfrac{g}{g-1}>\dfrac{\sigma_c}{\rho g}$,

$ln\dfrac{g}{g-1}>\dfrac{1}{g}$,

$0,1076>0,1020$.

[Richard R Richard]

Hola JCB

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habrás notado que el caso que propones solo mejora la altura en un 5 % ( veo que eso lo agregaste en tu edición y ya había empezado esta respuesta) a la altura de una columna de sección constante del mismo material....

Bueno si supones el " radio" de la columna aumenta linealmente con la distancia al techo, podemos hallar cuál sera la mejor pendiente, que minimice el volumen, puesto que una montaña puede tener mas de 5800 mts de altura , que sin duda es mayor de los 800m que hasta ahora la humanidad ha construido, valores que surgen como tope estos cálculos con el mejor de los materiales... pero puede lograrse mejorar lo que la naturaleza hace y a la vez maximizando la altura?... este es un sobrevuelo a lo que en definitiva se gastara en materiales. Porque podemos hacer una pirámide o un cono y estos no colapsaran fácilmente, pero cual sería la menor desviación de la superficie externa respecto de la vertical que podemos tener y como limita esto a la altura máxima....

[JCB]

Hola a tod@s.

Otra posibilidad, apuntada por Richard.

Saludos cordiales,
JCB.

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Richard, relativo a tu último mensaje, considero una pirámide regular (o un cono, que viene a ser lo mismo).

El volumen de ésta es $V=\dfrac{1}{3}Sh$.

$\sigma_c=\dfrac{\rho Vg}{S}=\dfrac{\rho\dfrac{1}{3}Shg}{S}=\dfrac{\rho hg}{3}$,

$h=\dfrac{3\sigma_c}{\rho g}$. Es la máxima altura de las que han aparecido hasta el momento.

Resumen:

1) Cilindro: $h=\dfrac{\sigma_c}{\rho g}$.

2) Sólido isotensional: $h=\dfrac{\sigma_c}{\rho}ln \dfrac{g}{g-1}$.

3) Pirámide (o cono): $h=\dfrac{3\sigma_c}{\rho g}$.

Se trata de minimizar el volumen frente al área de la base, pero analíticamente, no sabría como.

[Richard R Richard]

Hola

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habrán notado que el caso que se propone solo mejora la altura en un 5 % ( veo que eso lo agrego JCB en su edición y ya había empezado esta respuesta) a la altura de una columna de sección constante del mismo material....

Bueno si supones el " radio" de la columna aumenta linealmente con la distancia al techo, podemos hallar cuál sera la mejor pendiente, que minimice el volumen, puesto que una montaña puede tener mas de 5800 mts de altura , que sin duda es mayor de los 800m que hasta ahora la humanidad ha construido, valores que surgen como tope estos cálculos con el mejor de los materiales... pero puede lograrse mejorar lo que la naturaleza hace y a la vez maximizando la altura?... este es un sobrevuelo a lo que en definitiva se gastara en materiales. Porque podemos hacer una pirámide o un cono y estos no colapsaran fácilmente, pero cual sería la menor desviación de la superficie externa respecto de la vertical que podemos tener y como limita esto a la altura máxima....

Me tiene loco algo que suponía que no me podía pasar y es que no dependa del angulo de la piramide...

esto lo tenía guardado para dar una respuesta ya hace mas de un día, pero sin publicar.

No he buscado información mas allá de los limites elástico , de rotura y densidades de esos materiales.

hoy por la mañana mi smart TV ...sobre todo parece muy SMART , porque me dió una sugerencia de youtube de un video de hace años con este título...

Casualidad? la palabra montaña aún no estaba publicada....

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de lo que si depende es del exponente de la función que elijamos como creadora de volumen
si la sección responde
$s=ah^x$

entonces la altura final es $H=\dfrac{\sigma_{max}}{\rho g}(x+1)$

evidentemente mientas mas base le ponemos mas altura gano, pero el mite esta en lo que el video comenta, no en el radio de la tierra sino en la tensión creada sobre el manto terrestre.

[JCB]

Richard: para poder seguir un poco mejor tu razonamiento, ¿ podrías poner un ejemplo numérico ?.

[Richard R Richard]

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partamos de la fórmula

$\sigma_{max} =\dfrac{mg +\rho g \dst\int_0^H S(h)dh}{S(H)}$

y aceptemos que le puedo dar a la estructura luna sección variable, con la función matemática que se me de la gana, eso limitara la altura a alcanzar de algún modo diferente para cada función

en particular propongo que la sección sea una función de una potencia x respecto de la altura h que va tomando el edificio.

Luego la sección quedara como $s(h)=\alpha h^x$ como ejemplo una sección cuadrada constante tiene x=0 luego y \alpha es proporcional lados al cuadrado.

vemos entonces que pasa si reemplazamos esto en la ecuación anterior donde m es una carga no nula dispuesta en la sección superior, para evitar las singularidades o bien puede pensar que se puede limitar la sección mínima en el techo,ambas formas conducen a ecuaciones que terminan siendo similares.


$\sigma_{max} =\dfrac{mg +\rho g \dst\int_0^H \alpha h^xdh}{\alpha H^x}$

resolviendo la integral

$\sigma_{max} =\dfrac{mg +\rho g \dfrac{ \alpha H^{x+1}}{(x+1)}}{\alpha H^x}$

si como dijimos $m \to 0$


$\sigma_{max} =\dfrac{\rho g \cancel{\alpha} H^{\cancel{x}+1}}{(x+1)\cancel{\alpha} \cancel{H^x}}$

simplificando

$\sigma_{max} =\dfrac{\rho g H}{x+1}$

de donde$H=\dfrac{(x+1)\sigma_{max}}{\rho g}$

y si la solución para seccion constante es

$H_S=\dfrac{\sigma_{max}}{\rho g}$

entonces $H=H_S(x+1)$ para cualquier material que propongas.

las soluciones x altas son lo que denominamos montañas, secciones de base inmensas, que terminan en un pico. y podríamos elegir x tan grande como queremos no habría limite de altura... pero esto es erróneo.

El limite en primera medida cuando pensé el problema era acotar el problema de la sección inmensa a superficie de la tierra con el radio ecuatorial, pero el video me pone en claro que si supero cierta altura el peso de la estructura romperá el manto, que evidentemente debe tener una resistencia a la compresión menor ya que es un fluido viscoso, y solo soportara un peso dado por el principio de arquímedes,

Vere si puedo hallar ese límite, y si se condice con los 45 km que dicen el video.

[JCB]

Hola a tod@s.

Ahora Richard, escribiendo en serio, ¿ no te parece que el hilo ha quedado totalmente desnaturalizado ?. Según el enunciado, se trataba de hallar una simple columna:

De que material y que altura maxima, podemos construir una columna autosostenida anclada a la tierra, que no se cae por su propio peso, despreciemos el pandeo.

... / ...

Reflexionando a posteriori, ya tendría que haberme parecido excesivo y fuera del propósito del hilo lo de la pirámide faraónica (o el cono), pero no caí en la cuenta. Y ahora, el tema deriva en un megaproyecto de proporciones colosales, fuera de la escala humana en cuanto a edificaciones. En fin, Richard, espero que llegues a algún resultado, aunque esté fuera del alcance de la civilización terrestre actual.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

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Hola a tod@s.

Ahora Richard, escribiendo en serio, ¿ no te parece que el hilo ha quedado totalmente desnaturalizado ?.

Veamos si x=0 tienes una columna lisa , que en acero los valores de tabla te permiten calcular 5800m de altura máxima.Hemos llegado a 800m en estructuras huecas , mal no lo hacemos.

entiendo que si fuera una pirámide o cono es $x=3$ podemos triplicar la altura

tu sólido isotensional propuesto obtiene el 5% de mejora a la columna lisa y se basa en que $s=ke^h$

el modelo de columna gorda o montaña con x variable está basado en que $s=\alpha h^x$

solo cambia el modelo matematico de la sección de la columna


por alli pregunte

Es mejor o peor la sección constante?
Es mejor o peor ,la sección hueca?
Que material conviene?
Que cota máxima es alcanzable?

no veo tanto el desvio, en cuanto al limite de la base del edificio no le puse cota, es mas

Según el enunciado, se trataba de hallar una simple columna:.... En fin, Richard, espero que llegues a algún resultado, aunque esté fuera del alcance de la civilización terrestre actual.

Estoy buscando el máximo, y que limites no se pueden cruzar

Una montaña de $x=20$ , es incosteable económicamente, pero eso no lo hemos visto aquí, por ejemplo, si dije de hallar una función que permita la máxima altura, y en eso ando a la deriva, resulta que como mencione antes , el limite de altura no lo fija la superficie de la tierra por tener acotado el radio, sino que ese video , me hizo pensar que por mas que escojamos el material que sea, la altura estará acotada por el equilibrio de arquímedes entre 3 partes de diferente densidad, el manto (el fluido) la corteza de cierto espesor y densidad, y la columna con cierto volumen, área y densidad

pero voy al grano

$\rho_{aire} gV_{aire}+\rho_{col} gV_{col}+\rho_{cort} gV_{cort}=\rho_{manto} gV_{manto}$

despreciamos el peso del aire por encima de la columna

densidad del manto=3,4 a 4,6 (en el manto superior) y de 4,6 a 5,5 (en el manto inferior) T/m^3$=\rho_m\to 4000kg/m^3$
densidad de la corteza=2.7 T/m^3 promedio$=\rho_z$
altura promedio corteza $=35000m=hz$



Editado he visto que el manto previamente estaba en equilibrio con la corteza, luego ese termino debería despreciarse pues deberia encontrarse en el lado derecho de la igualdad tambien

$\dfrac{\rho \alpha H^{x+1}}{x+1}+\cancel{2700 kg/m^3\cdot 35000m \alpha H^{x}}=4000kg/m^3\cdot \Delta h \alpha H^{x}$

$\dfrac{\rho H^{x+1}}{x+1}=4000kg/m^3\cdot \Delta h H^{x}$

$\dfrac{\rho H}{x+1}=4000kg/m^3\cdot \Delta h$

Luego la Altura total será

$H_t=H-\Delta h=H-\dfrac{\rho H}{(x+1)4000kg/m^3}$

reemplazando el valor de la altura en equilibrio con la superficie

$H_t=H-\Delta h=\dfrac{\sigma_{max}}{\rho g}(x+1)-\dfrac{\rho \dfrac{\sigma_{max}}{\rho g}(x+1)}{(x+1)4000kg/m^3}$


$H_t=H-\Delta h=\dfrac{\sigma_{max}}{\rho g}(x+1)-\dfrac{\sigma_{max}}{ g4000kg/m^3}$

y ahora si reemplazando valores de que tipo de columna( el valor de x) y la resistencia del material $\sigma_{max}$ y su densidad $\rho$ puedo ver que conviene.

mañana hago números