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Otra genialidad de Euler
Han habido sin duda grandes matemáticos en la historia, pero solo unos pocos, han sido realmente geniales, en el sentido de trascender la escalera de la deducción cotidiana de axiomas y teoremas, para llegar a ver casi de forma intuitiva el trabajo que estaban realizando.
De entre ellos yo tengo una especial debilidad por Euler, tal vez el mayor de todos ellos, aunque existe algún otro, como Arquímedes o Gauss que se le pudieran comparar.
Hemos comentado ya en otros posts algunas de las interesantes igualdades que nos lego para la posteridad, desde la generalización del pequeño teorema de Fermat que nos dice que :
mcd(a,b)=1 ------------> a^phi(b)=1 (mod b)
A la impresionante igualdad :
e^(pi*i)+1=0
En este post comentaré otra igualdad no mucho menos impresionante que debemos a Euler, y que está intimamente relacionada con la función zeta de Rieman, pi y los números primos.
Una de las más famosas demostraciones de Euler fué la de demostrar que la función zeta de Rieman cumplía la siguiente igualdad:
n>0 y n=0 (mod 2) ------------->zeta(n)=suma(1/k^n, k=1...+inf)=pi^n*B(n)*2^(n-1)/n!
En donde B(n) es el número de Bernouilli número n, números que aparecen en algunas series de análisis y que pueden obtenerse recursivamente de la siguiente forma:
B(0)=1 y B(n)=-suma(combinación(n+1,k)*B(k), k=0....n-1)/(n+1)
Pero no voy a centrarme en la demostración de esta igualdad, ya que Euler no se contento solo con encontrarla, sinó que demostró algo más, me estoy refiriendo claro está al producto de Euler para la función zeta de Rieman que involucra a los números primos en todo este entuerto.
Veamos lo que hizo Euler:
zeta(n)=1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n+1/6^n+1/7^n+1/8^n+1/9^n+...............
por lo que:
1/2^n*zeta(n)=1/2^n+1/4^n+1/6^n+1/8^n+1/10^n...................
Ahora, si a la primera igualdad le restamos la segunda nos queda que:
(1-1/2^n)*zeta(n)= 1+1/3^n+1/5^n+1/7^n+1/9^n+1/11^n+1/13^n +1/15^n+1/17^n+......
Es decir hemos suprimido de la suma infinita, aquellos sumandos en los que la base del denominador es un número par. Si repetimos el proceso con el siguiente número primo tenemos que:
1/3^n*(1-1/2^n)*zeta(n)=1/3^n+1/9^n+1/15^n+1/21^n+.............
Y restando de nuevo obtenemos que:
(1-1/2^n)(1-1/3^n)*zeta(n)=1+1/5^n+1/7^n+1/11^n 1/13^n +1/17^n+.........
Por lo que hemos suprimido de la suma infinita todos aquellos sumandos en los que la base del denominador es múltiplo de 2 o 3.
Siguiendo con este proceso con los siguientes números primos, y basandonos en el teorema fundamental de la aritmética podemos escribir la siguiente igualdad:
zeta(n)=suma(1/k^n, k=1..+inf)=1/producto(1-1/p^n, p es primo)=producto(p^n/(p^n-1), p es primo)
A partir de esta igualdad y de la que obtuvimos anteriormente que relacionaba la función zeta con el número pi, podemos escribir que:
n>0 y n=0 (mod 2) -----> Pi=(n!*producto(p^n/(p^n-1), p es primo)/(B(n)*2^(n-1)))^(1/n)
Igualdad que nos relaciona el números pi con los números primos, y que además nos proporciona una cantidad infinita de series de aproximación del número pi. Las series seran más efectivas como mayor sea n, en el sentido de que aproximaran pi más rápidamente, siendo para n>=10 buenas las aproximaciones obtenidas.
Ciertamente la belleza de esta igualdad reside en relacionar a pi con los números primos, más que en ser una serie de aproximación. De hecho para aproximar pi, son muchísimo mejores las series de Ramanujan que estas que obtenemos a partir de las igualdades de Euler. Pero ya saben, a Ramanujan las series se las susurraba al oído la diosa Shiva mientras dormía, por lo que, intentar entrar en comentar dichas series, es una tarea casi divina
))
Un saludo a todos y hasta otra.
De entre ellos yo tengo una especial debilidad por Euler, tal vez el mayor de todos ellos, aunque existe algún otro, como Arquímedes o Gauss que se le pudieran comparar.
Hemos comentado ya en otros posts algunas de las interesantes igualdades que nos lego para la posteridad, desde la generalización del pequeño teorema de Fermat que nos dice que :
mcd(a,b)=1 ------------> a^phi(b)=1 (mod b)
A la impresionante igualdad :
e^(pi*i)+1=0
En este post comentaré otra igualdad no mucho menos impresionante que debemos a Euler, y que está intimamente relacionada con la función zeta de Rieman, pi y los números primos.
Una de las más famosas demostraciones de Euler fué la de demostrar que la función zeta de Rieman cumplía la siguiente igualdad:
n>0 y n=0 (mod 2) ------------->zeta(n)=suma(1/k^n, k=1...+inf)=pi^n*B(n)*2^(n-1)/n!
En donde B(n) es el número de Bernouilli número n, números que aparecen en algunas series de análisis y que pueden obtenerse recursivamente de la siguiente forma:
B(0)=1 y B(n)=-suma(combinación(n+1,k)*B(k), k=0....n-1)/(n+1)
Pero no voy a centrarme en la demostración de esta igualdad, ya que Euler no se contento solo con encontrarla, sinó que demostró algo más, me estoy refiriendo claro está al producto de Euler para la función zeta de Rieman que involucra a los números primos en todo este entuerto.
Veamos lo que hizo Euler:
zeta(n)=1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n+1/6^n+1/7^n+1/8^n+1/9^n+...............
por lo que:
1/2^n*zeta(n)=1/2^n+1/4^n+1/6^n+1/8^n+1/10^n...................
Ahora, si a la primera igualdad le restamos la segunda nos queda que:
(1-1/2^n)*zeta(n)= 1+1/3^n+1/5^n+1/7^n+1/9^n+1/11^n+1/13^n +1/15^n+1/17^n+......
Es decir hemos suprimido de la suma infinita, aquellos sumandos en los que la base del denominador es un número par. Si repetimos el proceso con el siguiente número primo tenemos que:
1/3^n*(1-1/2^n)*zeta(n)=1/3^n+1/9^n+1/15^n+1/21^n+.............
Y restando de nuevo obtenemos que:
(1-1/2^n)(1-1/3^n)*zeta(n)=1+1/5^n+1/7^n+1/11^n 1/13^n +1/17^n+.........
Por lo que hemos suprimido de la suma infinita todos aquellos sumandos en los que la base del denominador es múltiplo de 2 o 3.
Siguiendo con este proceso con los siguientes números primos, y basandonos en el teorema fundamental de la aritmética podemos escribir la siguiente igualdad:
zeta(n)=suma(1/k^n, k=1..+inf)=1/producto(1-1/p^n, p es primo)=producto(p^n/(p^n-1), p es primo)
A partir de esta igualdad y de la que obtuvimos anteriormente que relacionaba la función zeta con el número pi, podemos escribir que:
n>0 y n=0 (mod 2) -----> Pi=(n!*producto(p^n/(p^n-1), p es primo)/(B(n)*2^(n-1)))^(1/n)
Igualdad que nos relaciona el números pi con los números primos, y que además nos proporciona una cantidad infinita de series de aproximación del número pi. Las series seran más efectivas como mayor sea n, en el sentido de que aproximaran pi más rápidamente, siendo para n>=10 buenas las aproximaciones obtenidas.
Ciertamente la belleza de esta igualdad reside en relacionar a pi con los números primos, más que en ser una serie de aproximación. De hecho para aproximar pi, son muchísimo mejores las series de Ramanujan que estas que obtenemos a partir de las igualdades de Euler. Pero ya saben, a Ramanujan las series se las susurraba al oído la diosa Shiva mientras dormía, por lo que, intentar entrar en comentar dichas series, es una tarea casi divina
))Un saludo a todos y hasta otra.