¿Con cuantas pelotas podemos hacer malabares?

[John Lemon]

Hola a todos .

La verdad que el otro día decidí pasarme por los foros de más abajo, y de casualidad encontré este maravilloso lugar llamado 'Problemas de ingenio' . Tengo que admitir que me lo pasé como un niño pequeño leyendo un montón de los problemas, juegos, posiciones de ajedrez... La verdad que me pareció una sección fantástica, y creo que puedo hacer mi pequeña aportación con un problema que creo que encaja bastante bien.

Yo, además de a la física, soy bastante aficionado a los malabares (no soy un crack, pero algo se hacer ). Y ya desde hace mucho que se me ha planteado la duda de cuál sería el máximo de pelotas que un ser humano podría llegar a malabarear a la vez. Se que esta pregunta esta lejos de ser sencilla, pues incluye muchísimas cosas al mismo tiempo (características de las pelotas, de la persona, etc etc etc).

Este hilo lo creo sencillamente por si a alguien le parece lo suficientemente interesante el tema, y si no tiene nada que hacer, pues que le de un par de vueltas. La idea sería intentar concluir que características de nuestro problema podemos modificar para llegar a la situación mas óptima (mayor número de pelotas). Tamaño de las pelotas, si es mejor que haya aire o que no... Yo que sé. Yo he pensado algunas cosillas sobre esto, y si se anima alguien a discutir este temilla pues podemos ver si se pueden alcanzar conclusiones interesantes (o quizás todo esto es una gran estupidez, lo cual tambien sería una conclusión interesante ).

Un saludo a todos.

-JL

[carroza]

Hola. Me alegro que te guste la sección de problemas de ingenio. La verdad es que ultimamente está un poco parada.



Usaré el entorno "solucion", para esconder mi solucion, por si alguno quiere plantear otra solución antes de ver la mía

Los físicos solemos resolver problemas intentando simplificarlos al máximo. Hay casos en los que, en este proceso, puede quitarse toda la "gracia" al asunto.
Probablemente, este sea mi caso:

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La descripción más simple de unos malabares serían unas pelotitas, perfectamente elásticas, que describen una trayectoria parabolica alta (cuando pasan por encima de la cabeza del malabarista), y otra trayectoria parabólica más baja (cuando van de mano a mano).

El malabarista, en la versión mas simple, son simplemente dos planos inclinados con el ángulo idóneo, para que la pelota, tras describir la trayectoria alta, rebote y describa la trayectoria baja.

Los parámetros para descibir ambas trayectorias son la distancia entre "las manos" (los planos inclinados), y la altura máxima de la pelota en la trayectoria alta. A partir de ahi, puede calculatse el tiempo de subida y bajada de la trayectoria alta, la componente horizontal de la velocidad en la trayectoria alta, y, por conservación de la energía, la velocidad en la trayectoria baja y la altura en la trayectoria baja. De aqui sacamos los angulos iniciales en ambas trayectorias, y la bisectriz es la perpendicular al plano de las "manos".

En esta trayectoria, si las pelotitas son los suficientemente pequeñas, podriamos meter un numero arbitrariamente grande de pelotitas a la vez.

Un saludo

[John Lemon]

Hola carroza, sobre lo que has propuesto:

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He estado dándole vueltas a lo que tu planteas y creo que está perfecto. Lo que ocurre es que no se me había ocurrido plantear los malabares de esa manera, pues el camino que recorren las pelotas no se entrecruza nunca, es decir, no existe la posibilidad de chocar. Esa forma de hacer malabares es totalmente válida, y creo que la solución que has propuesto es fantástica y muy ilustrativa (lo de los planos inclinados me parece algo muy bonito).

En los malabares que yo tenía en mente al plantear el problema, las pelotas se entrecruzan. A continuación te muestro un link en donde se ve un minivídeo de malabáres clásicos con 3 pelotas (es un simple esquema de las trayectorias que siguen las bolas).

https://www.juegosmalabares.com/blog...bolas-cascada/

Dicho esto, aplicando tu misma idea de los planos inclinados pero a esta nueva situación, no estoy del todo seguro de que podamos añadir un número arbitrario de pelotas, a su vez arbitrariamente pequeñas, sin que exista la posibilidad de choque. Quizás si que podemos, pero tendríamos que establecer unas "frecuencias de lanzamiento" (una especie de armónicos) relacionadas tanto con el número de bolas, la altura a la que las lanzamos y su tamaño (a parte de tener en cuenta los ángulos calculados previamente de los planos inclinados para que las pelótas describan un camino cíclico).

De todas formas, tratando de visualizar con 3 pelotas si podemos aplicar los planos inclinados para este tipo de recorridos, no me queda absolutamente claro si podemos aplicar esta misma idea. Pues no soy capaz de ver una forma para que no choquen. Creo que para conseguir unos malabares con cambio de mano utilizando los planos inclinados, todas las pelotas seguirían la misma trayectoria parábolica, e inevitablemente chocarían. No se si se entiende bien lo que quiero decir, voy a intentar mostrarlo algo mejor en un dibujito:



El primer dibujo es lo que yo trataba de expresar. Lo de abajo sería una alternativa genérica, pero pienso que es imposible conseguir algo así sin violar el principio de conservación de la energía. Quizas se puede conseguir algo así, pero con los planos no simétricos (uno más inclinado que otro).

Basándome en tu idea de los planos, se me ocurre que en lugar de utilizar estos para este nuevo recorrido, podríamos utilizar algo como lo que se muestra en la siguiente chapucilla que he dibujado también en el Paint :



No se si esto es una tontería, pero es una primera idea que se me ocurre.

Admito que es muy posible que me haya rizado el rizo extremadamente. Pero bueno, al menos lo he pasado bien haciendo los dibujitos .

-Muchas gracias por la respuesta que has aportado, me ha dado una perspectiva muy importante del problema.

-Espero no haber cometido ningún error (y si es así ruego que cualquiera me corrija).

Un saludo a todos

-JL

[Richard R Richard]

A Ver hasta ahora nunca pude con tres naranjas, la tercera termina no sirviendo ni para jugo...

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Supongamos, que puedes coordinar con las manos y lanzar 5 pelotas por segundo, (dos décimas de segundo por pelota me parece bastante rápido) ni idea si es real pero llamamos $f$a esa frecuencia, en ese tiempo tienes que tomar una bola y lanzarla con cierta velocidad $v$ hacia arriba con cierta inclinación despreciable para que durante el tiempo que esta en el aire se desplace por la horizontal la distancia de una mano hasta la otra.

Estimo esa velocidad unos 10m/s que creo es bastante, unos 36 km/h es la sexta parte de un raquetazo de tenis....

si se lanza con esa velocidad el tiempo en el aire es t=\dfrac{2v}{g}=2.04 s redondeando a 2 segundos

la cantidad de pelotas surge como el ratio del tiempo en el aire sobre la frecuencia de lance es decir unas $n=\dfrac{t}{f}=10$ pelotas....

Pregunta cual es el record? gente mas rapida que dos décimas debe haber, y que pueda lanzar mas rapido tambien, lo que no se cuanto tiempo puede hacerlo hasta cansarse o fallar es decir lo que suceda primero.

Saludos

[John Lemon]

Hola a todos de nuevo :

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Sobre tu solución Richard, me sorprende muchísimo lo precisas que han sido tus estimaciones. Pues he ido a ver un video de un malabarista utilizando 9 pelotas, y cronometrando el tiempo que hacia malabares , y utilizando la cámara lenta para contar el número de lanzamientos: Sorpresa ----> f=0.198 aproximadamente.
Además la altura máxima de las pelotas que se extrae de los datos que has planteado es unos 5 metros, lo cual creo que es también bastante acertado.

Para llegar a números más altos (no sé exactamente hasta donde) de pelotas, lo que si he comprobado también es que (como es de suponer) se produce un aumento considerable en la frecuencia de los lanzamientos, y en la altura de estos (en este último parámetro el cambio no es tan notable como en el primero).

Evidentemente para cualquiera de nosotros, la fuerza y rapidez que se necesita para esta tarea es muy superior a nuestros límites. Pero no estoy tan seguro si lo es realmente para una persona realmente entrenada para ello. Creo que el problema de los numeros más altos reside más en la precisión necesaria para lanzar un numero tan elevado de pelotas, a una altura tambien muy elevada, sin que choquen entre ellas, y de forma que las puedas coger todas de nuevo.

Esto lo digo porque he visto un experimento en el que a personas de la calle escogidas al azar (sin idea de malabarismo), les han hecho realizar el movimiento de manos de los malabares lo mas rápido que pudiesen, para así calcular las bolas que podrían llegar a malabarear. La media esta sobre 13 (que es un número muy grande) siendo personas absolutamente inexpertas en este tema (un malabarista llegaba a mucho más, pero no diré cuanto ). Por supuesto no tengo claro la fiabilidad del experimento ni de sus conclusiones (pues evidentemente, que tenegas la fuerza y rapidez no implica que puedas hacerlo (ni que sea posible hacerlo), pero lo que si extraigo es que la fuerza y la rapidez parece que la tenemos, pero quizás hay otras limitaciones más complicadas de superar.

Creo que hasta ahora han salido conclusiones muy bonitas e interesantes. De las dos respuestas que habeis dado hasta ahora (carroza y Richard), los planteamientos son muy diferentes, pero ambos muy ilustrativos. A partir de ellas, ahora mismo me planteo dos preguntas:

1- ¿Podemos construir una máquina que haga malabares? (supongo que sí) ¿Y como sería esa máquina para que pudiera hacer malabares con la mayor cantidad posible de pelotas?

2- ¿Cual es el máximo número de pelotas "malabareables" para un ser humano?

Muchas gracias por vuestras respuestas. Espero con mucho entusiasmo sus futuras opiniones e ideas.

Un saludo.

-JL

[carroza]

Hola. Un comentario a tu comentario:

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En el problemita que yo planteo, no se cruzan las trayectorias, ni se viola la conservación de la energía (faltaría más). La idea se basa en que, para una energía dada (potencial más gravitatoria)
hay dos trayectorias diferentes que van de un punto a otro que estñán a la misma altura (los dos puntos donde se da el rebote):

Una trayectoria "alta" en el que la velocidad, en los puntos de colisión, es fundamentalmente vertical, y una trayectoria "baja", en la que es fundamentalmente horizontal.

No soy muy bueno haciendo dibujos, pero te pongo las ecuaciones.

- Parámetros: D es la distancia entre las "manos". H es la altura máxima a la que llegaría la pelota si la lanzo verticalmente, medida desde las manos. $v$ es la velocidad de la pelota en el momento de colision con las manos, igual en la trayectoria alta y en la baja. $h$ es la altura en la trayectoria alta, o en la trayectoria baja (veras que las ecuaciones tienen dos soluciones). $\theta$ es el angulo con la horizontal de las trayectorias (habrá dos soluciones).

- Ecuaciones:

Conservación de la energía: $1/2 m v^2 = m g H$

Balance de energia hasta el punto más alto (la energia cinética vertical se convierte en energía potencial) $1/2 m v^2 \sin^2 \theta = m g h$

tiempo de la trayectoria parabolica de mano a mano (desplazamiento horizontal igual a tiempo de subida y bajada): $t = {D \over v \cos \theta} = 2 \sqrt{2 h/g}$

Eliminando cosas irrelevantes entre estas ecuaciones, te queda

${D \over 2 H} = \sin{2 \theta}$.

Suponiendo que $D< 2 H$, tienes dos trayectorias. La trayectoria baja, que corresponde a $\theta_b = 1/2 \arcsin{D \over 2 H} < \pi/4$, y la trayectoria alta

$\theta_a = \pi/2 - \theta_b > \pi/4$.

Como la bisecriz de ambas es precisamente $\pi/4 = 45$ grados, basta con poner los planos inclinados a 45 grados, y ya tienes tu automata malabarista.

Un saludo

[John Lemon]

Hola a todos una vez más.

Sobre lo que has dicho carroza:

Hola. Un comentario a tu comentario:

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En el problemita que yo planteo, no se cruzan las trayectorias, ni se viola la conservación de la energía (faltaría más). La idea se basa en que, para una energía dada (potencial más gravitatoria)
hay dos trayectorias diferentes que van de un punto a otro que estñán a la misma altura (los dos puntos donde se da el rebote):

Una trayectoria "alta" en el que la velocidad, en los puntos de colisión, es fundamentalmente vertical, y una trayectoria "baja", en la que es fundamentalmente horizontal.

No soy muy bueno haciendo dibujos, pero te pongo las ecuaciones.

- Parámetros: D es la distancia entre las "manos". H es la altura máxima a la que llegaría la pelota si la lanzo verticalmente, medida desde las manos. $v$ es la velocidad de la pelota en el momento de colision con las manos, igual en la trayectoria alta y en la baja. $h$ es la altura en la trayectoria alta, o en la trayectoria baja (veras que las ecuaciones tienen dos soluciones). $\theta$ es el angulo con la horizontal de las trayectorias (habrá dos soluciones).

- Ecuaciones:

Conservación de la energía: $1/2 m v^2 = m g H$

Balance de energia hasta el punto más alto (la energia cinética vertical se convierte en energía potencial) $1/2 m v^2 \sin^2 \theta = m g h$

tiempo de la trayectoria parabolica de mano a mano (desplazamiento horizontal igual a tiempo de subida y bajada): $t = {D \over v \cos \theta} = 2 \sqrt{2 h/g}$

Eliminando cosas irrelevantes entre estas ecuaciones, te queda

${D \over 2 H} = \sin{2 \theta}$.

Suponiendo que $D< 2 H$, tienes dos trayectorias. La trayectoria baja, que corresponde a $\theta_b = 1/2 \arcsin{D \over 2 H} < \pi/4$, y la trayectoria alta

$\theta_a = \pi/2 - \theta_b > \pi/4$.

Como la bisecriz de ambas es precisamente $\pi/4 = 45$ grados, basta con poner los planos inclinados a 45 grados, y ya tienes tu automata malabarista.

Un saludo

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Con mi respuesta no me refería a que lo que tu planteabas presentara ningún error (ni mucho menos, pues me parece que todo lo que has presentado es totalmente correcto). A lo que me refería es que el esquema de malabares que presentabas no es el más usual, pues las trayectorias de las pelotas no se cruzan. En los malabares más clásicos sí lo hacen, de la forma en la que te mostré en el link. Por eso, no me refería a que tu planteamiento violara la conservación de la energía, sino que intenté aplicar tu misma idea a la forma de hacer malabares ahora planteada, y no encontré la manera de conseguir la trayectoria buscada sin violar la conservación de la energía (usando solo planos).

Siento que se me haya malentendido.

Gracias por su respuesta y un saludo.

-JL

[Richard R Richard]

Hola

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Yo creo es factible " pensar el problema " donde idealmente todas la pelotas son lanzadas y recolectadas en el mismo plano vertical, sin que ello viole ninguna ley de conservación... no se porque eso viene a cuento...

Idealmente si tenemos la suficiente puntería, y la suficiente fuerza, podemos manejar un numero ilimitado de pelotas, hasta que su velocidad sea la velocidad de escape de la órbita terrestre
o en el mejor de los casos que las bolas que suben se choquen con las que bajan, debido a un pequeño angulo de sevio con respecto a la vertical,

la primera cosa que muy humana no es ,por lo que veo, el límite lo pone la fuerza y la destreza, no tanto la fisica.

[carroza]

Ok. Ahora creo que te entiendo, John Lemon. Entiendo que el movimiento de pelotas, en el mismo plano, siguiendo trayectorias que giran en el mismo sentido es un poco aburrido. A ver que te parece esta variante:

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Imaginemos la siguiente geometría, para el rebote de pelotas:

A_________B
_____C_____
D_________E


A,B,D,E, están en el mismo plano, el plano de las manos, que está en bajo, y forman un rectangulo. C es un punto que está en alto, sobre el centro del rectangulo.

La pelota hace la siguiente trayectoria. Parte de A, y describe una trayectoria parabólica "alta", que pasa por C (máxima altura), y llega a E.
En E hay un plano, que hace que la pelota rebote, conservando la energía cinética y vaya, siguiendo una trayectoria parabólica baja, hasta B.
En B vuelve a rebotar, y describe una trayectoria parabolica alta, que pasa por C y llega a D
En D rebota, y describe una trayectoria parabolica baja, pasando a A, y vuelta a empezar.

En C las pelotas se cruzan, siguiendo trayectorias diferentes (ACE y BCD), con lo cual quedaría bonito.

En principio, podrían incluirse en esta trayectoria un numero arbitrario de pelotas, equiespaciadas en el tiempo que tome realizar el recorrido completo ACEBCDA. No obstante, si hay un numero par de pelotas, entonces habrá dos que se pasen en el mismo instante de tiempo por el punto C (siguiendo trayectorias diferentes). Esto llevaría a que no podrían hacerse, facilmente, juegos malabares con un numero par de pelotas, y sería mejor un numero impar (3, 5, 7..). John Lemon, nombrado desde ahora malabarista oficial de la Web de Fisica, nos podría decir si este es el caso.

Como un malabarista no suele tener 4 manos, para realizar esta trayectoria en situaciones reales, haría falta que una mano del malabarista acompañara la pelota de E a B, mientras que la otra la acompaña de D a A. Durante ese tiempo, contando también con la vuelta de la mano vacía de B a E y de A a D, no puede llegar otra pelota. Esta entiendo que es la limitación de tiempo de 0.2 segundos que indica Richard.

Esa limitación de tiempo no se aplicaría al autómata malabarista compuesto por cuatro planos de rebote perfectamente elásticos en A,B,C,D.

Saludos

[John Lemon]

Hola a todos de nuevo. En este mensaje respondo al comentario de Richard y en el siguiente, al de carroza (más que nada porque no me deja insertar varias citas en el mismo post, quizás es problema mío)

Richard, sobre lo que has comentado:

Hola

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Yo creo es factible " pensar el problema " donde idealmente todas la pelotas son lanzadas y recolectadas en el mismo plano vertical, sin que ello viole ninguna ley de conservación... no se porque eso viene a cuento...

Idealmente si tenemos la suficiente puntería, y la suficiente fuerza, podemos manejar un numero ilimitado de pelotas, hasta que su velocidad sea la velocidad de escape de la órbita terrestre
o en el mejor de los casos que las bolas que suben se choquen con las que bajan, debido a un pequeño angulo de sevio con respecto a la vertical,

la primera cosa que muy humana no es ,por lo que veo, el límite lo pone la fuerza y la destreza, no tanto la fisica.

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Veo que lo de mencionar la violación de la conservación de la energía no fue mi idea más brillante. Mi intención no era en absoluto echar abajo el argumento de nuestro compañero carroza. Lo que intenté fue aplicar el (eficaz y perfectamente funcional) método que el propuso, a un problema diferente (donde los malabares se hacían de otra manera). En esta situación lo que ocurrió es que no fui capaz de encontrar ninguna solución para obtener un patrón simétrico y constante que además evitara los choques de las pelotas sin conseguir trayectorias que violaran este principio. Esto fue lo que traté de explicar con mis burdos dibujos (los cuales quizás no expresan correctamente lo que yo quería y quiero decir):



Entiendo que en un foro de física el peor insulto que te pueden hacer es decirte que tu idea viola la conservación de la energía. Pero esta no era ni por asomo mi intención, pues a lo que me refería es a lo ya explicado.

Espero que se me haya entendido mejor ahora y me disculpo por las confusiones.

Por último comento algo sobre lo siguiente que dijiste aquí:

Idealmente si tenemos la suficiente puntería, y la suficiente fuerza, podemos manejar un numero ilimitado de pelotas, hasta que su velocidad sea la velocidad de escape de la órbita terrestre
o en el mejor de los casos que las bolas que suben se choquen con las que bajan, debido a un pequeño angulo de sevio con respecto a la vertical,

Pienso que quizás pueden existir algunos factores que hacen que, llevado el problema al límite, incluso un humano perfecto no podría superar. Uno de esos factores (sobre el número de pelotas) lo ha descubierto carroza en su mensaje anterior, al que responderé a continuación. Quizás haya más (o quizás no).

Un saludo Richard y muchas gracias por la respuesta, seguiré razonando sobre el tema.

-JL

[John Lemon]

Hola carroza, sobre tu respuesta:

Ok. Ahora creo que te entiendo, John Lemon. Entiendo que el movimiento de pelotas, en el mismo plano, siguiendo trayectorias que giran en el mismo sentido es un poco aburrido. A ver que te parece esta variante:

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Imaginemos la siguiente geometría, para el rebote de pelotas:

A_________B
_____C_____
D_________E


A,B,D,E, están en el mismo plano, el plano de las manos, que está en bajo, y forman un rectangulo. C es un punto que está en alto, sobre el centro del rectangulo.

La pelota hace la siguiente trayectoria. Parte de A, y describe una trayectoria parabólica "alta", que pasa por C (máxima altura), y llega a E.
En E hay un plano, que hace que la pelota rebote, conservando la energía cinética y vaya, siguiendo una trayectoria parabólica baja, hasta B.
En B vuelve a rebotar, y describe una trayectoria parabolica alta, que pasa por C y llega a D
En D rebota, y describe una trayectoria parabolica baja, pasando a A, y vuelta a empezar.

En C las pelotas se cruzan, siguiendo trayectorias diferentes (ACE y BCD), con lo cual quedaría bonito.

En principio, podrían incluirse en esta trayectoria un numero arbitrario de pelotas, equiespaciadas en el tiempo que tome realizar el recorrido completo ACEBCDA. No obstante, si hay un numero par de pelotas, entonces habrá dos que se pasen en el mismo instante de tiempo por el punto C (siguiendo trayectorias diferentes). Esto llevaría a que no podrían hacerse, facilmente, juegos malabares con un numero par de pelotas, y sería mejor un numero impar (3, 5, 7..). John Lemon, nombrado desde ahora malabarista oficial de la Web de Fisica, nos podría decir si este es el caso.

Como un malabarista no suele tener 4 manos, para realizar esta trayectoria en situaciones reales, haría falta que una mano del malabarista acompañara la pelota de E a B, mientras que la otra la acompaña de D a A. Durante ese tiempo, contando también con la vuelta de la mano vacía de B a E y de A a D, no puede llegar otra pelota. Esta entiendo que es la limitación de tiempo de 0.2 segundos que indica Richard.

Esa limitación de tiempo no se aplicaría al autómata malabarista compuesto por cuatro planos de rebote perfectamente elásticos en A,B,C,D.

Saludos

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La principal razón por la que planteé que era interesante considerar un método en el que la trayectoria de las pelotas se entrecruza, es una de las conclusiones a la que has llegado. Efectivamente, el número de pelotas debe ser impar si consideramos una trayectoria que "cruza" las pelotas. Realizar malabares de este tipo con un número par de pelotas es mucho más complicado, pues los patrones que se deben aplicar ya no son tan regulares. Es por esto que lo más clásico para realizar malabares con un número de pelotas pares es realizar patrones separados (uno con cada mano). Digamos que cada mano va a su rollo independientemente de la otra. Este modelo de malabares con pelotas pares si que creo que está perfectamente representado por el modelo de los planos (el primero que planteaste). A ver si esta vez el dibujo ayuda a entender mejor lo que quiero decir:



En este modelo para las pelotas pares creo que no hay problema para añadir un número de pelotas arbitrariamente grande, haciendo estas arbitrariamente pequeñas.

En cuanto al modelo para las impares con los puntos ABCDE, probaré a ver como resulta la idea en la práctica .

Muchas gracias por la respuesta y espero no haberme enrollado o equivocado en este mensaje y en el anterior.

-Un saludo a todos.

-JL

[Richard R Richard]

Vale JL , solo que por no bien entendido, he googleado algo y vi algunas cosas a las que se refieren, me he espabilado un poco.

Yo solo me limite, a que de mano izquierda a derecha solo hay un pase de manos, siempre lanza la misma mano, y siempre recoge la otra.

Entiendo que si ambas manos lo hacen hacen ambas tareas , hay menos perdida de tiempo, pero igual la acción entre recoger amortiguando, y acelerar soltando, en mucho menos que lo que exprese no se puede realizar, si bien la mecánica y la práctica agilizan, no creo que reduzcas ese tiempo de 0.2s a la mitad, me explico toda actividad, incluso la conducción el tiempo de reacción es superior a la décima de segundo, por eso siempre se debe dejar distancia entre vehículos por ejemplo, aquí debes dejar distancia entre bolas... "distancia temporal digo", no se si me explico bien.

Ahora tambien entiendo lo del numero de bolas impar en lanzamientos cruzados.., Ja, veré si me lle animo en la cuarentena....

Por otro lado cada vez que lanzas, le aplicas energía a la bola y también aplica energía para frenarla cuando cae, Pero no entiendo bien esos dibujos de rebotes, aqui no hay nada solido con que rebotar y no te sigo.

Si entiendo la lógica de los 5 puntos ABCDE de carroza, si no entiendo mal la secuencia es la siguiente

lanzo D y cuando alcanza una altura x dada por el numero de bolas que manejemos, se lanza E, ambas irán en secuencia pasando por c, se recoge la primera en B, se amortigua y se lanza en E nuevamente y seguido a esto la segunda es recogida en A y se lanza en D nuevamente...

Entiendo que cuanto mas bajo este el punto de cruce C , mas cantidad de bolas podrás lanzar sin probabilidad de choque, ya que a mayor altura las bolas requieren mayor distancia horizontal, para el mismo acercamiento vertical.

[carroza]

Entiendo que cuanto mas bajo este el punto de cruce C , mas cantidad de bolas podrás lanzar sin probabilidad de choque, ya que a mayor altura las bolas requieren mayor distancia horizontal, para el mismo acercamiento vertical.

Creo que es al contrario. Cuanto más alto esté C, más tiempo pasa lla bola en la trayectoria ACE, o en la BCD. Si tenemos, digamos, 2 segundos la bola en el aire, y tardamos 0.2 segundos en lanzar la bola en A, retroceder la mano hasta D, recoger otra bola en D, y mover la bola hasta A, podríamos tener hasta 10 bolas en el aire en la trayectoria ACE, y otras tantas en la trayectoria BCD, lo que nos llevaría a hacer malabares con 21 bolas (las 20 que están en el aire, más una que está en la mano que avanza de D a A (la mano que retrocede de B a E está vacía).

[Richard R Richard]

Hola

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Carroza , quizá no me explique bien, coincidimos en que el tiempo que cada bola esta en contacto con una mano es independiente del tiempo que la bola puede estar en el aire, luego la cantidad de pelotas que podemos manejar con las manos por unidad de tiempo es limitada, pero no es limitado el numero de bolas que pueden estar en el aire al mismo tiempo, ya que el tiempo de vuelo depende de la velocidad de lanzamiento y no de tiempo que estuvo en la mano, pero claro lanzar rápido y preciso, es lo difícil. Podemos manejar una bola cada 0.2s por mano osea 1 cada 0.1s en el mejor de los casos sería lanzar al aire, (unas 600 por minuto ya me parece una barbaridad) Aún así el tiempo que tarde en regresar una bola que va a estar un minuto en el aire depende de la velocidad de lanzamiento..,pero para que mas o menos las 599 estén el aire hay que lanzar cada una a 529 Km/h... alcanzando mas de 1 Km de altura cada bola(obviamente estoy despreciando el roce del aire, y velocidad limite ,etc) ....por lo que el limite debe ser algo mas humanamente realizable.
He lanzado una pelota de tenis hasta la farola del frente casa que esta a unos 7m de altura con ya bastante dificultad, tardando 2.5s mas o menos en regresar, estimo entonces que 25 bolas es un limite humanamente alcanzable, lo que me hace preguntar como ubicamos las 25 bolas previamente para iniciar el movimiento.
Con respecto al cruce en C he visto videos donde los puntos de lanzamiento y recepción no son exactamente un rectángulo sino un trapecio donde la base mas pequeña esta pegada al cuerpo, Así C queda mas cercano al cuerpo y mas cercano al piso.
Me explique mejor? estimo que si C esta mas arriba, el hueco entre bola y bola donde pasa la siguiente cruzada es menor ya que a mayor altura menor velocidad, luego implica mayor precisión lance a lance. y cuanto mas grande en diámetro la bola peor aún

A..................B

..........C
....D..........E

[carroza]

Ok, richard. Ahora te entiendo y tienes razón

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Como bien indicas, la mejor estrategia para hacer malabares no es el rectangulo que yo puse

A____________________B
___________C__________
D____________________E

sino el trapecio que tu pusiste

A____________________B
_______________________
___________C__________
_______D_______E______

Aqui D y E son los puntos de recepción, más cercanos al cuerpo del malabarista, y A y B son los puntos de lanzamiento. C es el punto de cruce, que no está en el punto más alto de las trayectorias parabólicas. Como bien indicas, el hecho de que en C haya una componente vertical de la velocidad permite separar mejor las pelotas que se cruzan.

Tanto en esta imagen como la anterior, permite determinar el ciclo de movimiento de cada bola en el juego de malabares.

La pelota empieza siendo lanzada en A, por la mano izquierda del malabarista. Describe una trayectoria parabólica ACE, en la que invierte un tiempo T . Este tiempo se calcula como $T/2 = \sqrt{2 h/g}$. Para valores realistas de la altura h de la parábola, entre 1.2 y 4.9 m, T estaría entre 1 y 2 segundos). En E la mano derecha del malabarista está lista para coger la pelota, la avanza hasta la posición B y la lanza. Es eso toma un tiempo t. Este tiempo, segun la destreza del malabarista, podría estar entre 0.2 y 0.5 segundos. A partir de aqui, hay otra trayectoria parabolica BCD, de tiempo T, hasta que la mano izquierda captura la pelita, y un tiempo t para moverla hasta A y empezar el ciclo.

Por tanto, el tiempo total es 2T + 2t. Si tenemos tres bolas, dos están en el aire, mientras que la tercera está en una de las dos manos. Esto requiere que $2t/(2t+2T) = 1/3$, lo que lleva a $t=T/2$, facilmente conseguible si T=1, t=0.5.

Con cinco bolas, se requiere $t=T/4$, que tambien se puede conseguir acelerando el movimiento de manos (T=1, t=0.25), o bien lanzando la peolta más alta (T=2, t=0.5).

siete bolas ya es más exigente $t=T/6$, pero sería posible (T=1.2, t=0.2) o (T=1.8, t=0.3).

nueve bolas sería mucho más dificil $t=T/8$, pero sería posible (T=1.6, t=0.2) o (T=2, t=0.25).

once bolas está en el llimite de nuestra simulacón $t=T/10$, solo posible si (T=2, t=0.2).

A ver nuestro malabarista ofical, John Lennon, hasta donde llega