Atrapa un millón

[carroza]

Hola.

Habréis visto el juego de la tele, en el que al concursante se le da un millón de euros, en 40 paquetes, y se les hacen preguntas. El concursante tiene que distribuir los paquetes entre las posible soluciones, perdiendo la cantidad de las opciones falsas. Creo que les hacen 8 preguntas, y supongamos por simplicidad que solo tuvieran 2 opciones a cada pregunta

Son curiosas las estrategias que usan los concursantes. Hay algunos que reparten los fajos a la mitad, con lo que rápidamente pierden el dinero. Otros apuestan casi todo a una opción, y un solo fajo a la otra, con lo que, de salir la opción a la que solo apuestan un fajo, reducen sus probabilidades de ganar.

El problema que os propongo es el siguiente: Cuál es la estrategia optima de reparto, si quiero hacer máxima la probabilidad de que acabe el juego con al menos un fajo de billetes. Suponed que el concursante tiene una probabilidad 1>p> 0.5 de acertar la respuesta.

Para ilustrar el problema, considerar el caso del concursante Prudencio. Este es muy inseguro, y reparte siempre lo que tiene entre las dos opciones, aunque si el numero es impar, preferirá la de la respuesta que cree correcta. Este repartirá los 40 fajos en 20-20 en la primera pregunta, 10-10 en la segunda, 5-5 en la tercera, 3-2 en la cuarta, 2-1 en la quinta (si ha acertado en la cuarta), o (1-1) si ha fallado, y así sucesivamente. Se queda con un fajo a partir de la sexta pregunta, con lo que su probabilidad de ganar será inferior a $p^2$.

El concursante Valente es lo contrario. Apuesta todo a lo que cree más probable, con lo cual, si gana, gana 40 fajos, pero con una probabilidad muy baja $p^8$.

¿Cómo creeis que se deben repartir las apuestas? Debeis proponer un arbol, de tipo 40; (35,5): ((20,15)(3,2)), etc

Un saludo

[javisot20]

Si siempre gana izquierda hasta 7 niveles máximo.

(25,15)
(15,10)
(9,6)
(5,4)
(3,2)
(2,1)
(1,1)



Si siempre gana la derecha hasta 4 niveles máximo.


(25,15)
(9,6)
(3,3)
(2,1)




Pensaba en segmentos y proporción áurea.




Pero tiene trampa jej la estrategia óptima es saberlo todo y apostar todo,
lo mejor es ser Valente pero teniendo mucho conocimiento general. Saludos

[carroza]

Hola. Gracias, Javisot por participar.

Aclaro los términos del juego. La finalidad es tener la máxima probabilidad de llegar al final del juego (8 rondas), con un fajo, al menos. Y para ello, tenemos que definir la estrategia de reparto en todas las situacines, ganemos o perdamos. Obviamente, no somos omniscentes, y estimamos que tenemos una probabilidad 1>p>0.5 de conocer la pregunta correcta.
El arbol que habría que hacer es el del reparto para todas las opciones. Partiendo de la propiesta de Javisot, y poniendo siempre a la izquierda la opcion más probable (p), y a la derecha la menos probable (1-p), tenemos:

Inicial: 40
Ronda 1 (25,15)
Ronda 2 ((15,10), (9,6))
Ronda 3 (((9,6),(x,10-x)), ((y,9-y), (3,3))
Ronda 4 (5,4)....................................(2,1)
Ronda 5 (3,2)...........................
Ronda 6 (2,1)
Ronda 7 (1,1)
Ronda 8 ....
Premio final

Ya os digo que el primer reparto, (25,15), no es el optimo, para ningun valor de p, hagamos lo que hagamos después.

Para simplificar el arbol, podemos tener en cuenta que, una vez que nos quede un solo fajo en cualquiera de las opciones de cualquiera de las rondas, nuestras jugadas posteriores debe ser siempre (1,0) (es decir, apostar el fajo a la opcion más probable), hasta que acabe el juego, por lo que no tenemos que seguir escribiendo las opciones en la ronda siguiente

Saludos

[javisot20]

Vale, tengo una manera de llegar a 11 rondas pero no elimina el riesgo de irte muy pronto.

Cada 0 quiere decir que te eliminan en ese turno.


1- (40,0)

2- (20,20)

3- (20,0)

4- (10,10)

5- (10,0)

6- (5,5)

7- (5,0)

8 - (3,2)

9- ((2,1),(1,1))

10- ((1,1),(1,0))

11- (1,0)




Estoy intrigado Carroza jaj ¿ alguna pista más ?

[carroza]

Hola.

Voy a poner mi solucion, oculta, por partes. Podeis ir descubriendo una a una, a ver si os inspira

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Si tenemos 8 preguntas con dos opciones, en general tendremos $2^8= 256$ conjuntos de respuestas posibles. Si desconocieramos totalmente las respuestas y respondieramos cada pregunta al azar, con p=0.5 de acertar, tendriamos, para cada conjunto de respuestas una probabilidad $p^8= 1/256$. En ese caso, cualquier estrategia de reparto de fajos sería igualmente valida, simepre que nos aseguráramos que tras las 8 rondas hay 1 o 0 fajos en cada opción. La probabilidad de ganar, en ese caso, es 40/256

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Si tenemos alguna idea, de forma que tenemos una probabilidad p>0.5 de acertar, las probabilidades de los distintos tipos de respuesta son diferentes: La mayor probabilidad es 8 respiestas correctas, $p^8$. La siguente, 7 respuestas correctas y 1 fallo, $p^7(1-p)$. Luego, 6 respuestas correctas y 2 fallo, $p^6(1-p)^2$. y así sucesivamente.
Con esto presente, podemos ya pensar en una forma de distribuir los 40 fajos, para maximizar nuestra probabilidad de ganar.

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Considerando los diferentes casos, y usando combinatoria básica, tenemos 1 caso con ocho respuestas correctas, 8 casos con 7 correctas y un fallo, 28 casos con 6 correctas y dos fallos, 56 casos con 5 correctas y tres fallos, y así sucesivamente. Como tenemos 40 fajos, haremos máxima la probabilidad de ganar si distribuimos nuestros fajos de forma que haya 1 fajo en los 8 aciertos, 8 fajos en los 8 casos de 7 aciertos, 28 fajos en los 28 casos de 6 aciertos, y 3 fajos en cualquiera de los 56 casos de 5 aciertos.

Con esta estrategia, nuestra probabilidad de ganar es $p^8 + 8 p^7(1-p) + 28 p^6(1-p)^2 + 3p^5(1-p)^3$, y es máxima, prente a cualquier otro reparto de fajos, sea cual fuere el valor de p. Esto lleva al resultado curioso de que da igual que seamos muy listos $p = 0.9$, o mas bien torpes $p = 0.6$, que nuestra estrategia de reparto optima es la misma. Obviamente, si p es más alta, con esta estrategia de reparto tendremos una probabilidad mayor de ganar 1 fajo, que si p es más baja, pero el reparto optimo es el mismo en ambos casos.

Ahora queda poner el arbol para que produzca ese resultado.

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Primero considero el caso en el que tengamos solamente 37 fajos, en el que la estrategia es unica, ya que debemos distribuirlos de forma que, en cada ronda, haya un unico fajo en las opciones que acumulen dos fallos, y ningun fajo en la que tuvieran 3. En la ronda final, debe haber un fajo en las opciones que tengan cero, uno o dos fallos. Sale:

(37)
Ronda 1 (29, 8)
Ronda 2 (22,7) (7,1)
Ronda 3 (16,6)(6,1)(6,1)
Ronda 4 (11,5)(5,1)(5,1)(5,1)
Ronda 5 (7,4)(4,1)(4,1)(4,1)(4,1)
Ronda 6 (4,3)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)
Ronda 7 (2,2)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)
Ronda 8 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)

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Para 40 fajos, la estrategia no es unica, ya que puedo distribuir los 3 fajos extra en los 56 casos de tres fallos. Eso si, debo evitar poner fajos en casos de 4 fallos, que tienen una probabilidad más baja. El primer reparto en la ronda 1 puede ser (32,8), (31,9), (30,10) o (29,11). Tomando este ultimo caso, un posible arbol queda

(40)
Ronda 1 (29, 11)
Ronda 2 (22,7) (9,2)
Ronda 3 (16,6)(6,1)(7,2)(1,1)
Ronda 4 (11,5)(5,1)(5,1)(5,2)(1,1)
Ronda 5 (7,4)(4,1)(4,1)(4,1)(4,1)(1,1)
Ronda 6 (4,3)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)
Ronda 7 (2,2)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)
Ronda 8 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)

Saludos, y disfrutad el juego. ya sabeis que hacer si os seleccionan para "atrapa un millón".

[Richard R Richard]

Hola, Obviamente sin haber leído lo tuyo paso mi estrategia

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mí estrategia a priori sería ...

de las 8 Rondas puedo especular que de las 8 preguntas al menos se la respuesta de tres de ellas. En esa ronda apuesto el 100% disponible y en las 5 restantes iría maximizando el dinero que apuesto a perdedor es decir apuesto todo 50-50% .

Pero claro se supone que la probabilidad de equivocarse en la respuesta no es nula en cada ronda por definición del problema.

intente por el lado de la esperanza matematica pero hice aguas


Como la escalera depende de si ganas o pierdes mi idea es que apostaría en función de la probabilidades de perder al cuadrado es una binomial de n=8 (sale de que apostaria proporcional a la probabilidad de ganar y me queda una binomial de p^2) y supongo una media de 1 unidad

por lo que calcuale p' es 1/8 , con lo que su raiz cuadrada va a lo que creo que apostaría ...65% muy parecido a 2/3 a ganador

sería la primer columna, dado que el resultado fue adverso sigo en la segunda


40
26 14
17 9 5
11 6 3 2
7 4 2 1
5 3 1
3 2
2 1

Mucha mayor justificacion no le encuentro , no veo forma que con todas las respuestas negativas al acierto llegues con alguna unidad al final del juego--


Edito no me deja separar en columnas los valores que he puesto,

[carroza]

Hola, Obviamente sin haber leído lo tuyo paso mi estrategia

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mí estrategia a priori sería ...

de las 8 Rondas puedo especular que de las 8 preguntas al menos se la respuesta de tres de ellas. En esa ronda apuesto el 100% disponible y en las 5 restantes iría maximizando el dinero que apuesto a perdedor es decir apuesto todo 50-50% .

Pero claro se supone que la probabilidad de equivocarse en la respuesta no es nula en cada ronda por definición del problema.

intente por el lado de la esperanza matematica pero hice aguas


Como la escalera depende de si ganas o pierdes mi idea es que apostaría en función de la probabilidades de perder al cuadrado es una binomial de n=8 (sale de que apostaria proporcional a la probabilidad de ganar y me queda una binomial de p^2) y supongo una media de 1 unidad

por lo que calcuale p' es 1/8 , con lo que su raiz cuadrada va a lo que creo que apostaría ...65% muy parecido a 2/3 a ganador

sería la primer columna, dado que el resultado fue adverso sigo en la segunda


40
26 14
17 9 5
11 6 3 2
7 4 2 1
5 3 1
3 2
2 1

Mucha mayor justificacion no le encuentro , no veo forma que con todas las respuestas negativas al acierto llegues con alguna unidad al final del juego--


Edito no me deja separar en columnas los valores que he puesto,

Hola Richard.

Gracias por jugar

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Maximizar la esperanza matemática te lleva a apostar todo a lo que consideres más probable. No obstante, el tema que aqui planteamos es maximizar la probabilidad de ganar al menos un fajo, cuando llegues al final. Es decir, minimizar la probabilidad de irte del juego sin nada.

Explorar la binomial es un buen camino. Sigue por ahi, incidiendo en los casos que tienen probabilidad más alta de qye llegues al final, y no desperdiciando fajos en casos que tienen probabilidad muy baja.

No acabo de entender el arbos que pones. Partes de 40. En la primera ronda, divides en (26,14). En la segunda, si ganas, divides (16,9). Si pierdes, entiendo que divides (9,5). Es así? El arbol sería entonces

Inicial 40
1 ronda (26,14)
2 ronda (16,9) (9,5)
3 ronda (11,6)(6,3)(6,3)(3,2)
.........

Ya te digo que este arbol es razonable, aunque no optimo.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola carroza , si ,si , el árbol es ese , a resultado acertado uno se muerde la lengua de no haber apostado 100% y 0% en la ronda , pero claro asumo que no tengo certeza en todas las respuestas y apuesto según el criterio que mencione , voy a estudiar los posibles árboles en funcion de los resultados de las rondas a ver si saco algo más en limpio en función de p para ver si si puede optimizar para toda p.