Secundaria Se puede escapar del asteroide con menor velocidad que la de escape.

[Richard R Richard]

Una sonda ha descendido en un asteroide esférico con orificios rectos que lo atraviesan lado a lado, puede desplazarse sobre su superficie como quiera con energía renovable, puede también navegar cómodamente por los orificios, pero ha consumido gran parte de su combustible y se halla en reposo sobre la superficie, solo le queda la cantidad justa de combustible como para impulsarse con un $\Delta V$= 60% de la velocidad de escape del campo gravitatorio del asteroide.

• la masa de combustible que quema es despreciable frente a la masa de la sonda.
• no se puede separar y ni dejar en el asteroide ninguna de sus partes o componentes.
• las variaciones del campo gravitatorio de asteroide debido a los agujeros son despreciables frente a una esfera de la misma masa y mismo tamaño.
• el asteroide no rota sobre ninguno de los ejes.
• la masa de la nave es despreciable frente a la del asteroide
• la velocidad relativa de desplazamiento sobre la superficie es despreciable frente a la velocidad de escape.
• No hay un tercer cuerpo celeste cercano, que le aporte energía potencial.
• el lanzamiento puede ocurrir en cualquier direccion
• la sonda no puede ser recuperada mientras mantenga una órbita elíptica.
• no hay atmósfera, ni rozamientos,
• la luz que llega alcanza solamente para cargar sus baterías

Sabemos que con un $\Delta V =100\%$ de la velocidad de escape , escapara seguro. pero...
Existirá un $\Delta V$ menor a la velocidad de escape que permite escapar, y si existe que porcentaje de la velocidad de escape es.Decidir entonces si se pueden hacer maniobras con la sonda para que pueda escapar del campo gravitatorio del asteroide? cuales y como se harían?

[javisot20]

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como usuario frecuente de campos gravitatorios (jeje), cuesta menos dejarse caer que saltar.

¿ podemos impulsar la sonda durante su recorrido hacia el centro del asteriode y que luego la conservación del momento haga el resto ?

Intentando aprovechar que el impulso será más eficiente a favor de la gravedad que en contra.

(Perdón, conservación de la energía)

[Richard R Richard]

Hola ...

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como usuario frecuente de campos gravitatorios (jeje), cuesta menos dejarse caer que saltar.

¿ podemos impulsar la sonda durante su recorrido hacia el centro del asteriode y que luego la conservación del momento haga el resto ?

Intentando aprovechar que el impulso será más eficiente a favor de la gravedad que en contra.

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Si no lo aclaré, es porque no esta prohibido!!! jeje, a ver adonde llegas.

Conservación del momento.... dices? mmm

Gracias por participar ..un saludo!!!

[Richard R Richard]

Ayuda Se puede aplicar el mismo principio matemático que en el el efecto Oberth

[Richard R Richard]

Acerco mi solución

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La velocidad de escape para la sonda ubicada en la superficie se obtiene cuando por aporte de un $\Delta v$ podemos hacer que la órbita de la sonda adquiera energía mecánica nula.

nomenclatura

$M$ masa asteroide
$m$masa de la sonda
$R$radio del asteroide


$E_m=\dfrac{1}{2}mv_e^2-\dfrac{GMm}{R}=0$


$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

para escapar en primera medida pensamos que necesitamos que nuestro $\Delta v$ sea igual a la velocidad de escape.

pero las condiciones impuestas al problem hace que solo podemos alcanzar un porcentaje de esa velocidad por el quemado de combustible ,el $\Delta v$ que le podemos aportar a la sonda será

$\Delta v=Kv_e=K\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

con $0<K<1$

Sabemos que la aceleración provocada por la fuerza gravitatoria proviene de un potencial gravitatorio , se cumple entonces que

$-\nabla \Phi=F=-\dfrac{dE_p}{dr}$

ese potencial varia si la sonda se encuentra fuera o dentro del asteroide

Analicemos primero el caso , fuera del asteroide : tenemos que

$\dst\int\limits_r^{\infty}-\dfrac{dE_p}{dr}=\int\limits_r^{\infty} F {dr}$

$\dst-0-(-E_p(r))=\int\limits_r^{\infty} -\dfrac{GMm}{r^2} {dr}$

$E_p(r)=-\dfrac{GMm}{r}$


pero en el interior del asteroide la fuerza responde a una función de potencial distinta, haciendo uso de la suposición de que el asteroide tiene gravedad similar a la de una esfera maciza

si la gravedad en la superficie es $g_s=\dfrac{GM}{R^2}$

$F_i=-mg_s\dfrac{r}{R}=-\dfrac{mGM}{R^3}r$

luego la energía potencial en el interior

$\dst-0-(-E_p(r))=-0-(-E_p(r))=\int\limits_r^{R} -\dfrac{GMm}{R^3}r {dr}+ \int\limits_R^{\infty} -\dfrac{GMm}{r^2} {dr}$


$E_p(r)=-\dfrac{GMm}{2R^3}(R^2-r^2) -\dfrac{GMm}{R}$

$E_p(r)=-\dfrac32\dfrac{GMm}{R} +\dfrac{GMmr^2}{2R^3}$


entonces si se deja caer la sonda por uno de los orificios rectos podemos calcular cuál será su velocidad al llegar al centro del asteroide, utilizando la conservación de la energía mecánica , esto se hace igualamos la energía en la superficie con la que hay en el centro.

$E_m(R)=E_p(r)+Ec(r)$

$-\dfrac{GMm}{R}=-\dfrac32\dfrac{GMm}{R} +\dfrac{GMmr^2}{2R^3}+\dfrac{1}{2}mv^2$

si calculamos para el caso en que la sond llegue al centro del asteroide $r=0$

$-\dfrac{GMm}{R}=-\dfrac32\dfrac{GMm}{R} +\dfrac{GMm\cancelto{0}{r^2}}{2R^3}+\dfrac{1}{2}mv^2$

despejando

$v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

si al llegar al centro se aplica "instantáneamente" el impulso en la misma direccion que la velocidad, habremos aumentado la energía mecánica de la sonda

hay dos caminos o verificar que valor de K hace que la energía mecánica tome valor nulo o calcular la velocidad de la sonda a la salida del túnel en función de K y calcular su valor al comparar esta velocidad con la velocidad de escape. Por esta segunda vía tenemos un desarrollo de cálculos mas largo pero mas vistoso tenemos


$Ems=-\dfrac32\dfrac{GMm}{R} +\dfrac{GMmr^2}{2R^3}+\dfrac{1}{2}m\left( v+\Delta v \right)^2$


$-\dfrac{GMm}{R}+\dfrac{1}{2}mv_{fs}^2=-\dfrac32\dfrac{GMm}{R} +\dfrac{GMm\cancelto{0}{r^2}}{2R^3}+\dfrac{1}{2}m\left( v+K v_e \right)^2$

$-\dfrac{GMm}{R}+\dfrac{1}{2}mv_{fs}^2=-\dfrac32\dfrac{GMm}{R} +\dfrac{1}{2}m\left( v(1+K \sqrt2) \right)^2$

$\dfrac{GMm}{R}+\dfrac{1}{2}mv_{fs}^2=\dfrac{1}{2}m\left( \sqrt{\dfrac{GM}{R}}(1+K \sqrt2) \right)^2$

$\dfrac{2GM}{R}+v_{fs}^2=-\dfrac{3GM}{R}+\left( \sqrt{\dfrac{GM}{R}}(1+K \sqrt2) \right)^2$

$v_{fs}= \sqrt{\dfrac{GM}{R}\left( (1+K \sqrt2) \right)^2-1)}$

si hacemos que $v_{fs}=v_e$

$\sqrt{\dfrac{GM}{R}\left( (1+K \sqrt2) \right)^2-1)}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

$\dfrac{GM}{R}\left( (1+K \sqrt 2) \right)^2-1)=\dfrac{2GM}{R}$

$\left( (1+K \sqrt 2) \right)^2-1)=2$

$\left((1+K \sqrt 2) \right)^2=3$

$1+K \sqrt 2=\sqrt 3$

$K \sqrt 2=\sqrt 3-1$

$\boxed{K=\dfrac{\sqrt 3-1}{\sqrt 2}=0.5176}$


como $0.5176<0.6\equiv 60\%$ hay suficiente combustible como para escapar de la gravedad del asteroide.

[carroza]

Hola.

Se me pasó este interesante problema.
Debo decir que me chocó en el enunciado, en el que indicaba que el cohete tenía la energía suficiente para proporcionar un 60% de la velocidad de escape, y a la vez indicaba que lamasa del combustible es despreciable frente a la masa de la sonda. No me quedaba claro cual podía ser el mecanismo para acelerar, si la masa del combustible era despreciable frente a la de la sonda. Por otro lado, si se asume que, este la sonda en reposo, o en movimiento, el combustiblele permite cambiar su velocidad en un 60% de la velocidad de escape, entonces la energía de la sonda no se conservaría.

Así que he planteado el problema sin despreciar la masa del combustible. Va mi solución.

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Partimos de la sonda, con su combustible, en reposo. La sonda tiene una masa M, y el combustible una masa m. Se encienden los motores y la velocidad relativa a la que se expulsa el combustible es u=V+v. V es la velocidad de la sonda, y v la velocidad del combustible, ambas en modulo, y ambas en el sistema de referencia de la sonda antes de encender motores.
La conservación del momento hace que $mv = MV$, y la energia total suminstrada por la combustion del combustible en el motor es $E = {1 \over 2} mv^2 + {1 \over 2} M V^2 = {1 \over 2} M V^2 (1 + \frac{M}{m})$.

Esto da idea de que no podemos, por las buenas, despreciar la masa del combustible, haciendo m=0. Tambien nos dice que si M>>m, la mayor parte de la energia se emplea en acelerar el combustible, no la nave.

La velocidad de escape, en la superficie del asteroide, con radio R, cumple ${1 \over 2}V_e^2 + U(R) = 0$. El potencial gravitatorio, en la superficie del asteroide, $U(R) = {- G M_a \over R}$. El potencial gravitatorio en el centro del asteroide, suponiendo distribucion homogenea esferica de masa en la esfera de radio R, es $U(0) = {3\over 2} U(R)$.

La mejor estrategia para arrancar los motores es hacerlo cuando la sonda se mueva lo más rapido posible. Eso hace que la velocidad del combustible (opuesta al movimiento de la sonda) sea más pequeña, menos energía se invierta en el movimiento de l combustible y más en el de la sonda. Para conseguirlo, dejamos caer la sonda por el agujero que atraviesa el asteroide. La conservacion de la energia nos dice que, cuando pase por el centro, tendrá una velocidad $V_0 = V_e/\sqrt{2}$. Entonces encendemos los motores, con lo que la nave adquiere una velocidad $V_f = V + V_0$. El combustible tendrá una velocidad $v_f = v - V_0$, muy alta, pero menor que la que tiene cuando la sonda está en reposo.

En esta situacion, para que la sonda escape, debe complirse ${1 \over 2}V_f^2 + U(0) > 0$, que implica que $V > (\sqrt{3/2} - \sqrt{1/2}) V_e = 0.5176 V_e$, que es el mismo resultado de Richard

PS: Creo que este resultado todavía se podría optimizar acelerando gradualmente los motores

Saludos

[Richard R Richard]

Hola carroza, Genial!!! Gracias por tu respuesta.

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En todo de acuerdo con tu planteo y a las objeciones a las simplificaciones que hice.

Cuando me plantee el problema, pensé que algo se me había pasado por alto y que no se podía escapar con un $\Delta V$ menor que la velocidad de escape, después de hacer varias cuentas y buscar información en sitios web, me di cuenta de que si era posible, concluí que si se podía pero claro existe un limite mínimo a ese $\Delta V$ que es el que has hallado $0.5176 V_e$, pero ambos lo hemos hecho haciendo varias suposiciones, que en realidad no son tan ciertas, pero para hallar un primer resultado no tan sencillo, son suficientes y clarificadoras.
La idea me surgió al leer sobre la asistencia gravitatoria como medio de impulsión, https://es.wikipedia.org/wiki/Asiste...a_gravitatoria
solo hice un leve giro a la trama donde ahora no estamos cerca de la superficie aprovechando el potencial gravitatorio de un objeto masivo, sino en el interior del mismo .

No me quedaba claro cual podía ser el mecanismo para acelerar, si la masa del combustible era despreciable frente a la de la sonda.

Bueno la idea intuitiva que manejaba era que no tenia limite a la velocidad de salida de combustible, y a que los tiempos de impulsión pueden ser altos debido a que al ser un asteroide la gravedad es baja y las velocidades de descenso son lentas comparadas con las de salida de gases de cohetes normales.

PS: Creo que este resultado todavía se podría optimizar acelerando gradualmente los motores

No he podido tener una solución matemática fácil de presentar aplicando la ecuación de Tsiolkovski https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci...de_Tsiolkovski

Arribé a solo modelos numéricos, pues las integrales para relacionar tiempos y posiciones, cuando el inicio y el tiempo de impulsión son variables, me liaba mucho.

Según entiendo, el inicio de la ignición debe suceder a mayor radio que el final de la ignición, aunque al principio pensé que debía ser simétrico, pero una impulsión logarítmica no tiene porque ser simétrica ni en tiempos ni en posición ( aunque si puede suceder), pero si es necesario aprovechar el menor potencial en el interior y además como bien dices, servirse de acelerar cuando a mayor velocidad se encuentre la nave, eso sucederá cerca del centro.

El $\Delta V$ de la ecuación de Tsiolkovski (que es el que podemos administrar a gusto) es independiente incremento cinético debido a la gravedad, por lo que estando más cerca del centro más velocidad final se adquiere, pero impulsar mucho antes o demasiado tarde pasado el centro también provoca que la velocidad final sea menor, así que hay un punto optimo de inicio, en función de la tasa de gasto de combustible , el tiempo de ignición, la masa final de la nave luego de toda la ignición y por supuesto, la velocidad de los gases del cohete y las propiedades físicas del asteroide como masa y diámetro.

Aun mas difícil será plantear lo que creo propones, que se pueda variar la tasa de combustión, o bien la velocidad de los gases de salida durante la impulsión para acelerar de algún modo gradual que sea mas eficaz, pero sin excedernos del total de energía que nos hemos propuesto sea mucho menor que el lanzamiento a velocidad de escape desde la superficie.

Si tu me dices así de buenas a primeras,creo que prorratear la impulsión en el tiempo en vez de considerarla instantánea, llevará a resultados mas ineficaces, es decir necesitamos mayor Delta V o mas energía, como se prefiera , para lograr la velocidad de escape. Aunque eso no lo he modelado nunca y no puedo aportar datos, en su tiempo modelé consumo y velocidad de gases constante, pero no recuerdo nada concluyente sobre eso tampoco.

Pd...Me has dado un poco de motivación para programar algo de nuevo, pero esperaré a un nuevo PC que me llega en estos días , allí veré si puedo definitivamente adaptarme a Phyton y abandonar el arcaico Microsoft visual Basic de una vez por todas.

[Richard R Richard]

Hola

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Con velocidad de salida de gases constante , he simulado y consumiendo la misma energía tengo la máxima velocidad final en la superficie cuando hago ignición a un 8 por mil del radio del asteroide previo a llegar al centro . cuanto mas extiendo el tiempo de ignición ese valor aumenta y cuanto mas pequeño el tiempo mas se acerca al centro. Y mínimamente debe hacer ignición pasados el 35% del radio e la superficie para que con una nave vacía del 10% de la masa total pueda escapar

Pero he visto un detalle, que escapa a la intensión inicial del problema, y es que al reducir la masa de la nave aumentando la cantidad de combustible manteniendo igual la masa total, la energía que se obtiene por quemar ese combustible , supera con creces a la necesaria para alcanzar la velocidad de escape de la nave vacía. Por lo que el reto debe ser que la energía que se extraiga de todo el combustible deba ser solo el 60% o menor que la necesaria para que alcance la velocidad de escape solo la nave vacía.

$E_{disp}=K\dfrac{1}{2}m_{nv}V_e^2=Km_{nv}\dfrac{GM_a}{Ra}$

con $K\geq\dfrac{\sqrt 3-1}{\sqrt 2}=0.5176$


Pd
al estirar el tiempo de ignición 10 veces conviene hacer ignición a los 8.4% del radio casi 10 veces ese 8pormil manteniendo el consumo constante.
con consumo lineal creciente se debe hacer ignición antes al 9.8% y con consumo decreciente a los 6.2% siempre antes de llegar al centro no luego de haberlo pasado ,

con el mismo salto energético y tiempo de ignición conviene hacer ignición decreciente para una relación de masa combustible nave vacía 9 a 1 , supera la velocidad de escape en 9.5% la ignición constante en 9.3% y la creciente en solo el 9%, así que si la forma en que se quema tambien tiene influencia sobre la velocidad final.


Nuevo PD edito

he logrado superar la velocidad de escape con K= 0.5176 e ignición constante, por lo que con decreciente sera aun mas facil.