Cohetes eficientes.

[carroza]

Consideremos una nave espacial, que está en reposo, en el espacio exterior.. La nave tiene una masa, en vacío M, y un combustible de masa m. m es menor que M, pero no despreciable frente a M. El capitan de la nave quiere alcanzar la máxima velocidad posible. Consideramos dos casos:

A) La nave tiene un motor, que quema el combustible, y expulsa los residuos con una velocidad $u$ constante, relativa a la nave.

B) La nave tiene un motor, que quema el combustible, de forma que la energía de combustión $E= 1/2 m u^2$, se convierte integramente en energía cinética de los residuos y de la nave.

En ambos casos, el funcionamiento del motor puede ser gradual (es decir, quema gradualmente el combustible, y expulsa gradualmente los residuos), o explosivo (quema en un instante todo el combustible y expulsa lso residuos).

¿Cual es la estrategia mejor para acelerar la nave, para los motores A y B, gradual o explosiva? ¿Cual es la velocidad final de la nave, en cada uno de los cuatro casos?

PS: La masa de los residuos de la combustión es la misma que la masa del combustible, es decir, no hay que entrar en efectos relativistas. El momento, obviamente, debe conservarse, y se consideran válidas las expresiones no relativistas.

PPS: este problema está motivado por uno anterior de Richard R Richard

Saludos

[Richard R Richard]

Hola carroza

A) La nave tiene un motor, que quema el combustible, y expulsa los residuos con una velocidad $u$ constante, relativa a la nave.

Este apartado lo podemos encarar según la ecuación de Kostantin Tsiolkovsky , la masa del combustible por lo general es mayor que la de la nave en tu notación sería $\Delta v = u \ln \dfrac {M+m }{M}$

B) La nave tiene un motor, que quema el combustible, de forma que la energía de combustión $E= 1/2 m u^2$, se convierte íntegramente en energía cinética de los residuos y de la nave.

Acá el tema se puede dividir en

1 aplicar la conservación de la energía y del momento lineal para un único instante en un único sistema de referencia , tal sería la versión explosiva, las características principales serian
la velocidad de los gases respecto de la nave serían u y la velocidad relativa de la nave al sistema de referencia estático es $\Delta v$ y la de los gases $u-\Delta V$ en sentidos opuestos.

2 aplicar la conservación de la energía para un continuo de tiempo, pero hay que tener que tener cuidado con la conservación del momento lineal, porque , a cada instante la nave lleva una velocidad diferente respecto al Sr estático, si la tasa de consumo de combustible o la velocidad de los gases es constante, entonces sirve la ecuación aplicada en A

3) aplicar la conservación de la energía para un continuo de tiempo, teniendo cuidado con la conservación del momento lineal, como en el casos anterior pero podemos variar el consumos o la velocidad de los gases.

En ambos casos, el funcionamiento del motor puede ser gradual (es decir, quema gradualmente el combustible, y expulsa gradualmente los residuos), o explosivo (quema en un instante todo el combustible y expulsa lso residuos).

Quizá no llego a ver el fondo de tu idea cuando hace las diferencia entre A y B. En A o bien tienes el cohete de Tsiolkovsky para un $\Delta t$ de ignición o bien un problema de conservación de energía y momento para una explosión instantánea.

En B hay que desarrollar ecuaciones diferenciales teniendo en cuenta el consumo y la velocidad relativa de los gases en función del tiempo.

¿Cual es la estrategia mejor para acelerar la nave, para los motores A y B, gradual o explosiva?

En una explosión la conservación del momento $M \Delta v+m(-u)=0$ y la de la energía cinetica $\dfrac12mu^2=\dfrac12M(\Delta v)^2+\dfrac12m(u-\Delta v)^2$

pero nos interesa $\Delta v$ de la primera $\Delta v =\dfrac{mu}{M}$ si podemos convertir todo la la energía en velocidad, sin perdidas en otra direcciones ni por radiación de calor o rozamientos.

Si llamamos $k=\dfrac{m}{M}$ vemos que $k>ln(k+1)\, \forall\, k>0$ , vemos que conviene siempre la explosión, a lo gradual de Tsiolkovsky, el tema es que los materiales no resisten al impulso dado por la única explosión.

corregido Gracias carroza

pero nos interesa $\Delta v$ de la primera $\Delta v =\dfrac{m(u-\Delta v}{M}$ si podemos convertir todo la la energía en velocidad, sin perdidas en otra direcciones ni por radiación de calor o rozamientos.

Si llamamos $k=\dfrac{m}{M}$ vemos que $\frac{k}{k+1}<ln(k+1)\, \forall\, k>0$ , vemos que conviene siempre lo gradual de Tsiolkovsky a la explosión, además un tema extra que es que los materiales no resisten al impulso dado por la única explosión.

¿Cual es la velocidad final de la nave, en cada uno de los cuatro casos?

Aquí me pierdo, en intentar diferenciar los casos a tu modo, creo que algunos ya los he posteado.

en particular la ED general a resolver es

$\dfrac{d v}{ dt} =- u_{rel}(t) \dfrac{dM'}{ M' dt}$


donde $M'=M+m-C_{(t)}$

siendo $C(t)$una función temporal del consumo de combustible, y $u_{rel}(t)$ la función que representa el control de la velocidad de los gases de salida


$\dfrac{\partial M'}{\partial t}=-C_{(t)}$

Como es una reacción química, hay cierta correlación entre la masa de combustible consumida y la velocidad de los gases por la tobera, que se puede modelar o buscar de fuentes confiables de algún desarrollador de motores.

De nuevo se ve que si en esa ED hacemos $u=u_{rel}(=cte$ y $C(t) =Cte$ llegamos a $\Delta v= v-v_o=-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{M'}t\right| =-u_{rel}\ln\left|\dfrac{M+m}{M}\right|$ la ecuación del cohete de Tsiolkovsky, donde el signo menos indica el sentido contrario a la velocidad de salida de los gases.


Algunas fórmulas tienen su origen desarrollo en mi blog https://forum.lawebdefisica.com/blog...-masa-variable

[Richard R Richard]

Otra opinión aparte de las ya participantes, afirmando o corrigiendo sería muy bienvenida. Saludos

[carroza]

Hola.

Completo mi solución, que coincide en varios casos, pero difiere en alguno, de la de Richard:

Para el caso de la ignición gradual, los motores A y B son equivalentes. En ambos casos, para una pequeña cantidad de masa de combustible $dx$ consumida, la energía cinática aumenta en $dE = 1/2 dx u^2$. Esto permite platear una ecuación diferencial para la velodidad de la nave, $V(x)$, donde $x$ esla cantidad de masa ce combustible onsumida, que está entre 0 y m.

Las ecuación que me sale, válida para los casos A y B, es $(M+m-x) dV(x) = U dx$, que integrando da $V(x)-V(0) = u \log( {M+m \over M+m-x})$.

Una vez consumido todo el combustible, si la nave parte del reposo, se tiene $V(m) = u \log( {M+m \over M})$.

Ahora vamos a los eventos explosivos. En el caso A, la velocidad relativa es u, que se reparte entre navel $V_n=V(m)$ y combustible $V_c$, tal que $u = V_p + V_c$ de forma inversamente proporcional a las masas, para conservar el momento $M V_n = m V_c$, con lo que se tiene.
$V(m) = u {m \over M+m}$. Esta velocidad es inferior a la del caso gradual.

En el caso B, la energía cinética $E=1/2 m v^2$. Esta energía se reparte entre nave y combustible, tambien de forma inversamente proporcional a las masas. Así, la energía cinética de la nave resulta $E_n = {m \over M+m} E$, von lo que la velocidad de la nave resulta $V(m) = u \sqrt{m^2\over M (M+m)}$. Esta velocidad es superior a la del caso gradual.

Así que nos queda que el cohete óptimo es el cohete explosivo, para un motor B que es capaz de convertir toda la energía en energía cinética. El motor A, diseñado para dar una velocidad relativa fija a los gases del combistible, es mejor usarlo en modo gradual que en modo explosivo.

Quedo a expensas de vuestras opiniones/criticas y observaciones de cual es el mecanismo de motores a reacción.

Saludos

[Richard R Richard]

A veces me sorprendo con los errores básicos que cometo

[Richard R Richard]

Por otro lado Revisa tu última expresión , no está dimensionalmente correcta, , faltaría un cuadrado a m en el interior de la raíz.

[carroza]

Corregido, gracias.

[Richard R Richard]

Hola _@carroza si comparo las velocidades de las naves

tu caso B Vs el de A

lo puedo expresar como

$V(m)_B = u \sqrt{m^2\over M (M+m)}= um \sqrt{1\over M (M+m)}=\dfrac{um}{m+M}\sqrt{\dfrac{(m+M)^2}{M(m+M)}}=\dfrac{um}{m+M}\sqrt{\dfrac{(m+M)}{M}}=V(m)_A\overbrace{\sqrt{\dfrac{(m+M)}{M}}}^{>1}\quad>\quad\dfrac{um}{m+M}=V(m)_A$

osea

$V(m)_B>V(m)_A$

Sigue siendo mas eficiente la impulsión progresiva, que la instantánea, puedo decirlo ahora que aclaré mis ideas equivocadas anteriores.

[carroza]

Por completar, tomemos un ejemplo en el que la masa del combustible m es 0,1 veces la masa del cohete vacío.

El resultado de la velocidad del cohete es

Motor tipo A (velocidad relativa u). Explosivo: V(m)= 0,09091 u. Gradual V(m)= 0,09531 u

Motor tipo B (energia 1/2 m u^2). Explosivo: V(m) = 0,09535 u. Gradual V(m)= 0,09531 u

Así que, el motor más eficiente es el motor que convierte la energía del combustible en energía cinética, y funciona de manera explosiva.

[Richard R Richard]

Hola si $0.1=m/M$ con u entre 2 y 4km/s para un cohete normal la velocidad resultante esta en el orden del 10% , significa que en las explosiones los materiales deben recibir un impulso instantáneo que lleve al toda la nave a 200 o 400 m/s o alrededor de los 1000km/h ,las altas fuerzas g de ese proceso destruyen cualquier nave (satélite artificial), aunque claramente la munición (balas) si lo soportan mientras viajan por el interior del cañon del arma (la aceleración tampoco es instantánea, y también se aprovecha el no retroceso de los gases confinados )

Imagina si ahora haces al revés que sea el 10 % M respecto de m , en un lanzamiento

Motor tipo A (velocidad relativa u). Explosivo: V(m)= 0,9091 u. Gradual V(m)= 4.700 2.3979u

Motor tipo B (energía 1/2 m u^2). Explosivo: V(m) = 3.015 u. Gradual V(m)= 4.7002.3979 u

[carroza]

Hola.

Imaginando algo "explosivo", como algo que tarda un segundo, las aceleraciones que planetas serían unos 20 a 40 g, que parecería soportable para el equipo (no se si tan soportable para la tripulación).

Con respecto al caso en el que el cohete sea casi todo combustible, m=10 M, aplicando las fórmulas, a mi me sale:

Motor tipo A (velocidad relativa u). Explosivo: V(m)= 0,9091 u. Gradual V(m)= 2,3979 u

Motor tipo B (energia 1/2 m u^2). Explosivo: V(m) = 3,0151 u. Gradual V(m)= 2,3979 u

Las condiciones "explosivas" se aplican considerando que todo el combustible, tras la ignción, sale con la misma velocidad. Eso corresponde a una imagen en el que el combustible es como una puedra, que tiene un resorte que libera la energía potencial y la convierte en cinética. Probablemente, esto no corresponde en absoluto a un caso realista de una combustión, por lo que me inclinaría a pensar que la imagen "gradual" es la más realista.