Contraintuitivo

[Machinegun]

Hay 98 personas numeradas en una habitación y se les dice que en la habitación contigua hay también 98 cajas numeradas dentro de las cuales hay sendos papeles numerados pero ordenados aleatoriamente. Es decir, la caja 1 puede contener cialquier número entre el 1 y el 98, inclusive, y así todas las demás cajas. Ningún número se repite ni en los papeles ni en las cajas ni en las personas. Una por una, las personas van a pasar a la habitación de las cajas y cada una podrá abrir hasta 49 cajas, a fin de encontrar el papel en el que está inscrito su propio número; por ejemplo, la persona 43 buscará el número 43, que puede estar en la caja 67 o en la 54, o en cualquiera de las 96 restantes.

Si las 98 personas encuentran su número ganan un premio muy cuantioso, pero si alguna falla, nadie gana nada.

Si las personas buscaran al azar tendrían una probabilidad muy pequeña de ganar el premio porque cada una tendría ½ de posibilidades de éxito por lo que la probabilidad de ganar el premio sería de ½ elevado a la 98. Antes de empezar el juego, se les permite acordar una estrategia para mejorar sus posibilidades, pero después ya no pueden intercambiar ninguna información.

Existe una sorprendente estrategia que aumentaría sus probabilidades de ganar el premio a cerca del 31%. ¿Cuál es?

[javisot20]

Sabemos que si todos eligen las mismas 50 cajas pierden automaticamente. (Haciendo eso como mucho acertarán 50 números o menos)

Mi respuesta intuitiva es que todas las cajas deben haber sido abiertas el mismo número de veces, pero comentas que es un problema contraituitivo...
Cuando pueda lo intento.

[Machinegun]

Corregí el texto porque no son 50 sino 49 las que puede abrir cada uno. En cuanto a que todas las cajas deben haber sido abiertas el mismo número de veces, creo que no necesariamente.

[Richard R Richard]

Hola

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Existe un juego de naipes estilo solitario, que tiene la misma táctica,
se trata de que el primero que ingrese a buscar una caja, lo haga buscando una caja con su número, la destape y mire el número en el interior, como ya por hipotesis no puede contener el mismo número que la caja, lo siguiente es buscar la caja cuyo número era el que estaba en la caja anterior, con suerte y probabilidades a favor , hallará su numero antes de los 49 eventos de apertura.

Si no se forman bucles cerrados de varios números la probabilidad de encontrar el propio en la sucesion es alta.
Ese 31% debe ser un resultado estadistico, no creo sea tan fácil obtener como de extraerlo de una simple ecuación.

Saludos

[Machinegun]

La probabilidad de que en la caja 1 se encuentre el número 1 no es cero sino 1/98, porque los papeles están distribuidos al azar en las cajas. Tal vez no fui muy claro al decir que no se repiten los números ni en los papeles ni en las cajas ni en las personas, quizá bastaba con decir que eran 98 cajas, 98 personas y 98 papeles (uno dentro de cada caja), todos numerados del 1 al 98.

[Richard R Richard]

Ok ,pensé que cuando decía no repetirse, era que en la caja n nunca iba a estar el papel n.
Así las probabilidades cambian, luego recalculo.

[javisot20]

Abrir la menor variedad de cajas que además implica abrir el mismo número de veces cada caja es la peor estrategia.

(Abrir las 49 primeras cajas 98 veces cada una)


Suponiendo que la mejor estrategia es contraria a la peor estrategia deberíamos abrir las 98 cajas un número diferente de veces cada caja.

Caja 1- 1 vez abierta
caja 2- 2 veces abierta
.
.
caja 98 - 98 veces abierta


Podemos elegir cualquier orden/estrategia que respete el abrir todas las cajas un número diferente de.veces.cada caja.




Perdón Richard contesté más tarde, ¿es esa la respuesta entonces?, ¿coincide además con que se terminaría eligiendo las 98 cajas un número diferente de veces cada caja no?

[Richard R Richard]

¿es esa la respuesta entonces?,

Espero que sí.

¿coincide además con que se terminaría eligiendo las 98 cajas un número diferente de veces cada caja no?

No entiendo bien tu estrategía , si es que todas las personas eligen solo 49 de las 98 cajas seguro 49 van a fallar , y perderan siempre.

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Cuando se elige la primera caja la probabilidad de que alli este el numero buscado es cero, por definicion del problema, la caja n no contiene el numero n
la probabilidad de que en la segunda caja que abro este mi numero es $\dfrac{1}{97}$ , la probabilidad de hallarla en la tercer caja es $\dfrac{96}{97}\dfrac{1}{96}=1/97$ esto puedes repetirlo hasta 48 veces
así la probabilidad de hallar su numero por el primer participante es de $\dfrac{48}{97}$ como maximo
el segundo tiene $\dfrac{48}{96}$
osea cada uno tiene $\dfrac{48}{98-x}$ siendo x el numero de participante
si alguno no lo halla el juego se termina así que la probabilidad de exito creo se calcula como

$\prod\limits_{x=1}^{50=98-48} \dfrac{48}{98-x}$

luego del particiante 50 todos pueden abrir todas las cajas y encontrar su numero sin fallar, así que la probabilidad de acertar es 1

Creo que ese calculo no asciende a 0.31, sino que es mucho menor, pero bueno así es como lo calcularía yo, supongo que algo me paso por alto.

[javisot20]

Abrir 49 cajas el mismo número de veces no es la estrategia Richard, es la peor estrategia.Toda estrategia que no contemple abrir las 98 cajas automaticamente pierde.
La estrategia más completa es abrir las 98 cajas un número diferente de veces cada caja.

Puedes plantearlo con distintas presentaciones y cálculos, pero al final,

a-se deben haber abierto las 98 cajas
b-se deben haber abierto un número diferente de veces cada caja

[Richard R Richard]

Si $x=98$ personas abren un número diferente de cajas ,algunos deben abrir más de 49 lo que va en contra del enunciado, igualmente con ese número es $x(x-1)/2$ y el juego propone abrir $x(x/2)$ cajas en total. Pero los primeros 50 participantes no pueden abrir todas las necesarias por eso la estrategia que sigo te permite que un participante no repita la apertura de la misma caja dos veces en su turno.

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El primero entonces tiene 50% de probabilidad de acertar en su búsqueda, el segundo 49/97 el tercero 49/96 así hasta que el participante 50 y los que siguen tienen igual o más oportunidades de apertura que cajas disponibles , por lo que aciertan siempre probabilidad 1
luego $p=\dfrac{49^{50}\cdot 49!}{98!}=\notcien{2.08}{-7}<br />$

Por lo que veo en el cálculo sigo sin ver algo y da muy bajo

[javisot20]

Perdón, efectivamente no da lo mismo, pero igualmente puedes comenzar suponiendo un número diferente de veces abierta cada caja, como te sobran aperturas puedes repartirlas mejorando tu probabilidad.

98 personas a 49 aperturas por persona son 4802 aperturas totales que serán realizadas.

La suma de todos los números del 1 al 98 es 4753, es decir, abriendo un número diferente de veces cada caja todavía te quedan 49 aperturas que puedes realizar.

[carroza]

Hola. Pongo mi solución.

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Los participantes acuerdan que abrirán cada uno de ellos una caja diferente, en cada ronda. Si uno encuentra su numero, se queda en esa caja el resto de las rondas. Si no lo encuentra, cambia de caja, pero, evidentemente, no echa de una caja a la persona que ya se encuentra en ella.

Con ello, conforme pasan las rondas, se excluyen (sin necesidad de comunicar nada) las cajas con numeros ya acertados, con lo que van aumentanto las probabilidades de acierto de los que, todavía no han acertado la suya.

saludos

[Machinegun]

Creo que algunas cosas no las he explicado bien. Por ejemplo, las cajas miden 20 × 20 × 20 cm o algo así, es decir, contienen un papelito con un número. Cada persona puede abrir (y volver a cerrar, por supuesto) hasta 49 cajas mientras está en la habitación de las cajas, y después sale de esa habitación y entra la siguiente persona y así hasta que pase la última persona a dicha habitación y abra las cajas que quiera (hasta un máximo de 49). La persona que entra en la habitación de las cajas no puede transmitir ninguna información a los demás, por lo que nadie sabe cuántas cajas tiene que abrir cada quien para encontrar su número.

[javisot20]

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Caja 1 - 1 vez abierta (p=1/98)

Caja 2 - 2 veces abierta

Caja 3 - 3 veces abierta
.
.
.
Caja 98 - 98 veces abierta (esta caja es acertada con total probalidad, todo el mundo abrirá esta caja)

Hasta aquí, el total de aperturas realidas es 4753.

Todavía nos quedan 49 aperturas que podemos utilizar para acertar con total probabilidad los número de las cajas 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90, 89, sobrando 4 aperturas todavía.

Es decir, podemos acertar con total probabilidad los números contenidos en 9 cajas pero no existe un número con probabilidad nula de ser encontrado, la menor probabilidad es 1/98.

Los "algoritmos" tipo Turing que proponéis producen esta repartición de un modo u otro. Puede no haber sido la caja 98 la abierta 98 veces y haber decidido que sea otra, da igual el orden al partir del desconocimiento total.

[Richard R Richard]

Hola Machinegun, imagino que...

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ya habrás visto esto

No llegue a la solución, por pensar que las probabilidades eran independientes y las multiplique, hubiera andado más cerca al sumarlas ponderadamente.
Igualmente pensé que si hallaba su caja la retiraba del juego, dando más posibilidades a los restantes , pero veo que no es así.
Me quedo contento que mi intuición con el método , no era equivocada, puedo ir preso tranquilo.

Saludos

[Machinegun]

Claro, de ahí lo saqué, sólo le cambié algunos datos con la idea de que no lo buscaran en internet, pero veo que fallé. De todos modos me parece uno de los acertijos más interesantes que he conocido.

Saludos

[Richard R Richard]

Jajaja, solo ha aparecido por arte de magia en mí lista de reproducción de YouTube en mí TV ya que no es en nuevo pero estoy suscrito al canal.
Con un título diferente clickee sin saber que era el mismo problema, y me di cuenta que ni si siquiera lo había entendido bien, Gracias por postearlo.

[javisot20]

¿Si tienen 4802 intentos totales puedo pedir que aunque apliquen el método de bucles deben haber sido consumidos todos los intentos al acabar el juego?

Si paran al encontrar su número cuando el juego termine el número de intentos consumidos podría ir desde 4802 hasta 98 (en el caso de que todos acertasen a la primera). Demasiadas distribuciones finales posibles...
En cambio pidiéndoles que no paren al encontrar su número todas las distribuciones finales deben tener 4802 intentos consumidos.

El resultado no cambia, siguen utilizando el método de bucles, pero hay menos distribuciones finales que analizar.

[Richard R Richard]

¿Si tienen 4802 intentos totales puedo pedir que aunque apliquen el método de bucles deben haber sido consumidos todos los intentos al acabar el juego?

Una vez encontrado el suyo , salen de la habitación dejándola cómo estaba.Ahora comprendí eso.

Si paran al encontrar su número cuando el juego termine el número de intentos consumidos podría ir desde 4802 hasta 98 (en el caso de que todos acertasen a la primera). Demasiadas distribuciones finales posibles...

En efecto la posibilidad de que al levantar la caja con su número este el numero propio dentro para los 98 prisioneros existe, y tiene una probabilidad bajísima cómo cualquier otra combinación 1/100!

En cambio pidiéndoles que no paren al encontrar su número todas las distribuciones finales deben tener 4802 intentos consumidos.

El resultado no cambia, siguen utilizando el método de bucles, pero hay menos distribuciones finales que analizar.

Si un ciclo tiene 3 números
$50\to34$
$34\to 22$
$22\to50$
Al tercer intento ya el preso 50 encontró su número, para que seguir destapando cajas si no puedes pasar información.
el tema es que al preso 34 le pasará lo mismo y al 22 también.

[javisot20]

Entiendo Richard, entiendo además la respuesta de veritasium y que es correcta. El tema es que quiero forzar a los presos a gastar todos los intentos aplicando el método del video igualmente para comprobar las distribuciones finales posibles

Buscando lo siguiente,
"cualquier método que conduzca a una de las siguientes distribuciones posibles está asociado al porcentaje ganador que propone el problema"

Estrategias para conseguir esas distribuciones habrá muchas y variadas, desde luego.

Puedo eliminar directamente todas las distribuciones finales que, habiendo gastado los 4802 intentos, no han abierto todas las cajas.



Pregunto, ¿se entiende lo que estoy buscando?

Una vez encontrado el suyo , salen de la habitación dejándola cómo estaba.Ahora comprendí eso.

Si, pero eso es trivial Richard, pueden no salir de la habitación y gastar todos los intentos aunque encuentren su número. Lo que no pueden hacer es compartir información simplemente.

[carroza]

Hola. Os muestro mis intentos de encontrar una estrategia óptima, con los criterios de Machinegun. Voy a hacerlo gradualmente, es decir, empezando con dos cajas, luego cuatro, luego 6, y tantos participantes como cajas. Cada participante puede abrir N/2 cajas.

Dos participantes, dos cajas, cada uno abre una:

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La estrategia es que acuerdan que el primer participante abre la caja 1, y el segundo la 2. Obviamente, o ambos aciertan, o ambos fallan, con lo que la probabilidad de ganar es 1/2, bastante superior a hacerlo al azar, que sería 1/4

Cuatro participantes, cuatro cajas, cada uno abre 2:

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La estrategia es que acuerdan que el primer participante abre las cajas (1, 2), y el segundo las cajas (3,4). El tercero abre, de nuevo (1,2) y el cuarto (3,4). El primero tiene una probabilidad de acertar 1/2. El segundo, si el primero ha acertado, tiene 2/3 de acertar, ya que toma dos posibilidades de tres posinles (3, 4 y una de las dos posibles 1,2 que no sea la del jugador 1). El tiene una probabilidad 1/2 de acertar. El cuarto acierta seguro, si los tres anteriores lo han hecho.

Por tanto, me sale una probabilidad de que todos ganen de 1/6, mejor que el 1/16 aleatorio.

Seis participantes, seis cajas, cada uno abre 3:

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La estrategia es que acuerdan que el primer participante abre las cajas (1, 2,3), y el segundo las cajas (4,5,6).
El tercero abre de nuevo (1,2,3) (o cualquier combinacion de dos cajas del primero, y una del segundo), el cuarto (4,5,6). El quinto abre (1,2,3) y el sexto (4,5,6)
El primero tiene una probabilidad de acertar 1/2. El segundo, si el primero ha acertado, tiene 3/5 de acertar, ya que toma tres posibilidades de cinco posinles (4,5,6 y dos de las tres posibles 1,2,3 que no sea la que acerto jugador 1). El tercero, por inspeccion de todas las posinilidades consistentes con que el primer participante y el segudo acierten, tiene una probabilidad 1/2 de acertar. El cuarto tiene 2/3 de probabilidades (hay dos resultados posibles de 4,5,6, y uno posible en 1,2,3). El quinto tiene posibilidad 1/2, y el sexto acerta seguro, si lo hicieron los demás.

Por tanto, me sale una probabilidad de que todos ganen de 1/20, mejor que 1/64.

No veo como sale la solucion con una probabilidad muy alta (30%) de machinegun para 98 participantes. Espero ansioso su respuesta.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola carroza, una estrategia para 4 cajas como tu propones, alerta de spoiler

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Observa que hay 24 formas$=4!$ de ordenar diferentes las cajas con sus números. En dos intentos al azar cada uno tiene 0.5 de probabilidad de hallar su número $\dfrac14+\dfrac34\dfrac13=\dfrac12$ por lo que de esa forma la probabilidad de que acierten es $0.5^4 = 6.25\%$

pero si acuerdan que cada uno busca su propio numero, si lo destapa y acierta es positivo para ganar, pero si no está su número abre la caja que cuyo número estaba en el interior de la primera caja que abre, de ese modo de las 24 combinaciones que existen, hay 10 combinaciones que permiten ganar mediante la estrategia, y 14 con las que no, osea 10/24 o 41.6% de las veces se gana...

caja1	caja2	caja3	caja4	P/G
1	2	3	4	G
1	2	4	3	G
1	3	2	4	G
1	3	4	2	P
1	4	2	3	P
1	4	3	2	G
2	1	3	4	G
2	1	4	3	G
2	3	1	4	P
2	3	4	1	P
2	4	1	3	P
2	4	3	1	P
3	1	2	4	P
3	1	4	2	P
3	2	1	4	G
3	2	4	1	P
3	4	1	2	G
3	4	2	1	P
4	1	2	3	P
4	1	3	2	P
4	2	1	3	P
4	2	3	1	G
4	3	1	2	P
4	3	2	1	G

hay una forma de hacer tender ese porcentaje a 0.31 que no es 0.31 exactos sino una aproximación para cuando el número de participantes aumenta y el número de cajas posibles de abrir sigue siendo la mitad.