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La función phi de euler y la teoría de grupos
Si G es un grupo finito, llamamos orden de G y lo representamos como |G|, al cardinal de G.
Lagrange demostró que si H es un subgrupo de dicho grupo G, hecho que expresamos H<G, entonces |H| | |G|, es decir que |H| es un divisor de |G|.
No es mi intención en este post demostrar este teorema, sinó utilizarlo para hacer ver otros hechos, así que prosigo mi escrito.
Si g€G, denominamos <g>, al subgrupo cíclico generado al operar repetidamente el elemento g consigo mismo. Al ser G finito, exitirá un n€N mínimo distinto de 0 tal que g^n=1.
Vamos a demostrar que si k,m€N y 0=<m<k<n entonces g^k#g^m.
Veamos , si g^k=g^m entonces g^k*g^(-m)=1, osea g^(k-m)=1, pero como n es el menor natural distinto de 0 al que tenemos que elevar g para obtener 1, y como m<k<n tendrá que ser k-m=0 y k=m.
A este natural n lo llamamos orden de g en G y lo representamos |g|. Por lo anterior vemos que n=|<g>| y |<g>| | |G| por el teorema de Lagrange. Si existe un g€G tal que |<g>|=|G| decimos que g es elemento primitivo de G, y tenemos que <g>=G, por ser <g> subgrupo de G y tener ambos el mismo orden. Ello a su vez quiere decir que el propio G es cíclico.
Bien, ahora nos podemos preguntar si G es cíclico , cuantos elementos primitivos tendrá G? Veamos si G es cíclico existe un g€G tal que <g>=G y además G={1,g,g^2,g^3,.....,g^(|G|-1)}
Ahora vamos a demostrar que para todo n€N tal que 0=<n<|G|, |g^n|=|G|/(n,|G|). En primer lugar vemos que (g^n)^(|G|/(n,|G|))=(g^|G|)^(n/(|G|,n))=1 por lo que |g^n| | |G|/(|G|,n). Reciprocamente tenemos que (g^n)^|g^n|=g^(n*|g^n|)=1 por lo que |G| | n*|g^n| por lo que |G|/(|G|,n) | n*|g^n|/(|G|,n) pero como (|G|/(|G|,n), n/(|G|,n))=1 tenemos que |G|/(|G|,n) | |g^n| com queriamos demostrar...
Ello nos lleva a que g^n será elemento primitivo sí y solamente sí (n,|G|)=1, por lo que el número de elementos primitivos del grupo G, será precisamente phi(|G|).
Por otro lado para todo d | |G| tenemos por lo anterior que g^(|G|/d) tendrá por orden |g^(|G|/d)|=|G|/(|G|,|G|/d)=d, es decir que para todo d | |G| tenemos un subgrupo cíclico de orden d que será <g^(|G|/d)>.
Se demuestra también fácilmente que para cada d | |G| existe un único subgrupo de G con d elementos, de forma que para cada d | |G| , de un grupo cíclico G, existe un único subgrupo cíclico de orden d.
Y ahora ya llegamos al final, hemos visto con anterioridad , que todo grupo cíclico de orden n, tiene exactamente phi(n) elementos primitivos.
Entonces, si para cada d | |G| existe un único subgrupo cíclico de orden d en G, tenemos que la cantidad de elementos de orden d en G será precisamente, la cantidad de elementos primitivos que tenga ese subgrupo cíclico de orden d, ya que como hemos visto este subgrupo es único, y todos los elementos de orden d de G, generaran el mismo subgrupo cíclico y seran elementos primitivos del mismo.
Y como el orden de G es la suma de la cantidad de elementos de orden d, para cada d | |G|, tenemos que :
|G|=suma(phi(d), d | |G|)
Así si por ejemplo |G|=12 como los divisores de 12 son 1,2,3,4,6 y 12 tenemos que 12=phi(1)+phi(2)+phi(3)+phi(4)+phi(6)+phi(12)=1+1+2+2+2+4=12
Para acabar una reflexión, por lo que hemos dicho, es fácil ver que si un grupo finito tiene por orden un número primo p, entonces, como el orden de un elemento siempre es divisor del orden del grupo, y como el único elemento de orden 1 es precisamente 1, tenemos que habrá p-1 elementos primitivos en ese grupo, por lo que el grupo en cuestión será cíclico, y sin subgrupos propios. Por ser cíclico también será abeliano ya que todo grupo cíclico lo es. Es decir, todo grupo de orden primo, es cíclico, abeliano, y sin subgrupos propios, por lo tanto también es simple....
Un saludo
Lagrange demostró que si H es un subgrupo de dicho grupo G, hecho que expresamos H<G, entonces |H| | |G|, es decir que |H| es un divisor de |G|.
No es mi intención en este post demostrar este teorema, sinó utilizarlo para hacer ver otros hechos, así que prosigo mi escrito.
Si g€G, denominamos <g>, al subgrupo cíclico generado al operar repetidamente el elemento g consigo mismo. Al ser G finito, exitirá un n€N mínimo distinto de 0 tal que g^n=1.
Vamos a demostrar que si k,m€N y 0=<m<k<n entonces g^k#g^m.
Veamos , si g^k=g^m entonces g^k*g^(-m)=1, osea g^(k-m)=1, pero como n es el menor natural distinto de 0 al que tenemos que elevar g para obtener 1, y como m<k<n tendrá que ser k-m=0 y k=m.
A este natural n lo llamamos orden de g en G y lo representamos |g|. Por lo anterior vemos que n=|<g>| y |<g>| | |G| por el teorema de Lagrange. Si existe un g€G tal que |<g>|=|G| decimos que g es elemento primitivo de G, y tenemos que <g>=G, por ser <g> subgrupo de G y tener ambos el mismo orden. Ello a su vez quiere decir que el propio G es cíclico.
Bien, ahora nos podemos preguntar si G es cíclico , cuantos elementos primitivos tendrá G? Veamos si G es cíclico existe un g€G tal que <g>=G y además G={1,g,g^2,g^3,.....,g^(|G|-1)}
Ahora vamos a demostrar que para todo n€N tal que 0=<n<|G|, |g^n|=|G|/(n,|G|). En primer lugar vemos que (g^n)^(|G|/(n,|G|))=(g^|G|)^(n/(|G|,n))=1 por lo que |g^n| | |G|/(|G|,n). Reciprocamente tenemos que (g^n)^|g^n|=g^(n*|g^n|)=1 por lo que |G| | n*|g^n| por lo que |G|/(|G|,n) | n*|g^n|/(|G|,n) pero como (|G|/(|G|,n), n/(|G|,n))=1 tenemos que |G|/(|G|,n) | |g^n| com queriamos demostrar...
Ello nos lleva a que g^n será elemento primitivo sí y solamente sí (n,|G|)=1, por lo que el número de elementos primitivos del grupo G, será precisamente phi(|G|).
Por otro lado para todo d | |G| tenemos por lo anterior que g^(|G|/d) tendrá por orden |g^(|G|/d)|=|G|/(|G|,|G|/d)=d, es decir que para todo d | |G| tenemos un subgrupo cíclico de orden d que será <g^(|G|/d)>.
Se demuestra también fácilmente que para cada d | |G| existe un único subgrupo de G con d elementos, de forma que para cada d | |G| , de un grupo cíclico G, existe un único subgrupo cíclico de orden d.
Y ahora ya llegamos al final, hemos visto con anterioridad , que todo grupo cíclico de orden n, tiene exactamente phi(n) elementos primitivos.
Entonces, si para cada d | |G| existe un único subgrupo cíclico de orden d en G, tenemos que la cantidad de elementos de orden d en G será precisamente, la cantidad de elementos primitivos que tenga ese subgrupo cíclico de orden d, ya que como hemos visto este subgrupo es único, y todos los elementos de orden d de G, generaran el mismo subgrupo cíclico y seran elementos primitivos del mismo.
Y como el orden de G es la suma de la cantidad de elementos de orden d, para cada d | |G|, tenemos que :
|G|=suma(phi(d), d | |G|)
Así si por ejemplo |G|=12 como los divisores de 12 son 1,2,3,4,6 y 12 tenemos que 12=phi(1)+phi(2)+phi(3)+phi(4)+phi(6)+phi(12)=1+1+2+2+2+4=12
Para acabar una reflexión, por lo que hemos dicho, es fácil ver que si un grupo finito tiene por orden un número primo p, entonces, como el orden de un elemento siempre es divisor del orden del grupo, y como el único elemento de orden 1 es precisamente 1, tenemos que habrá p-1 elementos primitivos en ese grupo, por lo que el grupo en cuestión será cíclico, y sin subgrupos propios. Por ser cíclico también será abeliano ya que todo grupo cíclico lo es. Es decir, todo grupo de orden primo, es cíclico, abeliano, y sin subgrupos propios, por lo tanto también es simple....
Un saludo