Si algo no existe, entonces no existe nada

[pepe.campana]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Este es el tipo de debate en el que yo no quería entrar.
No me interesa saber si tengo o no razón al decir que insípido es lo contrario de salado ni de cuales son las posibles acepciones que reserva el RAE a esta palabra. Tampoco me interesa discutir sobre las posibles concepciones que caben de la negación de las palabras "todos los hombres" ni de si entre ellas estan las expresiones "algunos hombres o NO algunos hombres", "los otros hombres restantes o NO los otros hombres restantes", etc.

Desde un principio intenté exponer mi duda usando términos comunes en lógica formal. Si en el primer post utilice expresiones tales como "(no)(no)A", "(para todo x)A", etc. fue unicamente para hacer más accesible la lectura de la derivación sin pretender con ello una interpretación semántica (y en cualquier caso válida), de los símbolos que debería haber empleado desde un principio.

La derivación que me plantea dudas es la que figura en el documento pdf y la solución a mi duda, debería venir dada corrigiendo las reglas ahí empleadas o poniendo de manifiesto el error cometido en su uso.

Esto es lo que me interesa. Cualquier otra discusión no me ayuda.

En cualquier caso, muchas gracias por vuestro esfuerzo y colaboración

[Adosgel]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Ok, en el archivo adjunto dices en "Reglas lógicas"...

5. Definición del particularizador, DC
La fórmula Vx A se obtiene de forma inmediata a partir de la fórmula NO ^x NO A y
viceversa. Lo escribo NO ^x NO A -> Vx A y Vx A -> NO ^x NO A respectivamente.

Lo que no es obligadamente cierto, pues NO ^x NO A tambien -> Vx NO A
-> ^x A

Esta inconcrección hay que tenerla en cuenta. Por lo tanto, en la derivación del problema, tomando el primer paso como premisa, el segundo no sería completamente cierto.

Pero tambien creo que IG devería ser alreves ^x A -> A, y MTT sería entonces NO A -> NO ^x A.

Saludos.

[RadiKal2_]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Creo que el error está en el punto de partida y estás usando mal IG. IG no dice que A(x) ---> para todo x A(x) , sino que dice que de A(x) se deduce para todo x A(x), que no es lo mismo.
Por otro lado está el teorema de deducción que te permite pasar de "de A se deduce B" a " se deduce A--->B", pero este teorema no se puede aplicar si en la deducción de B a partir de A has generalizado respecto a variables libres en A, y precisamente cuando usas IG estás generalizando respecto a variables libres en A.

De hecho se puede ver que A(x) ---> para todo x A(x) no puede ser un teorema lógico. Pongamos por ejemplo que A(x) es x=0. La proposición quedaría x=0 ---> para todo x x=0, que es claramente falsa cuando tomamos como modelo los naturales y una valoración que cumpla v(x)=0.

Saludos

[pepe.campana]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Tienes razón, el Teorema de Deducción deja de tener validez en el caso en que se generalice sobre una variable libre.

Sin embargo hay algo que aún me incomoda:
IG asegura la posibilidad de obtener (para todo x)A a partir de A sin imponer condición alguna a A.
La fórmula A que aparece en la deducción problema podría ser una formula cerrada en x.
En tal caso, el Teorema de Deducción sería aplicable.
Siendo así, la duda seguiría existiendo para este caso particular.

Muchas gracias por tu aportación.

Saludos a todos

[RadiKal2_]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Por supuesto, si x no aparece como variable libre en A es lícito aplicar el teorema de deducción y también es correcta toda tu demostración. Pero no hay ningún problema o "paradoja" pues decir "para algun x no A ---> para todo x no A" si A no contiene x como variable libre es tanto como decir "no A ---> no A", ya que si A es verdadero o falso lo será siempre independientemente de la valoración de x. Así pues si "no A" es verdadero también lo son "para algún x no A" y "para todo x no A", y lo mismo si es falso.

Saludos

[pepe.campana]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Así es, en efecto.

Muchas gracias por aclarar mi duda, producto de mi empecinada ceguera.

Un afectuoso saludo.

[No registrado]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Es bastante evidente que el problema reside en la regla IG.

La regla IG no es válida en todo contexto.

Está pensada para determinados sistemas que admiten deducciones con fórmulas abiertas (es decir, con variables libres) y en los que cada variable libre representa un objeto cualquiera (tomado al azar, digamos); en esas condiciones, se puede ligar una variable libre mesdiante el generalizador sin problema (si se añade el generalizador a una fórmula sin variables libres, no cambia nada).

Fíjate en el uso que a veces se hace en matemáticas de fórmulas abiertas:

x + y = y + x

Evidentemente si ligas x, y mediante generalizadores, el resultado es correcto.

Pero si una fórmula A es 'x no existe', de A no cabe deducir 'para todo x, x no existe'.

Repasa tus manuales.

Un saludo

[Juanma1976]

Re: Si algo no existe, entonces no existe nada

Nunca he hecho lógica, pero parece que el error está en la 5ª parte:

5. Si (para algún x)(no)A entonces (para todo x)(no)A IG

Esto no se deduce del generalizador. El generalizador dice

Si B entonces (para todo x)B,

pero (para algún x)B no implica B en principio (si lo sabes demostrar, entonces no hay ningún error en la parte 5).

Un saludo, Juanma

Hola a todos.

Quizás os suene raro el título del hilo, pero no sabía como plantear una duda con la que estoy tan obcecado que no veo la solución, por muy trivial que sea.

Se trata de una deducción, evidentemente falsa, realizada en un sistema formal de primer orden. En este sistema admitimos la regla de introducción del generalizador:

IG: La fórmula (para todo x)A es consecuencia inmediata de la fórmula A.

Admitimos también las reglas del modus tollendo tollens, MT, y la regla de la doble negación, DN:

MT: Si de A resulta B, entonces de (no)B resulta (no)A
DN: De (no)(no)A resulta A.

Por último, hacemos uso de la definición del particularizador a partir del generalizador, DP:

DP: (no)(para todo x)(no)A es equivalente a (para algún x)A.

Las cuatro reglas mencionadas son comunes a todos los sistemas formales descritos en los manuales más básicos.

La derivación que me trae loco es la siguiente:

1. Si (no)(no)A entonces (para todo x)(no)(no)A IG
2. Si (no)(para todo x)(no)(no)A entonces (no)(no)(no)A MT, 1.
3. Si (no)(para todo x)(no)(no)A entonces (no)A DN, 2.
4. Si (para algún x)(no)A entonces (no)A DP, 3.
5. Si (para algún x)(no)A entonces (para todo x)(no)A IG, 4.

¿Podeis ayudarme a encontrar mi error?

Saludos.