1r ciclo Rebotes

[carroza]

Hola.

Pongo aqui un problema de ingenio inspirado (por no decir copiado) en un hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...284#post185284 .

El problema es el siguiente: Imaginemos un Balón de futbol, de masa M, debajo de la cual hay una pelotita elástica, de masa m. Ambas caen verticalmente, a la misma velocidad, el balón arriba, y la pelotita abajo, con una separación entre ambas muy pequeña, pero no nula. Cuando chocan con el suelo, de forma perfectamente elástica, la pelotita rebota, y choca elástciamente con el balón. El balon frena un poco su velocidad, pero sigue cayendo. La pelotita rebota hacia abajo, con lo cual vuelve a chocar con el suelo, y vuelve a chocar con el balon. Esta secuencia de rebotes continúa hasta que el balon se mueve hacia arriba, con una velocidad mayor que la pelotita, con lo que se separan y los rebotes cesan (por un tiempo, hasta que el balón vuelva a caer, pero eso ya no nos interesa).

Conociendo las masas M y m, ¿Cuántas veces rebota la pelotita contra el balón? (La idea es encontrar una fórmula cerrada para el número de rebotes en función de M y m)

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Rebotes

Utilice un metodo empirico

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

para hallar parte de la relación

el numero de rebotes tiende a $N\cong k\sqrt{\dfrac Mm}$

lo que no pude sacar es cuanto vale K

dejo la tabla para ver quien puede

$\dfrac Mm$	Número de rebotes
1	1
2	2
5	3
10	5
20	7
50	11
100	15
200	22
500	37
1000	49
2000	70
5000	111
10000	157
20000	222
50000	351
100000	496
200000	702
500000	1110
1000000	1570

los cálculos están basados en excel que mucha precisión no tiene, por ahí una simulación en algún otro programa es más preciso

si llamamos a $x=\dfrac{m}{m+M}$ y $1-x =\dfrac{M}{m+M}$

quien quiera probar la velocidad del balon después del rebote de la pelota es


$V_B(f)=(1-x)V_B(i)-xV_P(i)-\sqrt{\dfrac{x}{1-x}\left(V_i^2-((1-x)V_B(i)-xV_P(i))^2\right)}$

si E es la energía cinetica inicial$E=\frac 12( m+M)v^2$

la velocidadd de la pelota es
$V_P(f)=\sqrt{\dfrac {2E}{m}-\dfrac {M}{m}V_B(f)^2}$


solo hay que iterar usando los datos de salida como los de ingreso en el siguiente paso.... luego contar las iteraciones hasta que la velocidad de balón sea mayor que la de la pelota ascendiendo.

Saludos

[carroza]

Re: Rebotes

Te lo has currado, Richard. Alguna sugerencia:

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Tu factor k es pi/2.

Las formula de recurrencia que tienes para VB(f) se simplificaría si expresas $V_i^2$ en términos de $V_B(i)$ y $V_P(i)$.

No te digo más. A ver si llegas a la expresión cerrada.

Saludos

[arivasm]

Re: Rebotes

A ver cual es más corta.

Seguro que la solución de carroza es más corta que la mía. De todos modos, aquí va.

La separaré en dos partes. La primera se refiere a las velocidades de los dos objetos después de cada choque entre ellos. La segunda a la determinación del número de rebotes.

Vamos con la primera:

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Llamaré $M$ a la masa del balón, $m$ a la de la pelota, y a la relación entre ambas

$$\mu=\dfrac{M}{m}$$

Por lo que se refiere al sistema de referencia, lo tomaré positivo hacia arriba.

Si balón y pelota colisionan con velocidades respectivas $V_b$ y $v_p$ inmediatamente tras el choque sus velocidades serán $V'_b$ y $v'_p$ que, debido a que la colisión es elástica, satisfarán las relaciones siguientes, que se siguen de la conservación del momento lineal y de la energía:

$\mu V_b+v_p=\mu V'_b+v'_p$
$\mu V_b^2+v_p^2=\mu V'_b^2+v'_p^2$

Resolviendo el sistema encontramos que

$\dst V'_b=\dfrac{\mu-1}{\mu+1}V_b+\dfrac{2}{\mu+1}v_p$
$\dst v'_p=\dfrac{2\mu}{\mu+1}V_b-\dfrac{\mu-1}{\mu+1}v_p$

Como a continuación la pelota rebotará elásticamente contra el suelo, se invierte su velocidad, de manera que en el siguiente choque entre el balón y la pelota (si es que se produce), las velocidades serán

$$\dst V'_b=\dfrac{\mu-1}{\mu+1}V_b+\dfrac{2}{\mu+1}v_p$$

$$\dst v'_p=-\dfrac{2\mu}{\mu+1}V_b+\dfrac{\mu-1}{\mu+1}v_p$$

Esta relación podemos escribirla matricialmente en la forma

$$\vec v'=A\vec v$$

introduciendo el vector

$$\vec v=\begin{pmatrix}V_b \\ v_p \end{pmatrix}$$

y la matriz

$$A=\dfrac{1}{\mu+1}\begin{pmatrix}\mu-1 & 2\\ -2\mu & \mu-1\end{pmatrix}$$

De esta manera, podemos representar la evolución de las velocidades de ambos cuerpos en los sucesivos rebotes mediante la sucesión

$$\vec v_n=A^n\vec v_0$$

donde $\vec v_0$ es el vector correspondiente a las velocidades de ambos cuerpos antes del primer choque. Como en este problema ambas son iguales y opuestas, eligiendo como unidad de velocidad dicho valor, tenemos que

$$\vec v_0=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Para encontrar una expresión explícita para (7) podemos diagonalizar la matriz $A$ y así expresarla como

$$A=P\Lambda P^{-1}$$

de manera que (7) se convierta en

$$\vec v_n=P\Lambda^n P^{-1}\vec v_0$$

Los autovalores de $A$ son

$$\lambda=\dfrac{\mu-1\pm 2\sqrt{\mu}\ i}{\mu+1}$$

Es decir, son números complejos de módulo unidad, por lo que podemos escribirlos en la forma

$$\lambda=\ee^{\pm i\theta}$$

donde

$$\tan\theta=\dfrac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}$$

Por lo que se refiere a los autovectores son de la forma

$$\dst\begin{pmatrix}1\\ \pm\sqrt{\mu}\ i\end{pmatrix}$$

de manera que (10), escrita en forma explícita, incorporando ya (8), es (aquí omito para no extenderme la determinación de $P^{-1}$)

$$\vec v_n=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\ \sqrt{\mu}\ i&-\sqrt{\mu}\ i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ee^{in\theta}&0\\ 0&\ee^{-in\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-\frac{i}{\sqrt{\mu}}\\ 1&\frac{i}{\sqrt{\mu}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$$

Operando finalmente encontramos que la velocidad del balón al cabo de $n$ choques es

$$V_b=-\cos n\theta+\dfrac{1}{\sqrt{\mu}}\sin n\theta$$

y la de la pelota

$$v_p=\cos n\theta+\sqrt{\mu}\sin n\theta$$

Con respecto a esta última hay que tener en cuenta que es la que resulta tras el choque con el balón y con el suelo, lo que significa que si es negativa tras el choque con el balón la pelota ya ascendía, por lo que el valor real sería el opuesto del obtenido con (17).

Ahora viene la parte que tengo menos clara: la determinación del número de rebotes contra el suelo.

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

La sucesión de choques finaliza cuando ambos cuerpos ascienden, pero siempre y cuando la velocidad del balón resultante tras el choque sea mayor que la de la pelota, pues de lo contrario aún tendremos más choques.

En los términos anteriores, la velocidad del balón debe cumplir que $V_b>0$, así como que $V_b>v_p$ (si la velocidad de la pelota es positiva) o $V_b>-v_p$ (si es negativa). Ahora bien, podemos decir que las dos últimas condiciones deben cumplirse siempre, pues cada una de ellas incluye a la otra en el caso correspondiente, habida cuenta de la primera condición expuesta. Como las condiciones más restrictivas son

$$V_b-v_p>0$$

$$V_b+v_p>0$$

al trasladar (16) y (17) tenemos que equivalen a

$$-2\cos n\theta-\left(\sqrt{\mu}-\frac{1}{\sqrt{\mu}}\right)\sin n\theta>0$$

$$\left(\sqrt{\mu}+\frac{1}{\sqrt{\mu}}\right)\sin n\theta>0$$

la segunda de las cuales simplemente nos conduce a que debe ser $\sin n\theta>0$, que es lo mismo que decir que

$$n\theta<\pi$$

Pero aún tenemos la condición (20), que vamos a reescribir de esta manera:

$\dfrac{\mu-1}{\sqrt{\mu}}\sin n\theta<-2\cos n\theta$

es decir

$$\tan n\theta<-\dfrac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}=-\tan\theta$$

Al tomar en consideración (22) y el hecho de que esta expresión implica que

$n\theta>\pi-\theta$

encontramos finalmente que el valor de $n$ buscado será el menor entero tal que $(n+1)\theta>\pi$, es decir

$$\boxed{n>\dfrac{\pi}{\theta}-1=\dfrac{\pi}{\arctan\frac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}}-1}$$

No sé por qué, pero intuyo que quizá maté una mosca de un cañonazo, ¡si es que la maté!

[carroza]

Re: Rebotes

Hola.

Pongo mi solución. Esencialmente es la misma que la de arivasm, pero (quizás) formulada de forma mas sencilla.

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Partimos de que se conserva la energía cinética, tanto en los choques Balon-pelota como en los choques pelota suelo.
$E = 1/2 m v^2 + 1/2 m V^2$.
Donde $v$ es la velocidad de la pelota de masa $m$, y $V$ es la velocidad del balón de masa $M$.

Esto nos sugiere que una parametrización util de ambas velocidades es
$v = \sqrt{2E/m} \sin \theta; V = \sqrt{2E/M} \cos \theta$. O sea, que para cada valor de $\theta$ tenemos valores de
$v, V$ que cumplen la conservación de la energía. Cualquier interacción que conserve la energía corresponde a un cambio en el valor de $\theta$.

Por ejemplo, cuando la pelota choca con el suelo, invierte su velocidad $v$, mientras que la velocidad del balón $V$ no cambia. Eso corresponde a cambiar $\theta$ por $-\theta$ (el seno cambia de signo, y el coseno no se modifica.

Ahora vamos a ver que implica una colisión elástica balón-pelota. Para ello es util ver las expresiones de la velocidad relativa y la velocidad centro de masas.
$V_{cm}= {m \over m+M} v + {M \over m+M} V = \sqrt{2E \over m+M} \left( \sqrt{m \over m+M} \sin \theta + \sqrt{M \over m+M} \cos \theta \right)$

Aqui resulta util tener frescas las expresiones de seno y coseno del ángulo suma. Si definimos un ángulo $\phi$ tal que $\sin \phi = \sqrt{ m \over M+m}$ y $\cos \phi = \sqrt{ M \over M+m}$, nos queda
$V_{cm}= \sqrt{2E \over m+M} \left( \sin \phi \sin \theta + \cos \phi \cos \theta \right) = \sqrt{2E \over m+M} \cos(\theta-\phi)$ .

Analogamente, la velocidad relativa resulta
$v_{rel}= v - V = \sqrt{2E (m+M)\over mM} \left( \sqrt{M \over m+M} \sin \theta - \sqrt{m \over m+M} \cos \theta \right) = \sqrt{2E (m+M)\over mM} \sin(\theta - \phi)$

Fijadse que estas expresiones son consistentes con el hecho de que la energía cinética puede ponerse como la suma de la energía cinética del centro de masas más la del movimiento relativo.

Ahora vamos a los rebotes: si chocan elásticamente balón y pelota, $v_{rel}$ cambia de signo mientras que $V_{cm}$ no se modifica. Eso, implica que $\theta - \phi$ se convierte en $\phi - \theta$. O sea, que $\theta$ se convierte en $2 \phi - \theta$. Fijadse que todas las ecuaciones de conservación de momento más conservación de la energía del choque elástico se reducen a este sencillo cambio.

Ahora consideremos lo que pasa cuando primero chocan elásticamemte balón y pelota, y luego la pelota rebota contra el suelo. $\theta$ se convierte en $2 \phi - \theta$ (choque balon-pelota), y luego $2 \phi - \theta$ se invierte para dar $\theta - 2 \phi$ (choque con el suelo). Esto lo metemos en nuestras fórmulas, y nos dan las velocidades de balon y pelota tras los choques.

Fijadse que estas expresiones son válidas en general. Balón y pelota pueden tener velocidades arbitrarias.

Vamos ahora alcaso que nos ocupa. Inicialmente, balón y pelota tienen velocidades iguales y de signo contrario: balón hacia abajo, y pelota hacia arriba. Eso implica que el ángulo $\theta$ inicial cumple $\tan \theta_i = - \sqrt{m/M}$, con lo que $\sin \theta_i = - \sqrt{m/m + M} = - \sin \beta$. De aquí llegamos a que $\theta_i = \pi - \phi$.

En cada rebote, el parámetro $\theta$ se reduce una cantidad $2 \phi$. Los rebotes prosiguen, haciendo que $V$ cambie su signo ($\theta < \pi/2$) y se haga positiva, y continuan hasta que la velocidad $V$ se haga mayor que $v$. Esto ocurre cuanto $\theta < \phi$ . Así, definimos un valor límite a partir del cual no hay rebotes $\theta_l = \phi$

Así que el número de rebotes (balón-pelota) es
$N = (\theta_i - \theta_l)/(2 \phi) = (\pi - 2 \phi)/(2 \phi)$

Este numero, que en general no es entero, hay que tomarlo por exceso, ya que cuando $\theta$ es ligeramente superior a $\theta_l$ hay un rebote. Por tanto, tembién podemos usar la expresión más compacta
$N = \pi /(2 \phi)$
entendiendo que este numero, si no es entero, se toma por defecto, y si fuera estrictamente entero, hay que restarle uno.

Un saludo

[arivasm]

Re: Rebotes

Caramba! Ciertamente mucho más corto.

Como no quiero hacer un spoiler a quienes lean este hilo para jugar con el problema, ocultaré mi comentario al respecto de las razones que entiendo que tiene el punto de partida de carroza.

En definitiva, lo que sigue no es ninguna solución:

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Si agrupamos, como hice yo, ambas velocidades en un vector, la conservación de la energía implica que dicho vector se mantiene sobre una elipse centrada en el origen, de manera que los choques solo cambian la posición del sistema sobre la misma.

La $\theta$ de carroza, que no es la misma que la que aparece en mi desarrollo, es la coordenada angular que determina la posición del sistema antes o después de cada choque.

De hecho, el que en mi planteamiento los autovalores tengan la forma $\ee^{\pm i\theta}$ (recordemos que esta $\theta$ es diferente) apunta en la dirección de que es posible convertir el problema de las transformaciones de los choques en una simple rotación, que es lo que ha hecho carroza.

Muy elegante!

[carroza]

Re: Rebotes

Hola. Siguiendo con la discreción propia de problemas de ingenio, oculto mi comentario a arivasm

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Tu $\theta$ es exactamente igual a mi $2 \phi$. Efectivamente, el choque es una "rotación", entendida como una "rotación en el espacio de las fases", en la que pasa momento y energía de una coordenada a otra.

Quizás lo pedagógico que puede tener este ejercicio es que las fórmulas lineales de transformación de las velocidades que aparecen en el choque elástico, son equivalentes a las fórmulas de una rotación de coordenadas en un espacio de dos dimensiones. Eso lleva a considerar que, en cierto modo, los rebotes son como una "rotación", con muchas comillas. Creo que es interesante que se vean estas propiedades en un sistema clásico y "sencillo", para que cuando esto se aplique a transformaciones de Lorentz, etc, no suene la cosa tan a chino.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Rebotes

Hola

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Partimos de que se conserva la energía cinética,....
$E = 1/2 m v^2 + 1/2 m V^2$.
....
Esto nos sugiere que una parametrización util de ambas velocidades es
$v = \sqrt{2E/m} \sin \theta; V = \sqrt{2E/M} \cos \theta$....

Jamas se me hubiese ocurrido parametrizar como si fuera una elipse... un lujo

He gastado un par de hojas mas y unos metros de tinta , despejando velocidades respecto del suelo, logre reducir a ecuaciones lineales, me molestaba un módulo por allí pero luego de ver la solución entendí porque.

Fijadse que estas expresiones son válidas en general. Balón y pelota pueden tener velocidades arbitrarias.

fascinante es que el numero de rebotes es independiente de la velocidad inicial de las pelotas, todos los días aprendo algo ,


Gracias a ambos

[arivasm]

Re: Rebotes

Lo que sigue es un aporte escaso: simplemente es un pequeño análisis de la equivalencia entre la solución de carroza y la mía. Procede de un pequeño detalle que me parecía desencajar, y que comento por si alguien juega con este bonito problema y le pasa como a mí.

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

La solución de carroza era $n>\dfrac{\pi}{2\phi}-1$ (incorporo aquí el -1, que él también señala, por facilitar la comparación; al final haré un pequeño análisis al respecto), donde $\tan\phi=\sqrt{\dfrac{m}{M}}$.

La mía, en cambio, era $n>\dfrac{\pi}{\theta}-1$ (recordemos que esta $\theta$ es diferente del parámetro usado por carroza), donde $\tan\theta=\dfrac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}$ con $\mu=\dfrac{M}{m}$.

Cuando analicé la equivalencia entre ambas era obvio que debería ser, como bien señaló carroza, $\theta=2\phi$. Pero me desconcertaba un poco la diferente manera de aparecer en una y otra el cociente entre las masas: en la expresión de carroza aparecen de manera justamente inversa a la mía y aunque en el límite $M\gg m$ son iguales quería ver con claridad la equivalencia en todos los casos.

La verdad es que el motivo es una verdadera tontería. Partamos de la expresión para la tangente del ángulo doble aplicada a mi expresión: $\tan\2\phi=\dfrac{2\tan\phi}{1-\tan^2\phi}=\dfrac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}$. Aquí la vista parece decir que debe ser $\tan\phi=-\sqrt{\mu}$, con lo que no solo hay una cuestión de signo sino que también hay el comportamiento inverso del cociente $M/m$ que señalé antes. Sin embargo, no podemos perder de vista que estamos ante una ecuación de segundo grado, así como que a todo valor de la tangente le corresponden dos ángulos. Y sí, además de la solución anterior, la ecuación tiene por solución la correcta: $\tan\phi=\dfrac{1}{\sqrt{\mu}}=\sqrt{\dfrac{m}{M}}$

En definitiva, la solución del problema, escrita de la manera explícita más simple, sería que el número de rebotes es el menor entero $n$ tal que:

$\boxed{n\geq\dfrac{\pi}{2\phi}-1=\dfrac{\pi}{2\arctan\sqrt{\frac{m}{M}}}-1}$

por supuesto, con el arco tangente tomado en el primer cuadrante.

Como veis, he añadido a la solución un igual. La justificación es una corrección a lo que escribí con anterioridad:

En los términos anteriores, la velocidad del balón debe cumplir que $V_b>0$, así como que $V_b>v_p$ (si la velocidad de la pelota es positiva) o $V_b>-v_p$ (si es negativa). Ahora bien, podemos decir que las dos últimas condiciones deben cumplirse siempre, pues cada una de ellas incluye a la otra en el caso correspondiente, habida cuenta de la primera condición expuesta. Como las condiciones más restrictivas son

$$V_b-v_p>0$$

$$V_b+v_p>0$$

Siendo rigurosos, pelota y balón podrían ascender con la misma velocidad. En los términos anteriores eso significa que debe ser $V_b>0$ (no es posible que sea $V_b=0$ por conservación de la energía) y que (18) y (19) en realidad son

$$V_b-v_p\geq 0$$

$$V_b+v_p\geq 0$$

Que $V_b>0$ simplemente implicará que $n>0$, es decir, que como mínimo habrá un rebote. Pero las otras dos condiciones simplemente se trasnforman en $\pi-\theta\leq n\theta\leq\pi$, o en términos de la $\phi$ de carroza, $\frac{\pi}{2}-\phi\leq n\phi\leq\frac{\pi}{2}$ y de ahí la ajustada frase de carroza:

también podemos usar la expresión más compacta
$N = \pi /(2 \phi)$
entendiendo que este numero, si no es entero, se toma por defecto, y si fuera estrictamente entero, hay que restarle uno.

Saludos!

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hoy he visto esta otra versión del mismo tipo de problema ..

y su solución...

Los videos estan en ingles pero hay subtitulado al castellano.

[arivasm]

Re: Rebotes

Muchas gracias, Richard. Realmente instructivo.