Avanzado Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

[Richard R Richard]

Supongamos que tenemos la tecnología para perforar un orificio de diámetro 1 metro, que atraviese la tierra por su centro y llegue a salir por la superficie al otro lado.
Le extraemos el aire del pozo, no hay rozamiento entonces, consideremoslo un tubo recto cilíndrico.
La boca del pozo en ambos extremos está a la misma distancia del centro es decir consideramos la tierra esférica.
Dejamos caer una bola, sin velocidad inicial alguna, desde el centro de la boca de uno de los extremos.
Una vez que es liberada la bola solo actúa la gravedad sobre ella, nada mas la toca, nada mas la impulsa , no hay hilos, cables, campos, calor, luz , nada recubre las paredes, etc.
La idea es hacer llegar la pelota al otro extremo del pozo y que luego regrese para recogerla en el mismo sitio donde salió...
La teoría dice que entre 76 a 84 minutos la tendremos de vuelta.


Podemos lograrlo sin que la bola toque las paredes del pozo???

Justificar en respuesta oculta

[carroza]

Re: Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

Hola.

Vamos al trapo.

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Aqui la clave está en la aceleración de Coriolis, que se aplicaría en el sistema de referencia en el que el tunel esté quieto.

Como la tierra gira sobre sí misma, y gira con respecto al sol, existen dos fuerzas de coriolis, perpendiculares a la velocidad, que afectan al movimientod e la particula y la pegarían a las paredes.

Podriamos anular la fuerza de coriolis asociada a la rotacion de la tierra sobre si misma. Esto lo hacemos si cavamos el tunel del polo norte al polo sur. Lo que ocurre es que sigue actuando la fuerza de coriolis debida a la rotacion en torno al sol, que desplazaría la particula unos metros

Si el eje de rotacion de la tierra no estuviera inclinado, entonces la fuerza de coriolis asociada a la rotacion de la tierra y asociada a la rotación del sol sería paralñelas, y ambas se anularían en el tunel polo norte-polo sur.

Otra solucion posible sería hacer un tunel que no fuera recto, y que siguiera un recorrido espiral de forma que, en cada instante de tiempo, siguiera la trayectoria de la partícula, sometida a sus fuerzas de coriolis. Esto requeriría soltar la partíclua en el momento exacto en el que su trayectoria futura coincidiera con la del tunel. Entiendo que el mismo tunel (norte sur) podría valer para el recorrido inverso (sur a norte), ya que se invierte tanto la velocidad como la aceleracion de coriolis, por lo que la trayectoria podría ser la misma. No obstante, como al acercarse al polo sur se anula la velocidad, no me queda claro si la trayectoria se haria por el mismo pozo, o habría que excavar uno paralelo desplazado un cierto angulo.

En cualquier caso, esta solucion sería valida suponiendo que, durante la trayectoria de la particula, la velocidad de rotacion de la tierra y de la tierra con respecto al sol fueran constantes. Esto entiedno que es una aproximacion razonable, en cualquier epoca del año, ya que el tiempo de ida y vuelta es pequeño con respecto al de rotacion de la tierra con respecto al sol. Debido a la excentricidad de la orbita de la tierra, la velocidad angular de rotacion de la tierra con respecto al sol es sensibolemente diferente en invierno y en verano, por lo que sería diferente el tunel espiral en invierno y en verano.

saludos

[Richard R Richard]

Re: Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

Hola gracias por participar jugando
Has visto que parece fácil , pero no lo es tanto.

Hola.

Vamos al trapo.

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Aqui la clave está en la aceleración de Coriolis, que se aplicaría en el sistema de referencia en el que el tunel esté quieto.

Como la tierra gira sobre sí misma, y gira con respecto al sol, existen dos fuerzas de coriolis, perpendiculares a la velocidad, que afectan al movimientod e la particula y la pegarían a las paredes.

Podriamos anular la fuerza de coriolis asociada a la rotacion de la tierra sobre si misma. Esto lo hacemos si cavamos el tunel del polo norte al polo sur. Lo que ocurre es que sigue actuando la fuerza de coriolis debida a la rotacion en torno al sol, que desplazaría la particula unos metros

Si el eje de rotacion de la tierra no estuviera inclinado, entonces la fuerza de coriolis asociada a la rotacion de la tierra y asociada a la rotación del sol sería paralñelas, y ambas se anularían en el tunel polo norte-polo sur.

Otra solucion posible sería hacer un tunel que no fuera recto, y que siguiera un recorrido espiral de forma que, en cada instante de tiempo, siguiera la trayectoria de la partícula, sometida a sus fuerzas de coriolis. Esto requeriría soltar la partíclua en el momento exacto en el que su trayectoria futura coincidiera con la del tunel. Entiendo que el mismo tunel (norte sur) podría valer para el recorrido inverso (sur a norte), ya que se invierte tanto la velocidad como la aceleracion de coriolis, por lo que la trayectoria podría ser la misma. No obstante, como al acercarse al polo sur se anula la velocidad, no me queda claro si la trayectoria se haria por el mismo pozo, o habría que excavar uno paralelo desplazado un cierto angulo.

En cualquier caso, esta solucion sería valida suponiendo que, durante la trayectoria de la particula, la velocidad de rotacion de la tierra y de la tierra con respecto al sol fueran constantes. Esto entiedno que es una aproximacion razonable, en cualquier epoca del año, ya que el tiempo de ida y vuelta es pequeño con respecto al de rotacion de la tierra con respecto al sol. Debido a la excentricidad de la orbita de la tierra, la velocidad angular de rotacion de la tierra con respecto al sol es sensibolemente diferente en invierno y en verano, por lo que sería diferente el tunel espiral en invierno y en verano.

saludos

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Coriolis por rotación terrestre si...por rotación orbital sobre el sol...depende ...hay velocidad radial hacia el sol todo el año?

Sobre el tubo con forma ,la bola va y vuelve,según el enunciado, no podemos recogerla al otro lado y volverla a lanzar cuando las condiciones sean las optimas y es un único tubo para ambos viajes

[Alriga]

Re: Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

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... ¿hay velocidad radial hacia el sol todo el año? ...

Hay 2 instantes al año en los que la componente en la dirección del Sol de la velocidad de traslación de la Tierra es nula, el Perihelio y el Afelio, llamados Puntos Apsidales.

Recordar que los Puntos Apsidales nada tienen que ver con los Equinoccios, que son los instantes de inicio de la Primavera y del Otoño. Ni con los Solsticios, que son los instantes de inicio del Verano y del Invierno: Los Puntos Apsidales existen porque la órbita de la tierra es elíptica, mientras que los Solsticios y los Equinoccios existen porque el eje de rotación de la Tierra no es paralelo al eje de traslación.

Observad que mi intención única en este hilo se ha limitado hasta ahora exclusivamente a intentar responder a la pregunta de Richard

... ¿hay velocidad radial hacia el sol todo el año? ...

Saludos.

[carroza]

Re: Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

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Hay 2 instantes al año en los que la componente en la dirección del Sol de la velocidad de traslación de la Tierra es nula, el Perihelio y el Afelio. Recordar que el Perihelio y el Afelio nada tienen que ver con los Equinoccios, que son los instantes de inicio de la Primavera y del Otoño. Ni con los Solsticios, que son los instantes de inicio del Verano y del Invierno.

Saludos.

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Coriolis depende de la velocidad angular. La tierra tiene velocidad angular de rotacion con respecto al sol todo el año. Entiendo que la velocidad radial no es relevante.

saludos

[Richard R Richard]

Re: Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

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Coriolis depende de la velocidad angular. La tierra tiene velocidad angular de rotación con respecto al sol todo el año. Entiendo que la velocidad radial no es relevante.

saludos

Desde el punto de vista del observador en tierra , ese coriolis sol-tierra que mencionas, desvía la trayectoria de la bola por que varia el modulo de la velocidad angular durante el año ?? o bien hay ....

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Observad que mi intención única en este hilo se ha limitado hasta ahora exclusivamente a intentar responder a la pregunta de Richard

si pongo todas las pistas....la solución me queda bastante obvia.

Te has fijado que algunos textos de divulgación hace coincidir o en realidad no le presta atención a que esos eventos no suceden simultaneamente...esta diferencia la he omitido adrede , veremos cuantos se apuntan , y si en realidad es relevante para la que creo única solución.

[Richard R Richard]

Re: Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

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Pasados unos días, doy mi solución. La cual no vote en la encuesta, para no distorsionar el resultado, ya que , pocos hasta ahora se animaron

Siempre llega, lanzandola en cualquier punto de la tierra, en cualquier momento del año

Esta no respuesta no puede ser valida, porque dada la pista del título del acertijo "Momento...." , vemos que la conservación del momento angular y lineal de la bola, debido a la rotación terrestre haran que desvie respecto del pozo.

Solo llega cuando se la lanza en un equinoccio desde cualquier posición

lo que hace pensar que en los equinoccios la proyección del eje de rotación terrestre sobre la eclíptica sea tangente, pero de nuevo el lineal de la bola arrojada desde cualquier punto debido a la rotación terrestre hará que desvie respecto del pozo.

Solo si se lanza del ecuador en cualquier momento

Esto solo agudiza el problema ya que el ecuador es el lugar de mayor momento lineal

Solo si se la lanza desde el ecuador en un equinoccio

tampoco es valida, incluso en ese dia debido a que el momento lineal de la bola es máximo y hará que desvíe respecto del pozo.

Solo si se la lanza desde los polos en cualquier momento

Esto minimiza el problema del momento lineal, pero la inclinación del eje de rotación respecto del plano de la eclíptica , hace que cambie radio de órbita de la bola respecto del sol , y termine tocando los laterales del tubo.

Salteo uno para analizarlo en mas detalle masa adelante

Volverá si el tubo no es recto

pareciera que en ciertas condiciones, se podría anular el efecto de la rotación terrestre , si el tubo fuera curvo , y de hecho se podría hacer una trayectoria que vuelva a la superficie, pero no saldría por el extremo opuesto cubriendo algo mas de un diametro, la curva sería mas corta, ya que la tierra ha girado durante el viaje en caída libre durante 42 minutos unos 10 grados., pero el problema pasa que no se puede usar el mismo tubo para volver ya que tendrá la curva inversa a la necesaria.

Solo vuelve si la tierra deja de girar

No seria cierto literalmente porque existirán lugares donde la velocidad orbital respecto al sol cambia, al adentrarse en el tubo recto y tocara los laterales por conservación del momento lineal, solo unos puntos que varia temporalemente con la trayectoria a lo largo del años, serían los propicios para el lanzamiento, pero para que llegue al otro extremo es necesaria una sincronía 1:1 de rotación respecto de la órbita del sol... no que este sin girar.

Volverá si la impulsamos a la velocidad de la luz

Ningún objeto coin mas puede adquirir esa velocidad, por lo tanto es falsa.

Volverá solo si la órbita de la tierra es circular

La excentricidad de la órbita de la tierra , no afecta cualitativamente a cualquiera de la respuestas anteriores, e imponer tal condición únicamente, no garantiza el objetivo

Volverá solo si el eje de rotación de la tierra no estuviera inclinado.

esta respuesta incompleta tampoco resuelve la diferencia momento lineal entre la superficie y el centro de la tierra.

Todas las respuestas anteriores son correctas

Varias opciones no pueden realizarse en el mismo lugar y el mismo momento, luego, es falsa.

Mas de una de las respuestas anteriores es correcta

Hasta ahora hemos negado todas las opciones, salvo uuna que no son varias, de hecho esta opción termina siendo falsa

Salteo otra

Es posible que regrese aun considerando el rozamiento del aire.

Esta opción de descarta por la conservación de la energía mecánica estrictamente necesaria para volver a la superficie desde el punto en que se lanza

Luego nos quedan dos opciones----

Solo si se la lanza desde los polos en un equinoccio

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

en los equinoccios tenemos obien tangencia o bien perpendicularidad de l proyección del eje de rotación sobre el plano de la eclíptica, o bien el centro de la tierra un punto del ecuador y el sol se encuentran sobre la misma recta.




es posible,eliminar el momento lineal de rotación terrestre arrojando la bola desde cualquiera de los polos, pero en los equinoccios hay velocidad radial, ya que no estamos en el afelio ni en el perihelio, como parece indicar la figura anterior , las fechas en que suceden son el 4 julio y 4 enero , se ve en el siguiente esquema



entonces lanzando en esa fecha tendríamos una posibilidad , ademas , el eje de rotación siempre apunta a la misma estrella Ursae Minoris si miramos al norte, por lo tanto el eje no cambia su dirección en todo el año, tenemos un eje estable, perece que lo tenemos resuelto.... pero en realidad la tierra en 42 minutos avanza en su trayectoria al rededor del sol un angulo $\Delta \theta=\dfrac{2\pi 42}{365.25\cdot24\cdot60 }=0.0005 radianes$ la boca del tubo debería girar ese mismo para acompañar la caid libre de la bola respecto del sol, pero como vimos recién la conservación del momento angular terrestre lo hace imposible....





Luego la respuesta de la encuesta es "Ninguna de las respuestas anteriores es correcta." pues si tecnológicamente fuera posible hacer el orificio, no es posible enviar la bola por el tubo sin que toque los laterales, no importa de donde ni cuando se la lance, mientras la tierra rototraslade inclinada respecto a la órbita excéntrica respecto del sol.




Hoy he visto este video , que muestra las dificultades técnica a afrontar para cavar un orificio así

Julio Verne era todo imaginación...nada de fisica....

Como vi que pocos se han animado a contestar, es posible entender por que algunas peliculas son taquilleras haciendo temer a cosas que son físicamente imposible que sucedan

Porque Luke tenia miedo de caer hacia el centro de la estrella de la muerte? si el orificio tenia mas de 1 metro de diametro???? adonde iría a parar.....

[Livilro]

Asumiendo que la pelota sobreviva a su paso por el nucleo de la tierra, osea, descartando el factor temperatura y ciertos factores mas,

suponiendo que hablamos todo el tiempo de un tubo con diametro constante de extremo a extremo atravesando el planeta por su centro perfecto,


podemos valorar ese tubo :


1- Sin ninguna fuerza existente a tener en cuenta

2- Solo con la influencia de la gravedad ( la gravedad terrestre con sus distancias e intensidades correspondientes )

3- Con gravedad + todas las fuerzas existentes que afectan necesariamente al resultado mas completo del problema.





Del caso 1 poco que decir.

Del caso 3, se puede decir mucho mas pero depende primariamente de la respuesta exacta del caso 2.




Caso 2 - Solo gravedad

Tengo una pregunta al respecto Richard.

El valor de la aceleración de la gravedad calculada en la superficie del nucleo terrestre es de 10,7 m/s^2, pero en el problema se plantea pasar por el centro perfecto del planeta, es decir,

necesariamente la pelota pasara por un punto en el que la distancia a incluir en la formula es 0, dejando un "x/0" bastante feo.


Sabemos que el resultado de la aceleración era cada vez mayor a medida que la pelota iva acercandose al nucleo, por lo que se puede "intuir" tanto que los valores se anulan como todo lo contrario, que su aceleración en ese punto es maxima.


Pero que la aceleración sea maxima ,mejor dicho indefinida, no tendria porque querer decir que la pelota en cuanto pasa por el centro salga disparada a la velocidad de la luz hacia el otro extremo del planeta con la gravedad en contra.


¿ Que sucede en ese punto y como lo tendriamos que valorar ?

¿La pelota se quedara estática sin poder moverse en ese punto ?

¿ Saldria hacia el otro extremo del planeta pero sin una aceleración maxima, sino la perfectamente equivalente y proporcional a la desarrollada durante la caida y necesaria para recorrer la misma distancia que habia en esa caida hasta el centro ?

¿ saldria disparada a la velocidad de la luz ?

¿ o volveria por donde vino ya sea a la velocidad de la luz o con la proporción exacta para la conservación?

[Richard R Richard]

El valor de la aceleración de la gravedad calculada en la superficie del nucleo terrestre es de 10,7 m/s^2, pero en el problema se plantea pasar por el centro perfecto del planeta, es decir,

necesariamente la pelota pasara por un punto en el que la distancia a incluir en la formula es 0, dejando un "x/0" bastante feo.


Sabemos que el resultado de la aceleración era cada vez mayor a medida que la pelota iva acercandose al nucleo, por lo que se puede "intuir" tanto que los valores se anulan como todo lo contrario, que su aceleración en ese punto es maxima.


Pero que la aceleración sea maxima ,mejor dicho indefinida, no tendria porque querer decir que la pelota en cuanto pasa por el centro salga disparada a la velocidad de la luz hacia el otro extremo del planeta con la gravedad en contra.


¿ Que sucede en ese punto y como lo tendriamos que valorar ?

Intuyo que estas previendo utilizar la formula de la Gravedad newtoniana mas conocida,

$F=\dfrac{GmM}{R^2}\quad\to\quad a=\dfrac{GM}{R^2}$

para calcular la aceleración de la bola en el interior de la tierra y cuando R tienda a 0 en el centro tendría que la aceleración tendería a infinito, pero no es cierto,

la gravedad en el interior de la tierra se calcula usando la integral de Gauss, (también por superposición) para superficies concéntricas de distinta densidad si lo prefieres, pero podemo paras simplificar el ejemplo suponer que la densidad de la tierra es constante.

y mediante esa integral llegar a que la gravedad a un determinado radio interior r depende solo de la masa en el interior de la esfera cuyo radio es justamente igual al punto donde analizas

$m_i=\rho\dfrac43 \pi r_i^3$

$a=\dfrac{Gm_i}{r_i^2}$

Luego la aceleración queda reemplazando la primera en la segunda

$a=\dfrac{G\rho\dfrac43 \pi r_i^3}{r_i^2}=G\rho\dfrac43 \pi r_i=K\,r_i$

resultando proporcional al radio( la distancia al centro de la tierra), es decir la aceleración de la gravedad en en centro de la tierra es nula.

Sabiendo que la gravedad en la superficie es

$g=\dfrac{GM}{R_T^2}$

puedes ver que $a=g\dfrac{r_i}{R_T}$

cuando estas en el centro $r_i=0$ entonces $a=0$
y cuando estas en la superficie $r_i=R_T$ entonces $a=g$

Así que la aceleración en el centro es mínima, lo que sucede en realidad es que la densidad de la cortez exterior de la tierra es menor que la densidad del manto y la de este menor que la del núcleo casi totalmente de hierro.
Pero en la practica en vez de descender linealmente hacia el interior de la tierra, la aceleración, crece hasta el manto(por ser este mas denso), y de alli empieza a caer casi linealmente, en una combinación entre lo proporcional a la densidad del manto y parte cuadrática por la mayor densidad del núcleo, cuando llegas a la superficie del núcleo solo cae proporcionalmente hasta hacerse nula en el centro.

¿La pelota se quedara estática sin poder moverse en ese punto ?¿ Saldria hacia el otro extremo del planeta pero sin una aceleración maxima, sino la perfectamente equivalente y proporcional a la desarrollada durante la caida y necesaria para recorrer la misma distancia que habia en esa caida hasta el centro ?

La pelota al soltarla en la superficie, adquiere velocidad, y llevara la máxima velocidad al pasar por el centro, , así que allí no se detiene, y sigue camino hasta (teóricamente ) llegar a la superficie nuevamente, bueno de eso se trata este juego, de ver que factores son los necesarios para que ello ocurra o si no hay posibilidad, establecer cuales son las causas.

¿ saldria disparada a la velocidad de la luz ?

No, no ,no, no, con el mayor de los respetos, que la física real no es la de Lost in the space....

Nada con masa adquiere la velocidad de la luz, objetos de dimensiones como la de la tierra, aceleraría una pelota hasta que tome una velocidad puede llegar al orden de algunos km/s pero nunca a los 300000km/s, y creo que a ciencia cierta nada podría ****quizá los agujeros negros.

¿ o volveria por donde vino ya sea a la velocidad de la luz o con la proporción exacta para la conservación?

Si llega al otro extremo y no la tomas, volvería a caer repitiendo el camino en sentido inverso, pero si lees mi respuesta oculta del mensaje anterior #7, veras que cuando más real se vuelva la consigna, mas imposible se vuelve siquiera la posibilidad de que avance unos kilómetros sin tocar las paredes.

[Livilro]

Gracias Richard, totalmente deacuerdo, cuantas mas premisas aceptamos mas nos vamos alejando de que la pelota pueda realizar el trayecto sin percances.


Comentaste que de no tomar la pelota en el otro extremo esta haria continuamente el mismo recorrido, quiero pensar que se ira reduciendo la amplitud de la oscilación con el paso del tiempo no?

Si no la reduce, es para pensarselo como fuente de energia o como concepto de reloj atómico perfecto a escala planeta jaj



Analice ambas 2 opciones, Guass y Newton, pero como son contradictorias estaba perdido con las interpretaciones. Una obtienes 0 y la otra x/0, se podria decir que todo o nada.


Tambien estaba perdido con la representación de la aceleración dentro del ejemplo simple y recto del tubo, sin fuerzas a tener en cuenta salvo la gravedad.

Lo analice tal que una campana de Gauss, con valores indefinidos.

Una asíntota similar a la dada con el factor de lorentz y velocidades proximas a la luz al entrar al nucleo y
en el centro exacto un valor maximo "x/0"
( indefinido, sea lo que sea exactamente ).

Luego descrito inversamente a lo anterior para "la vuelta" con la gravedad en sentido opuesto al movimiento.


Estaba relacionando con dos modos en la gravedad bastante marcados, largo alcance y corto alcance.


Si entendi bien, ¿ con la integral de Gauss, obtendriamos algo similar solo que con una depresión profunda en el centro de la campana representando el momento de su paso por el centro en el cual la aceleración es 0 ?

[Richard R Richard]

Tomando todas las abstracciones,
que la tierra no gira,
que no hay rozamiento con el aire,
que no le imprimimos fuerza adicionales a la pelota,
Que la tierra no gira respecto al sol,
Entonces la pelota llega a la superficie el otro lado y vuelve a la posición de salida unos 84 minutos después y repetiría el ciclo cada 4 minutos perpetuamente.

Pero si de algún modo le extraes energía ya no llegara a la superficie, e ira oscilando con menor amplitud (radio) hasta detenerse en el centro.
Por eso nada de fuente de energía gratuitas, lo siento eso es scifi, o click bait.

Por otro lado la la integral de gauss de la que te hablo no es la de la campana sino de https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ley_...a%20superficie.
para el caso gravitacional.

Lo que debes saber es que en superficie el radio es máximo, la aceleración es casi máxima, y la velocidad mínima.
Y en el centro la aceleración y el radio son nulos, pero la velocidad es máxima, por eso en condiciones ideales nunca se detiene en el centro.

[JCB]

Hola a tod@s.

Me quedé intrigado con la frase de Richard “La teoría dice que entre 76 a 84 minutos la tendremos de vuelta.”. Partiendo de una aceleración proporcional a la distancia al centro de la Tierra, con los ejes de coordenadas pasando por su centro, llego a la siguiente expresión del tiempo

$t=\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arcsin\left(\dfrac{r}{R}\right)}{\sqrt{\dfrac{g}{R}}}$.

Haciendo r=0 m, R=6.371.000 m (radio medio de la Tierra) y g=9,8 m/s2, obtengo t=1.266,52 s=21,11 min, que sería el tiempo que tarda en llegar desde la superficie, al centro de la Tierra. El tiempo de ida y vuelta a la superficie es 4t=5.066,06 s=84,43 min.

El caso es que he considerado también el radio polar y el radio ecuatorial, pero con los 3 radios empleados, el tiempo total es aproximadamente de 84 min. No acabo de ver de dónde salen los 76 min.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

El caso es que he considerado también el radio polar y el radio ecuatorial, pero con los 3 radios empleados, el tiempo total es aproximadamente de 84 min. No acabo de ver de dónde salen los 76 min.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola ,grscias por tu interes. Tu calculo es correcto suponiendo condiciones ideales.
En realidad la tierra no es una esfera de densidad constante, como dije mas arriba.
Son mas de 3 capas bien definidas, pero para simplificar solo 3 capas: Corteza exterior, manto y núcleo.
Como la aceleración de la gravedad sigue creciendo hasta que la densidad es la del manto, la velocidad de un objeto al llegar a esa capa sera mayor que si haces el calculo con densidad constante.
Al viajar mas rápido el tiempo de ida y vuelta sera menor. Como muchas de los cálculos de densidad son teóricos, o por estudio de lava de volcanes, donde la lava ha perdido contenido de gases, tampoco es muy fiable hacer con ellos los cálculos, por eso el estimado de error es bastante.

[JCB]

Hola a tod@s.

Evidentemente, Richard, que el cálculo cuyo resultado da 84 min, supone condiciones ideales. Lo que sigo sin saber, es qué condiciones hay que suponer para obtener el resultado de 76 min.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La densidad es función del radio.
la gravedad es función solo de la masa que se encuentra a menor radio.

La corteza puede ser de un espesor de 12 a 35 km dependiendo si es oceánica o continental respectivamente, la capa oceánica es mas densa de unos 2900kg//m3. Puedes usar ese valor
el manto superior (de la discontinuidad de Mohorovičić a los 665 km de profundidad se encuentra el final y mide 630 km).
el manto inferior (de los 3548 km de profundidad al final y mide 2883 km).
La densidad en esta región aumenta linealmente de 3,4 a 4,6 (en el manto superior) y de 4,6 a 5,5 (en el manto inferior)

La densidad media de la Tierra es de 5515 kg/m3, la mayor del Sistema Solar.Dado que la densidad media de los materiales de la superficie oscila entre 2600 y 3500 kg/m3, deben existir materiales más densos en el núcleo de nuestro planeta. La sismología aporta otras evidencias de la alta densidad del núcleo. Se calcula que la densidad media del núcleo es de 11.000 kg/m3.

Esos datos de la wikipedia te pueden servir para hacer un modelo de la función densidad en función del radio.
También puedes aplicar el principio de superposición para calcular la gravedad que aporta cada capa.
La función densidad no es contante con el radio lo cual hace difícil la integración para el cálculo de la velocidad y la posición en el tiempo.

Como el núcleo es más denso que la densidad media, este acelera más a los cuerpos, que la suposición de aceleración con densidad media , resulta que calculo refinado obtiene un tiempo de viaje menor.


si la densidad del núcleo es contante con el radio, que no lo es pero seguimos simplificando que lo es

la aceleración de la gravedad entre el centro y el radio del núcleo es

$a(r)=G\rho_n\dfrac43 \pi r \quad \to \quad 0\leq r \leq R_n$

sobre la superficie del núcleo

$g_n=G\dfrac{M_n}{R_n^2}$

pasado este radio la aceleración tiene dos componentes, una debida al núcleo y otra a la densidad del manto interior

la componente debida el núcleo decae con el cuadrado de la distancia al centro como la ley de gravitación universal

$a_n(r)=\dfrac{GM_n}{r^2}=g_n\dfrac{R_n^2}{r^2}$

el casquete esférico debido al manto aporta una parte de la aceleración, el calculo sería fácil dada una densidad media y aplicando el principio de superposición, es decir a la gravedad creada esfera de radio $r$ le quito la gravedad de una esfera de radio $R_n$, pero la densidad no es constante, el calculo ya no es tan sencillo pues la densidad resulta de

$\rho(r)_{int}=\rho_{extMint}+(\rho_{intMint}-\rho_{extMint})\dfrac{R_{extMint}-r}{R_{extMint}-R_{intMint}} \quad \to \quad R_n< r \leq R_{extMint}$

int =interno
ext=externo
M = Manto

para la primera capa del manto o interna y para capa exterior

$\rho(r)_{ext}=\rho_{extMext}+(\rho_{intMext}-\rho_{extMext})\dfrac{R_{extMext}-r}{R_{extMext}-R_{intMext}}\quad \to \quad R_{extMint}=R_{intMext} < r \leq R_{extMext}$

lo que aporta cada capa resulta de

$a_{M(r)int}=\dst\int_{R_{intMint}}^r \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \dfrac{\rho(r)_{int}}{r^2}r^2\sin\theta \, d\theta \, d\phi \, dr$

llegado el limite entre capas de manto, el manto interno , ya responde a la superposición directa de la gravitación universal por su masa propia como capa

$a(r) =G\dfrac{M_n}{r^2}+G\dfrac{M_{Mint}}{r^2}+a_M(r)ext$

donde

$a_{M(r)ext}=\dst\int_{R_{intMext}}^r \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \dfrac{\rho(r)_{ext}}{r^2}r^2\sin\theta \, d\theta \, d\phi \, dr$

Luego te queda analizar la corteza es de pequeño espesor poco altera el resultado tengas o no densidad constante

la aceleración será la suma de 4 aportes

$a(r) =G\dfrac{M_n}{r^2}+G\dfrac{M_{Mint}}{r^2}+G\dfrac{M_{Mext}}{r^2}+a_C(r) \quad \to \quad R_{extMext} < r \leq R_{Tierra}$

luego cuando $r=R_{Tierra} \quad \to \quad a(R_{Tierra} )=g$ y $M_T/V_T=\rho_{media}$



Pero como verás el análisis cinemático de una aceleración no uniforme con el tiempo y la posición, requiere integración un poco mas compleja, si lo que deseas es estimar el tiempo total hasta el centro, te sugiero uses un método de integración como Runge Kutta para poder evaluar cada un $\Delta r$ como varia $v(r)$ y $a(r)$ , para extraer cuanto le lleva recorrer esa distancia , es decir un breve $\Delta t$ cuya sumatoria o integral $t$ debe ser luego de todo este tocho menor que 84 min.

puedes usar algo de lo que hay aqui

https://forum.lawebdefisica.com/arti...dimensi%C3%B3n

[JCB]

Gracias Richard, aunque tampoco quería abusar de tu dedicación. Lo pensaré, y a ver si llego a los 76 min.

[Richard R Richard]

Despreocupate Hace no mucho tiempo ,previo al hacer este post ya lo había intentado en excel,la baja primer visión me hizo desistir. Quizá python o visual basic sean mejores herramientas para calculo numérico.