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El método diagonal de Cantor ha sacudido los cimientos de la matemática en varias ocasiones: con él demostró la no enumerabilidad de los reales (no os asusteis luego explicaré lo que quiero decir), que siempre existía un conjunto mayor que uno dado, y Gödel se ocupó de utilizar este mismo método para demostrar que no existe un computador capaz de resolver los problemas matemáticos.
Pensareis que algo tan poderoso como el método diagonal es algo complejo, pero no. Siempre he dicho que las grandes ideas son en esencia muy simples.
Empecemos con un ejemplo sencillito. Consideremos estas tres palabras e intentad formar una cuarta palabra formada también con las letras A y b, diferente de las otras tres:
ABA
BBA
AAB
---
No es algo difícil, por ejemplo BAA, no está en la lista. Bien, pues esto es lo que hace el método diagonal de Cantor, encuentra una palabra que no está en la lista. Veamos cómo: tomemos de la primera palabra la primera letra que es una A. Si tomamos para la nueva palabara una B como primera letra, entonces será diferente de la primera. Como segunda letra tomaremos una diferente de la segunda letra de la segunda palabra, es decir, tomaremos una A. Y con la tercera, por el mismo razonamiento tomaremos una A. Así obtenemos la palabra BAA, que será diferente a las otras tres.
Ya habréis visto por qué se le llama método diagonal: nos movemos a lo largo de la diagonal del listado tomando elementos diferentes a los de la diagonal, de esa manera nos aseguramos de que la nueva palabra es diferente a todas las de la lista.
Este método de diagonalización se puede generalizar al caso de una lista infinita. Ya que estamos podemos decir que cualquier conjunto que podamos colocar en forma de lista se denomina numerable. Ejemplo de esto son los números naturales, los números pares, los enteros, los número cuadrados...pero NO los reales. Este es uno de los grandes resultados de Cantor, los reales no son numerables, lo cual implica que en esencia hay muchos más números reales que números naturales. Este resultado implica que hay varios tipos de infinito, algo sorprendente para el sentido común.
Para demostrar esto colocó los números reales entre 0 y 1 en una lista numerada. Algo así:
0 .[1]2 7 0 3 5 7 3 5...
0 . 0[4]7 2 6 8 4 2 1...
0 . 3 3[1]3 3 3 3 3 3...
0 . 6 8 4[5]3 4 8 7 2...
0 . 2 5 0 0[9]4 0 6 7...
0 . 6 6 6 6 6[2]6 6 6...
0 . 5 4 7 9 2 5[6]6 9...
0 . 2 4 7 8 4 7 3[5]5...
Si de la diagonal tomamos elementos diferentes a los que están entre corchetes obtendremos un número real diferente a los dados en al lista, pero esto es contradictorio, pues obviamente el número así obtenido es real...cómo es esto posible? Pues es posible porque hemos partido de un supuesto erróneo, el creer que los números reales se pueden colocar en una lista enumerada.
El argumento diagonal de Cantor también se utiliza para probar que dado un conjunto C cualquiera, el conjunto de sus subconjuntos (también llamado conjunto de las partes, P(C)) tiene siempre mayor cardinal (más elementos) que el conjunto dado C. Esto demuestra entre otras cosas que no podemos nunca considerar un conjunto de todos los conjuntos pues el conjunto de sus partes sería mayor. Este resultado no resultó sorprendente a una mente como la de Cantor y ni siquiera lo publicó en su obra magna en 1890. Fue Russell quien se dio cuenta de la relevancia de tal resultado y el que le llevó a su famosa paradoja. Fue tal el impacto que tardó un año en escribir a sus maestros para comunicarles la noticia. Frege, que ya tenía la gran obra de su vida a punto de acabar, tuvo que tirarla a la basura pues fallaba en sus fundamentos. La reacción de Frege fue de placer intelectual sin caer en la frustración personal o la descalificación personal. El llamado axioma de comprehensión tuvo que eliminarse, pues es el que daba pie a este tipo de contradicciones, de esto ya se estaba encargando Ernst Zermelo por su cuenta, ajeno a estos descubrimientos, y es que en esa época no había Internet....ufff, ya me estoy yendo a otro tema...mejor me piro
ciao
Pensareis que algo tan poderoso como el método diagonal es algo complejo, pero no. Siempre he dicho que las grandes ideas son en esencia muy simples.
Empecemos con un ejemplo sencillito. Consideremos estas tres palabras e intentad formar una cuarta palabra formada también con las letras A y b, diferente de las otras tres:
ABA
BBA
AAB
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No es algo difícil, por ejemplo BAA, no está en la lista. Bien, pues esto es lo que hace el método diagonal de Cantor, encuentra una palabra que no está en la lista. Veamos cómo: tomemos de la primera palabra la primera letra que es una A. Si tomamos para la nueva palabara una B como primera letra, entonces será diferente de la primera. Como segunda letra tomaremos una diferente de la segunda letra de la segunda palabra, es decir, tomaremos una A. Y con la tercera, por el mismo razonamiento tomaremos una A. Así obtenemos la palabra BAA, que será diferente a las otras tres.
Ya habréis visto por qué se le llama método diagonal: nos movemos a lo largo de la diagonal del listado tomando elementos diferentes a los de la diagonal, de esa manera nos aseguramos de que la nueva palabra es diferente a todas las de la lista.
Este método de diagonalización se puede generalizar al caso de una lista infinita. Ya que estamos podemos decir que cualquier conjunto que podamos colocar en forma de lista se denomina numerable. Ejemplo de esto son los números naturales, los números pares, los enteros, los número cuadrados...pero NO los reales. Este es uno de los grandes resultados de Cantor, los reales no son numerables, lo cual implica que en esencia hay muchos más números reales que números naturales. Este resultado implica que hay varios tipos de infinito, algo sorprendente para el sentido común.
Para demostrar esto colocó los números reales entre 0 y 1 en una lista numerada. Algo así:
0 .[1]2 7 0 3 5 7 3 5...
0 . 0[4]7 2 6 8 4 2 1...
0 . 3 3[1]3 3 3 3 3 3...
0 . 6 8 4[5]3 4 8 7 2...
0 . 2 5 0 0[9]4 0 6 7...
0 . 6 6 6 6 6[2]6 6 6...
0 . 5 4 7 9 2 5[6]6 9...
0 . 2 4 7 8 4 7 3[5]5...
Si de la diagonal tomamos elementos diferentes a los que están entre corchetes obtendremos un número real diferente a los dados en al lista, pero esto es contradictorio, pues obviamente el número así obtenido es real...cómo es esto posible? Pues es posible porque hemos partido de un supuesto erróneo, el creer que los números reales se pueden colocar en una lista enumerada.
El argumento diagonal de Cantor también se utiliza para probar que dado un conjunto C cualquiera, el conjunto de sus subconjuntos (también llamado conjunto de las partes, P(C)) tiene siempre mayor cardinal (más elementos) que el conjunto dado C. Esto demuestra entre otras cosas que no podemos nunca considerar un conjunto de todos los conjuntos pues el conjunto de sus partes sería mayor. Este resultado no resultó sorprendente a una mente como la de Cantor y ni siquiera lo publicó en su obra magna en 1890. Fue Russell quien se dio cuenta de la relevancia de tal resultado y el que le llevó a su famosa paradoja. Fue tal el impacto que tardó un año en escribir a sus maestros para comunicarles la noticia. Frege, que ya tenía la gran obra de su vida a punto de acabar, tuvo que tirarla a la basura pues fallaba en sus fundamentos. La reacción de Frege fue de placer intelectual sin caer en la frustración personal o la descalificación personal. El llamado axioma de comprehensión tuvo que eliminarse, pues es el que daba pie a este tipo de contradicciones, de esto ya se estaba encargando Ernst Zermelo por su cuenta, ajeno a estos descubrimientos, y es que en esa época no había Internet....ufff, ya me estoy yendo a otro tema...mejor me piro
ciao
. De hecho algo tiene que ver con el proceso en diagonal osea que ...
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