Tweet
Re: Fundamentos de la matematica I
[FONT=Verdana]Estimado cuervo:[/FONT]
[FONT=Verdana]Insistes en tu último post que “las matemáticas no pueden en definitiva, prescindir de la realidad física, que de una u otra forma pretenden representar, y es por ello, que un sistema puede ser impecable desde el punto de vista lógico, pero no ser de interés para las matemáticas.”[/FONT]
[FONT=Verdana]Concedamos credibilidad a tu afirmación y remontémonos al año 300 a.c. cuando Euclides había terminado de compilar en sus Elementos prácticamente todo el saber matemático de la época. [/FONT]
[FONT=Verdana]Como es bien sabido, los Elementos están organizados en trece libros en los que se abordan cuestiones de geometría elemental (libros I a VI), teoría de números (libros VII a IX), teoría de los inconmensurables (libro X) y geometría de los sólidos (libros XI a XIII). [/FONT]
[FONT=Verdana]El primero de los libros comienza enumerando veintitrés definiciones a las que le siguen cinco postulados y cinco nociones comunes. Las primeras definiciones son las de punto y línea:[/FONT]
[FONT=Verdana]I, def.1. Un punto es lo que no tiene partes.[/FONT]
[FONT=Verdana]I, def.2. Una línea es longitud sin cortes.[/FONT]
[FONT=Verdana]Estas son las únicas nociones primitivas que aluden los postulados. Las demás definiciones se refieren a conceptos tales como extremos de una línea (def. 3), línea recta (def. 4), superficie (def. 5), extremos de una superficie (def. 6), ángulo plano (def. 8), ángulo recto (def. 10), rectas perpendiculares (def. 10), círculo (def. 15), y rectas paralelas (def. 23), entre otros. Todas estas definiciones se apoyan en los conceptos de punto y recta. Así, por ejemplo:[/FONT]
[FONT=Verdana]I, def.15. Un círculo es una figura plana contenida por una línea tal que todas las líneas rectas que caigan sobre ella desde un punto que está dentro de la figura, son iguales. [/FONT]
[FONT=Verdana]Por su parte, los cinco postulados y las cinco nociones comunes contenidas en los Elementos son los siguientes:[/FONT]
[FONT=Verdana]Postulados:[/FONT]
[FONT=Verdana]1. Dibujar una línea recta desde un punto a otro punto cualquiera[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]2. Prolongar una línea recta finita de forma continua en una línea recta[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]3. Describir un círculo con cualquier centro y radio[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]5. Que si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado por el que los ángulos son menores que dos ángulos rectos[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]Nociones comunes:[/FONT]
[FONT=Verdana]1. [/FONT][FONT=Verdana]Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]2. [/FONT][FONT=Verdana]Si iguales se suman a iguales los totales son iguales[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]3. [/FONT][FONT=Verdana]Si iguales se restan de iguales los restos son iguales[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]4. [/FONT][FONT=Verdana]Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]5. [/FONT][FONT=Verdana]El todo es mayor que la parte[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]Con la ayuda de estos principios, Euclides pudo demostrar las propiedades de las figuras planas y construir la parte más elemental de la geometría, trabajo que desarrolla a lo largo de cuatro primeros libros de su tratado, si bien es preciso considerar además de las definiciones antes mencionadas, las definiciones auxiliares que se introducen en estos otros libros.[/FONT]
[FONT=Verdana]Los Elementos de Euclides son, a mi parecer, el ejemplo por antonomasia de lo que hoy llamamos matemáticas aplicadas. En efecto, la geometría euclídea describe una estructura matemática coherente con la experiencia inmediata que se tiene del espacio. En este sentido, los Elementos ejemplifican tu tesis: las matemáticas no pueden en definitiva, prescindir de la realidad física, que de una u otra forma pretenden representar.[/FONT]
[FONT=Verdana]No voy a argumentar aquí sobre lo equivocado que resulta este modelo cuando se intenta aplicar en un contexto, por ejemplo, relativista, pues con tal argumento reforzaría el tuyo, y lo que pretendo es refutarlo. Me limitaré, por tanto, a plantear una cuestión de naturaleza puramente matemática que durante siglos ha ocupado a muchos e importantes matemáticos: el llamado problema de las paralelas.[/FONT]
[FONT=Verdana]El problema consiste en derivar el quinto postulado (esto es, el de las paralelas), a partir de los restantes. La finalidad era poder prescindir del susodicho postulado que, por lo que parece, incomodaba incluso al propio Euclides.[/FONT]
[FONT=Verdana]Así pues, como digo, durante más de 2000 años muchos matemáticos intentaron encontrar una solución al problema. Destacan en este sentido los intentos de Proclo (412-485), Nasir Eddin al Tusi (1201-1274), John Wallis (1793-1856), Girolamo Saccheri (1667-1733), y también de Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1833), Wolfgang Bolyai (1775-1856) y otros muchos. Sin embargo, todos ellos fallaron en su intento. En cada una de las supuestas demostraciones siempre se utilizaban proposiciones que ya contenían, de un modo u otro, el postulado de las paralelas.[/FONT]
[FONT=Verdana]Es singularmente llamativo el intento de Saccheri. En su obra Euclides ab omni naevo vindicatus propuso una prueba del quinto postulado por reducción al absurdo. Para ello construye un cuadrilátero birrectangular e isósceles, esto es, un cuadrilátero en el que los dos lados que descansan sobre la base tienen igual longitud y la cortan formando ángulos rectos (cuadrilátero de Saccheri). Sin utilizar el postulado de las paralelas demostró entonces que los dos ángulos no definidos de este cuadrilátero debían ser iguales. Por lo tanto sólo caben tres posibilidades, a saber:[/FONT]
[FONT=Verdana](1) que ambos sean ángulos obtusos, [/FONT]
[FONT=Verdana](2) que ambos sean ángulos rectos, y [/FONT]
[FONT=Verdana](3) que ambos sean ángulos agudos. [/FONT]
[FONT=Verdana]Saccheri descartó con facilidad la primera posibilidad. Al considerar la tercera demostró teorema tras teorema y cuando los resultados obtenidos empezaban a alejarse de la intuición geométrica euclídea y a resultar extraños a la naturaleza de la línea recta, consideró que está posibilidad también conducía a resultados absurdos, descartándola. Al final de este proceso sólo quedaba la segunda posibilidad, con lo que aparentemente el problema de las paralelas estaba resuelto. [/FONT]
[FONT=Verdana]Su error fue descartar la tercera posibilidad. Dejándose llevar por ideas preconcebidas acerca de la geometría, Saccheri no vio que todos los teoremas que había obtenido definían, en realidad, el primer sistema geométrico no euclídeo de la historia.[/FONT]
[FONT=Verdana]Y esta es, precisamente, la solución final que defendió Lobachevski, en conferencia leída ante el auditórium de la Universidad de Kazan, allá por el año 1826, al problema de las paralelas: No se trata de derivar el quinto postulado a partir de los restantes, sino de demostrar la posibilidad de construir una geometría, lógicamente posible y no contradictoria, que tiene por quinto postulado el contrario al de Euclides.[/FONT]
[FONT=Verdana]El texto por excelencia en el que Lobachebski da cuenta de sus investigaciones se publicó en Berlín en 1840. Llevaba por título Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. En él se puede leer (proposición 16):[/FONT]
[FONT=Verdana]Todas las líneas rectas que en el plano salen de un punto dado pueden, en relación con otra recta contenida en el mismo plano, dividirse en dos clases, las que la cortan y las que no la cortan.[/FONT]
[FONT=Verdana]A la línea divisoria de una y otra clase la llamaremos paralela a la línea dada. [/FONT]
[FONT=Verdana]Tracemos la perpendicular por[/FONT][FONT=Verdana] A de la línea BC, esto es, la línea AD, sobre la que trazamos también la perpendicular AE (Fig. 1).[/FONT]
[FONT=Verdana]En el ángulo recto[/FONT][FONT=Verdana] EAD, o todas las líneas rectas que salen de A terminan encontrándose con DC, como por ejemplo, la AF, o algunas de ellas, como la perpendicular AE, no encuentran a la línea DC. Ante la incertidumbre de que la línea AE sea la única línea que no termina por encontrar a la DC, asumiremos que puede ser posible que haya todavía otras líneas, por ejemplo, la AG, que no cortan DC por mucho que la prolonguemos. Al pasar de las líneas que cortan DC a las que no lo cortan, tenemos que llegar hasta una línea AH, paralela a DC, una línea divisoria a un lado de la que todas las líneas AG son tales que no se encuentran con la línea DC, mientras que al otro lado todas las líneas rectas AF cortan a la línea DC.[/FONT]
[FONT=Verdana]El ángulo[/FONT][FONT=Verdana] HAD entre la paralela HA y la perpendicular AD se llama ángulo paralelo (ángulo de paralelismo), y que nosotros designaremos aquí por [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) para AD = p. [/FONT]
[FONT=Verdana]Si [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) es un ángulo recto, también la prolongación AE’ de la perpendicular AE será así mismo paralela a la prolongación DB de la línea DC, en adición a lo cual remarcamos que en relación a los cuatro ángulos rectos que forman en el punto A las perpendiculares AE y AD y sus prolongaciones AE’ y AD’, todas las líneas rectas que salen de A, o ellas mismas o, al menos su prolongación caen en uno de los dos ángulos rectos que están vueltos hacia BC, así que, salvo la paralela EE’, todas las otras, si se prolongan suficientemente en ambos sentidos deben cortar a la línea BC.[/FONT]
[FONT=Verdana]Si[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) < [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2, entonces sobre el otro lado de AD, haciendo el mismo ángulo DAK = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) caerá también una línea DC, así que bajo este supuesto debemos hacer una distinción de lados en paralelismo. [/FONT]
[FONT=Verdana]Todas las demás líneas o sus prolongaciones dentro de los dos ángulos rectos vueltos hacia[/FONT][FONT=Verdana] BC pertenecen a aquellas que cortan, si caen dentro del ángulo HAK = 2[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) entre las paralelas; pertenecen, por el otro lado a las que no cortan, AG, si caen sobre los otros lados de las paralelas AH y AK, en el espacio abierto entre los dos ángulos EAH = ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] – [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) , E’AK = ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] – [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p), entre las paralelas y EE’, la perpendicular a AD. Sobre los otros lados de las perpendiculares EE’, de la misma manera que las prolongaciones AH’ y AK’ de las paralelas AH y AK, las líneas serán así mismo paralelas a BC; las líneas restantes pertenecen, si están en el ángulo K’AH’ a las que cortan, y si están en los ángulos K’AE y H’AE’, a las que no cortan.[/FONT]
[FONT=Verdana]De[/FONT][FONT=Verdana] acuerdo con esto, suponiendo que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) = ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], las líneas sólo pueden ser o de las que cortan o paralelas; pero si asumimos que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) < ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], entonces debemos permitir dos paralelas, una a un lado y la otra a otro lado; además debemos distinguir en las demás rectas las que cortan y las que no cortan.[/FONT]
[FONT=Verdana]Para ambos supuestos puede admitirse como marca del paralelismo que la línea se vuelve de las que cortan a la más mínima desviación hacia el lado donde cae la paralela, así que si [/FONT][FONT=Verdana]AH es paralela a DC, toda línea AF corta a DC, por pequeño que el ángulo HAF pueda ser.[/FONT]
[FONT=Verdana]Lo que Lobachevski propone es, por lo tanto, una geometría en la que el ángulo de paralelismo no sea [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2, sino un valor [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] < [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2, lo que conlleva, como se ha visto, a que sobre un mismo punto puedan trazarse dos paralelas a una recta dada, cada una de ellas en un lado distinto de la perpendicular trazada desde la recta a dicho punto. [/FONT]
[FONT=Verdana]Pasa entonces a estudiar diversas consecuencias inmediatas de esta suposición. Demuestra, por ejemplo, que la suma interior de los ángulos de un triángulo rectángulo, al igual que ocurre en la geometría euclídea, no puede ser mayor de [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] (Teorema 19). Pero demuestra también que sólo puede asegurarse que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] si suman [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] los ángulos de un triángulo rectángulo cualquiera (Teorema 20), y esto sólo ocurre si dos perpendiculares a una misma línea recta son paralelas (Teorema 22), esto es, en el caso límite en el que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) vale precisamente [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2. Y demuestra también, que esta no es la única solución posible, y que admitiendo valores de [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) inferiores a [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2 se obtienen triángulos cuyos ángulos interiores suman menos de dos ángulos rectos. [/FONT]
[FONT=Verdana]Así mismo demuestra que para cada ángulo [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] existe una línea p tal que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] (Teorema 23), y que cuanto menor es p mayor es [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], llegando al límite cuando p = 0, momento en el que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2; y que cuanto mayor es p menor es [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], de modo que si p se aproxima a infinito, [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] se aproxima de forma continua a cero.[/FONT]
[FONT=Verdana]En las proposiciones 29 y 30 Lobachevski demuestra entonces dos importantes teoremas de su geometría, a saber:[/FONT]
[FONT=Verdana]29. En un rectángulo rectilíneo las perpendiculares trazadas en los puntos medios de sus lados o no se encuentran o si se encuentran, las tres se encuentran en un mismo punto.[/FONT]
[FONT=Verdana]30. Las tres perpendiculares que se trazan sobre los lados de un triángulo rectángulo en sus puntos medios, deben ser paralelas, la una respecto de las otras, tan pronto como se presuponga el paralelismo de dos de ellas.[/FONT]
[FONT=Verdana]El teorema 29 muestra que si las perpendiculares trazadas en dos de los lados del triángulo se encuentran, lo hacen en un punto que define precisamente, cuando se proyecta sobre el tercer lado, el punto medio de ese tercer lado. Concluye de esta manera que si las dos perpendiculares primeras no se encuentran, tampoco lo hará la tercera. El Teorema 30 resuelve el caso particular en el que las dos perpendiculares son paralelas entre sí, demostrando que entonces también lo será la tercera. Este último Teorema le permite entonces definir una línea frontera, a la que llama horociclo:[/FONT]
[FONT=Verdana]31. Llamamos línea frontera (horociclo) a aquella curva que, trazada sobre el plano, es tal que todas las perpendiculares trazadas en los puntos medios de sus cuerdas son paralelas entre sí.[/FONT]
[FONT=Verdana]Utilizando el horociclo, Lobachevski encuentra la expresión analítica que relaciona las longitudes de dos arcos s y s’ de dos horociclos comprendidos entre dos paralelas dadas y la distancia x que les separa (Teorema 33), y finalmente, la relación analítica entre el ángulo de paralelismo [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](x) y el valor de x (Teorema 36), que resulta ser tan ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](x) = e^[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]-[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]x[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]Lobachevski termina su libro desarrollando las relaciones trigonométricas apropiadas a su geometría, demostrando que, en el supuesto de que se trate con triángulos de lados muy pequeños, sus ecuaciones trigonométricas pueden aproximarse mediante las nuevas ecuaciones:[/FONT]
[FONT=Verdana]b[/FONT][FONT=Verdana] sin A = a sin B[/FONT]
[FONT=Verdana]a^2[/FONT][FONT=Verdana] = b^2 + c^2 – 2bc cos A[/FONT]
[FONT=Verdana]a sin[/FONT][FONT=Verdana] (A + C) = b sin A[/FONT]
[FONT=Verdana]cos A[/FONT][FONT=Verdana] + cos (B + C) = 0.[/FONT]
[FONT=Verdana]Llegado a este punto, escribe Lobachevski:[/FONT]
[FONT=Verdana]De estas ecuaciones, las dos primeras se asumen en geometría ordinaria. Las otras dos conducen, con ayuda de la primera, a la conclusión[/FONT][FONT=Verdana] A + B + C = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]En consecuencia, la geometría imaginaria pasa a la ordinaria cuando suponemos que los lados de un triángulo rectilíneo son muy pequeños. En el boletín científico de la Universidad de Kazan he publicado ciertas investigaciones relativas a la medida de líneas curvas, de figuras planas, de las superficies y volúmenes de sólidos, así como de la aplicación de la geometría imaginaria al análisis.[/FONT]
[FONT=Verdana]Las ecuaciones tienen por ellas mismas una fundamentación suficiente para considerar la asunción de la geometría imaginaria como posible. A partir de aquí, no hay otro medio salvo el de la observación astronómica, que sirva para juzgar la exactitud de los cálculos de la geometría ordinaria. Esta exactitud está muy lejos de alcanzarse, tal como he demostrado en una de mis investigaciones. Así, por ejemplo, en triángulos cuyos lados podemos alcanzar con nuestras medidas, la suma de los tres ángulos no es, en verdad, diferente de dos ángulos rectos en más de la centésima parte de un segundo.[/FONT]
[FONT=Verdana]A mi modo de entender es esclarecedor este último párrafo. Por un lado, tras encontrar que para pequeñas distancias su geometría incluye a la euclidea, defiende como base sólida para su fundamentación las ecuaciones trigonométricas a las que llega. Por otro, reconoce que la elección entre su geometría o de la de Euclides como teoría matemática capaz de reproducir la estructura del espacio, sólo puede realizarse por medio de la experiencia física.[/FONT]
[FONT=Verdana]Creo que hasta aquí estamos los dos de acuerdo, amigo Cuervo, en cuyo caso habrás de revisar tu tesis, pues en absoluto Lobachevski (ni János Bolyai, quien desarrolló de forma paralela e independiente a Lobachevski una teoría similar), tenían por objetivo representar realidad física alguna. Alternativamente, saltándote la barrera del tiempo, puedes repudiar la propuesta de Lobachevski tal como hicieron sus contemporáneos, pero en tal caso deberías olvidar la disertación de Riemann de 1854 (su famosa Habilitationsschrift), sobre las hipótesis de la geometría, así como su descubrimiento de una segunda geometría no euclídea, muy próxima a la que se obtendría de desarrollar la primera posibilidad de Saccheri y a la que Klein llamaría años después, elíptica.[/FONT]
[FONT=Verdana]Un abrazo.[/FONT]
[FONT=Verdana]Estimado cuervo:[/FONT]
[FONT=Verdana]Insistes en tu último post que “las matemáticas no pueden en definitiva, prescindir de la realidad física, que de una u otra forma pretenden representar, y es por ello, que un sistema puede ser impecable desde el punto de vista lógico, pero no ser de interés para las matemáticas.”[/FONT]
[FONT=Verdana]Concedamos credibilidad a tu afirmación y remontémonos al año 300 a.c. cuando Euclides había terminado de compilar en sus Elementos prácticamente todo el saber matemático de la época. [/FONT]
[FONT=Verdana]Como es bien sabido, los Elementos están organizados en trece libros en los que se abordan cuestiones de geometría elemental (libros I a VI), teoría de números (libros VII a IX), teoría de los inconmensurables (libro X) y geometría de los sólidos (libros XI a XIII). [/FONT]
[FONT=Verdana]El primero de los libros comienza enumerando veintitrés definiciones a las que le siguen cinco postulados y cinco nociones comunes. Las primeras definiciones son las de punto y línea:[/FONT]
[FONT=Verdana]I, def.1. Un punto es lo que no tiene partes.[/FONT]
[FONT=Verdana]I, def.2. Una línea es longitud sin cortes.[/FONT]
[FONT=Verdana]Estas son las únicas nociones primitivas que aluden los postulados. Las demás definiciones se refieren a conceptos tales como extremos de una línea (def. 3), línea recta (def. 4), superficie (def. 5), extremos de una superficie (def. 6), ángulo plano (def. 8), ángulo recto (def. 10), rectas perpendiculares (def. 10), círculo (def. 15), y rectas paralelas (def. 23), entre otros. Todas estas definiciones se apoyan en los conceptos de punto y recta. Así, por ejemplo:[/FONT]
[FONT=Verdana]I, def.15. Un círculo es una figura plana contenida por una línea tal que todas las líneas rectas que caigan sobre ella desde un punto que está dentro de la figura, son iguales. [/FONT]
[FONT=Verdana]Por su parte, los cinco postulados y las cinco nociones comunes contenidas en los Elementos son los siguientes:[/FONT]
[FONT=Verdana]Postulados:[/FONT]
[FONT=Verdana]1. Dibujar una línea recta desde un punto a otro punto cualquiera[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]2. Prolongar una línea recta finita de forma continua en una línea recta[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]3. Describir un círculo con cualquier centro y radio[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]5. Que si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado por el que los ángulos son menores que dos ángulos rectos[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]Nociones comunes:[/FONT]
[FONT=Verdana]1. [/FONT][FONT=Verdana]Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]2. [/FONT][FONT=Verdana]Si iguales se suman a iguales los totales son iguales[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]3. [/FONT][FONT=Verdana]Si iguales se restan de iguales los restos son iguales[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]4. [/FONT][FONT=Verdana]Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]5. [/FONT][FONT=Verdana]El todo es mayor que la parte[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]Con la ayuda de estos principios, Euclides pudo demostrar las propiedades de las figuras planas y construir la parte más elemental de la geometría, trabajo que desarrolla a lo largo de cuatro primeros libros de su tratado, si bien es preciso considerar además de las definiciones antes mencionadas, las definiciones auxiliares que se introducen en estos otros libros.[/FONT]
[FONT=Verdana]Los Elementos de Euclides son, a mi parecer, el ejemplo por antonomasia de lo que hoy llamamos matemáticas aplicadas. En efecto, la geometría euclídea describe una estructura matemática coherente con la experiencia inmediata que se tiene del espacio. En este sentido, los Elementos ejemplifican tu tesis: las matemáticas no pueden en definitiva, prescindir de la realidad física, que de una u otra forma pretenden representar.[/FONT]
[FONT=Verdana]No voy a argumentar aquí sobre lo equivocado que resulta este modelo cuando se intenta aplicar en un contexto, por ejemplo, relativista, pues con tal argumento reforzaría el tuyo, y lo que pretendo es refutarlo. Me limitaré, por tanto, a plantear una cuestión de naturaleza puramente matemática que durante siglos ha ocupado a muchos e importantes matemáticos: el llamado problema de las paralelas.[/FONT]
[FONT=Verdana]El problema consiste en derivar el quinto postulado (esto es, el de las paralelas), a partir de los restantes. La finalidad era poder prescindir del susodicho postulado que, por lo que parece, incomodaba incluso al propio Euclides.[/FONT]
[FONT=Verdana]Así pues, como digo, durante más de 2000 años muchos matemáticos intentaron encontrar una solución al problema. Destacan en este sentido los intentos de Proclo (412-485), Nasir Eddin al Tusi (1201-1274), John Wallis (1793-1856), Girolamo Saccheri (1667-1733), y también de Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1833), Wolfgang Bolyai (1775-1856) y otros muchos. Sin embargo, todos ellos fallaron en su intento. En cada una de las supuestas demostraciones siempre se utilizaban proposiciones que ya contenían, de un modo u otro, el postulado de las paralelas.[/FONT]
[FONT=Verdana]Es singularmente llamativo el intento de Saccheri. En su obra Euclides ab omni naevo vindicatus propuso una prueba del quinto postulado por reducción al absurdo. Para ello construye un cuadrilátero birrectangular e isósceles, esto es, un cuadrilátero en el que los dos lados que descansan sobre la base tienen igual longitud y la cortan formando ángulos rectos (cuadrilátero de Saccheri). Sin utilizar el postulado de las paralelas demostró entonces que los dos ángulos no definidos de este cuadrilátero debían ser iguales. Por lo tanto sólo caben tres posibilidades, a saber:[/FONT]
[FONT=Verdana](1) que ambos sean ángulos obtusos, [/FONT]
[FONT=Verdana](2) que ambos sean ángulos rectos, y [/FONT]
[FONT=Verdana](3) que ambos sean ángulos agudos. [/FONT]
[FONT=Verdana]Saccheri descartó con facilidad la primera posibilidad. Al considerar la tercera demostró teorema tras teorema y cuando los resultados obtenidos empezaban a alejarse de la intuición geométrica euclídea y a resultar extraños a la naturaleza de la línea recta, consideró que está posibilidad también conducía a resultados absurdos, descartándola. Al final de este proceso sólo quedaba la segunda posibilidad, con lo que aparentemente el problema de las paralelas estaba resuelto. [/FONT]
[FONT=Verdana]Su error fue descartar la tercera posibilidad. Dejándose llevar por ideas preconcebidas acerca de la geometría, Saccheri no vio que todos los teoremas que había obtenido definían, en realidad, el primer sistema geométrico no euclídeo de la historia.[/FONT]
[FONT=Verdana]Y esta es, precisamente, la solución final que defendió Lobachevski, en conferencia leída ante el auditórium de la Universidad de Kazan, allá por el año 1826, al problema de las paralelas: No se trata de derivar el quinto postulado a partir de los restantes, sino de demostrar la posibilidad de construir una geometría, lógicamente posible y no contradictoria, que tiene por quinto postulado el contrario al de Euclides.[/FONT]
[FONT=Verdana]El texto por excelencia en el que Lobachebski da cuenta de sus investigaciones se publicó en Berlín en 1840. Llevaba por título Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. En él se puede leer (proposición 16):[/FONT]
[FONT=Verdana]Todas las líneas rectas que en el plano salen de un punto dado pueden, en relación con otra recta contenida en el mismo plano, dividirse en dos clases, las que la cortan y las que no la cortan.[/FONT]
[FONT=Verdana]A la línea divisoria de una y otra clase la llamaremos paralela a la línea dada. [/FONT]
[FONT=Verdana]Tracemos la perpendicular por[/FONT][FONT=Verdana] A de la línea BC, esto es, la línea AD, sobre la que trazamos también la perpendicular AE (Fig. 1).[/FONT]
[FONT=Verdana]En el ángulo recto[/FONT][FONT=Verdana] EAD, o todas las líneas rectas que salen de A terminan encontrándose con DC, como por ejemplo, la AF, o algunas de ellas, como la perpendicular AE, no encuentran a la línea DC. Ante la incertidumbre de que la línea AE sea la única línea que no termina por encontrar a la DC, asumiremos que puede ser posible que haya todavía otras líneas, por ejemplo, la AG, que no cortan DC por mucho que la prolonguemos. Al pasar de las líneas que cortan DC a las que no lo cortan, tenemos que llegar hasta una línea AH, paralela a DC, una línea divisoria a un lado de la que todas las líneas AG son tales que no se encuentran con la línea DC, mientras que al otro lado todas las líneas rectas AF cortan a la línea DC.[/FONT]
[FONT=Verdana]El ángulo[/FONT][FONT=Verdana] HAD entre la paralela HA y la perpendicular AD se llama ángulo paralelo (ángulo de paralelismo), y que nosotros designaremos aquí por [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) para AD = p. [/FONT]
[FONT=Verdana]Si [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) es un ángulo recto, también la prolongación AE’ de la perpendicular AE será así mismo paralela a la prolongación DB de la línea DC, en adición a lo cual remarcamos que en relación a los cuatro ángulos rectos que forman en el punto A las perpendiculares AE y AD y sus prolongaciones AE’ y AD’, todas las líneas rectas que salen de A, o ellas mismas o, al menos su prolongación caen en uno de los dos ángulos rectos que están vueltos hacia BC, así que, salvo la paralela EE’, todas las otras, si se prolongan suficientemente en ambos sentidos deben cortar a la línea BC.[/FONT]
[FONT=Verdana]Si[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) < [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2, entonces sobre el otro lado de AD, haciendo el mismo ángulo DAK = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) caerá también una línea DC, así que bajo este supuesto debemos hacer una distinción de lados en paralelismo. [/FONT]
[FONT=Verdana]Todas las demás líneas o sus prolongaciones dentro de los dos ángulos rectos vueltos hacia[/FONT][FONT=Verdana] BC pertenecen a aquellas que cortan, si caen dentro del ángulo HAK = 2[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) entre las paralelas; pertenecen, por el otro lado a las que no cortan, AG, si caen sobre los otros lados de las paralelas AH y AK, en el espacio abierto entre los dos ángulos EAH = ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] – [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) , E’AK = ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] – [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p), entre las paralelas y EE’, la perpendicular a AD. Sobre los otros lados de las perpendiculares EE’, de la misma manera que las prolongaciones AH’ y AK’ de las paralelas AH y AK, las líneas serán así mismo paralelas a BC; las líneas restantes pertenecen, si están en el ángulo K’AH’ a las que cortan, y si están en los ángulos K’AE y H’AE’, a las que no cortan.[/FONT]
[FONT=Verdana]De[/FONT][FONT=Verdana] acuerdo con esto, suponiendo que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) = ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], las líneas sólo pueden ser o de las que cortan o paralelas; pero si asumimos que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) < ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], entonces debemos permitir dos paralelas, una a un lado y la otra a otro lado; además debemos distinguir en las demás rectas las que cortan y las que no cortan.[/FONT]
[FONT=Verdana]Para ambos supuestos puede admitirse como marca del paralelismo que la línea se vuelve de las que cortan a la más mínima desviación hacia el lado donde cae la paralela, así que si [/FONT][FONT=Verdana]AH es paralela a DC, toda línea AF corta a DC, por pequeño que el ángulo HAF pueda ser.[/FONT]
[FONT=Verdana]Lo que Lobachevski propone es, por lo tanto, una geometría en la que el ángulo de paralelismo no sea [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2, sino un valor [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] < [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2, lo que conlleva, como se ha visto, a que sobre un mismo punto puedan trazarse dos paralelas a una recta dada, cada una de ellas en un lado distinto de la perpendicular trazada desde la recta a dicho punto. [/FONT]
[FONT=Verdana]Pasa entonces a estudiar diversas consecuencias inmediatas de esta suposición. Demuestra, por ejemplo, que la suma interior de los ángulos de un triángulo rectángulo, al igual que ocurre en la geometría euclídea, no puede ser mayor de [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] (Teorema 19). Pero demuestra también que sólo puede asegurarse que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] si suman [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] los ángulos de un triángulo rectángulo cualquiera (Teorema 20), y esto sólo ocurre si dos perpendiculares a una misma línea recta son paralelas (Teorema 22), esto es, en el caso límite en el que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) vale precisamente [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2. Y demuestra también, que esta no es la única solución posible, y que admitiendo valores de [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) inferiores a [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2 se obtienen triángulos cuyos ángulos interiores suman menos de dos ángulos rectos. [/FONT]
[FONT=Verdana]Así mismo demuestra que para cada ángulo [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] existe una línea p tal que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](p) = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] (Teorema 23), y que cuanto menor es p mayor es [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], llegando al límite cuando p = 0, momento en el que [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]/2; y que cuanto mayor es p menor es [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana], de modo que si p se aproxima a infinito, [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]a[/FONT][/FONT][FONT=Verdana] se aproxima de forma continua a cero.[/FONT]
[FONT=Verdana]En las proposiciones 29 y 30 Lobachevski demuestra entonces dos importantes teoremas de su geometría, a saber:[/FONT]
[FONT=Verdana]29. En un rectángulo rectilíneo las perpendiculares trazadas en los puntos medios de sus lados o no se encuentran o si se encuentran, las tres se encuentran en un mismo punto.[/FONT]
[FONT=Verdana]30. Las tres perpendiculares que se trazan sobre los lados de un triángulo rectángulo en sus puntos medios, deben ser paralelas, la una respecto de las otras, tan pronto como se presuponga el paralelismo de dos de ellas.[/FONT]
[FONT=Verdana]El teorema 29 muestra que si las perpendiculares trazadas en dos de los lados del triángulo se encuentran, lo hacen en un punto que define precisamente, cuando se proyecta sobre el tercer lado, el punto medio de ese tercer lado. Concluye de esta manera que si las dos perpendiculares primeras no se encuentran, tampoco lo hará la tercera. El Teorema 30 resuelve el caso particular en el que las dos perpendiculares son paralelas entre sí, demostrando que entonces también lo será la tercera. Este último Teorema le permite entonces definir una línea frontera, a la que llama horociclo:[/FONT]
[FONT=Verdana]31. Llamamos línea frontera (horociclo) a aquella curva que, trazada sobre el plano, es tal que todas las perpendiculares trazadas en los puntos medios de sus cuerdas son paralelas entre sí.[/FONT]
[FONT=Verdana]Utilizando el horociclo, Lobachevski encuentra la expresión analítica que relaciona las longitudes de dos arcos s y s’ de dos horociclos comprendidos entre dos paralelas dadas y la distancia x que les separa (Teorema 33), y finalmente, la relación analítica entre el ángulo de paralelismo [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](x) y el valor de x (Teorema 36), que resulta ser tan ½ [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]P[/FONT][/FONT][FONT=Verdana](x) = e^[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]-[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]x[/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]Lobachevski termina su libro desarrollando las relaciones trigonométricas apropiadas a su geometría, demostrando que, en el supuesto de que se trate con triángulos de lados muy pequeños, sus ecuaciones trigonométricas pueden aproximarse mediante las nuevas ecuaciones:[/FONT]
[FONT=Verdana]b[/FONT][FONT=Verdana] sin A = a sin B[/FONT]
[FONT=Verdana]a^2[/FONT][FONT=Verdana] = b^2 + c^2 – 2bc cos A[/FONT]
[FONT=Verdana]a sin[/FONT][FONT=Verdana] (A + C) = b sin A[/FONT]
[FONT=Verdana]cos A[/FONT][FONT=Verdana] + cos (B + C) = 0.[/FONT]
[FONT=Verdana]Llegado a este punto, escribe Lobachevski:[/FONT]
[FONT=Verdana]De estas ecuaciones, las dos primeras se asumen en geometría ordinaria. Las otras dos conducen, con ayuda de la primera, a la conclusión[/FONT][FONT=Verdana] A + B + C = [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]
[FONT=Verdana]En consecuencia, la geometría imaginaria pasa a la ordinaria cuando suponemos que los lados de un triángulo rectilíneo son muy pequeños. En el boletín científico de la Universidad de Kazan he publicado ciertas investigaciones relativas a la medida de líneas curvas, de figuras planas, de las superficies y volúmenes de sólidos, así como de la aplicación de la geometría imaginaria al análisis.[/FONT]
[FONT=Verdana]Las ecuaciones tienen por ellas mismas una fundamentación suficiente para considerar la asunción de la geometría imaginaria como posible. A partir de aquí, no hay otro medio salvo el de la observación astronómica, que sirva para juzgar la exactitud de los cálculos de la geometría ordinaria. Esta exactitud está muy lejos de alcanzarse, tal como he demostrado en una de mis investigaciones. Así, por ejemplo, en triángulos cuyos lados podemos alcanzar con nuestras medidas, la suma de los tres ángulos no es, en verdad, diferente de dos ángulos rectos en más de la centésima parte de un segundo.[/FONT]
[FONT=Verdana]A mi modo de entender es esclarecedor este último párrafo. Por un lado, tras encontrar que para pequeñas distancias su geometría incluye a la euclidea, defiende como base sólida para su fundamentación las ecuaciones trigonométricas a las que llega. Por otro, reconoce que la elección entre su geometría o de la de Euclides como teoría matemática capaz de reproducir la estructura del espacio, sólo puede realizarse por medio de la experiencia física.[/FONT]
[FONT=Verdana]Creo que hasta aquí estamos los dos de acuerdo, amigo Cuervo, en cuyo caso habrás de revisar tu tesis, pues en absoluto Lobachevski (ni János Bolyai, quien desarrolló de forma paralela e independiente a Lobachevski una teoría similar), tenían por objetivo representar realidad física alguna. Alternativamente, saltándote la barrera del tiempo, puedes repudiar la propuesta de Lobachevski tal como hicieron sus contemporáneos, pero en tal caso deberías olvidar la disertación de Riemann de 1854 (su famosa Habilitationsschrift), sobre las hipótesis de la geometría, así como su descubrimiento de una segunda geometría no euclídea, muy próxima a la que se obtendría de desarrollar la primera posibilidad de Saccheri y a la que Klein llamaría años después, elíptica.[/FONT]
[FONT=Verdana]Un abrazo.[/FONT]
Comentario