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e^(Pi*i) + 1=0
Esta es una de las más bellas y sorprendentes igualdades que han producido las matemáticas. Igualdad que debemos a uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, el gran Leonard Euler.
Intentaré dar una idea del porque és posible dicha igualdad. Asimismo, veremos que está igualdad és solo la punta del iceberg de otras igualdades, igualmente demoledoras.
Todo empieza con el polinomio de Taylor para la función exponencial en el origen. Dicho polinomio, puede demostrarse que és convergente para cualquier valor real, por lo tanto, podemos escribir tranquilamente que:
e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+.......
Muy bién, podriamos ahora definir la función exponencial de un número imaginario como :
e^(x*i)=(x*i)^0/0!+(x*i)^1/1!+(x*i)^2/2!+(x*i)^3/3!+......
Si esa serie fuera convergente para cualquier valor real de x, entonces nuestra definición sería correcta.
La teoría de series de variable compleja, nos dice que toda serie de números complejos absolutamente convergente, és convergente, por lo tanto tenemos nuestra función bién definida, y podemos escribir la siguiente igualdad :
e^(x*i)=(x*i)^0/0!+(x*i)^1/1!+(x*i)^2/2!+(x*i)^3/3!+......
=1+i*x/1!-x^2/2!-i*x^3/3!+x^4/4!+i*x^5/5!+......
=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...)+(x/1!-x^3/3+x^5/5!+...)*i
Ahora, si tenemos en cuenta que los desarrollos de taylor para las funciones seno y coseno en el origen, son convergentes para cualquier x real, como sucedía con la función exponencial, tenemos que :
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+..........
sin(x)=x/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!.........
y
e^(x*i)=cos(x)+sin(x)*i
Y en concreto
e^(Pi*i)+1=cos(Pi)+sin(Pi)*i+1=-1+1=0
Bién ya tenemos nuestra famosa igualdad demostrada. Sin embargo antes dije que esto era solo la punta del iceberg. Porqué?. Porque de igual forma podemos proceder para demostrar otras igualdades. Así utilizando los polinomios de taylor en el origen, de las funciones e^x,sin(x),cos(x),sinh(x),cosh(x), que como antes son convergentes para cualquier valor de x, podremos demostrar las igualdades siguientes :
cos(x*i)=cosh(x), cosh(x*i)=cos(x)
sin(x*i)=sinh(x)*i,sinh(x*i)=sin(x)*i
y también
e^(a+b*i)=e^a*(cos(b)+sin(b)*i)
cos(a+b*i)=cos(a)*cosh(b)-sin(a)*sinh(b)*i
sin(a+b*i)=sin(a)*cosh(b)+cos(a)*sinh(b)*i
cosh(a+b*i)=cosh(a)*cos(b)+sinh(a)*sin(b)*i
sinh(a+b*i)=sinh(a)*cos(b)+cosh(a)*sin(b)*i
entre otras.
Así mismo, podremos derivar e integrar dichas funciones, derivando e integrando sus series, aunque para la demostración de este hecho si és necesario un estudio más profundo de la teoría de series, que no és posible realizar en el foro. Osea que si os intereso, os aconsejo que os leais un buén libro de variable compleja, que siempre será una experiencia muy interesante para quién se decida a hacerlo.
Intentaré dar una idea del porque és posible dicha igualdad. Asimismo, veremos que está igualdad és solo la punta del iceberg de otras igualdades, igualmente demoledoras.
Todo empieza con el polinomio de Taylor para la función exponencial en el origen. Dicho polinomio, puede demostrarse que és convergente para cualquier valor real, por lo tanto, podemos escribir tranquilamente que:
e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+.......
Muy bién, podriamos ahora definir la función exponencial de un número imaginario como :
e^(x*i)=(x*i)^0/0!+(x*i)^1/1!+(x*i)^2/2!+(x*i)^3/3!+......
Si esa serie fuera convergente para cualquier valor real de x, entonces nuestra definición sería correcta.
La teoría de series de variable compleja, nos dice que toda serie de números complejos absolutamente convergente, és convergente, por lo tanto tenemos nuestra función bién definida, y podemos escribir la siguiente igualdad :
e^(x*i)=(x*i)^0/0!+(x*i)^1/1!+(x*i)^2/2!+(x*i)^3/3!+......
=1+i*x/1!-x^2/2!-i*x^3/3!+x^4/4!+i*x^5/5!+......
=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...)+(x/1!-x^3/3+x^5/5!+...)*i
Ahora, si tenemos en cuenta que los desarrollos de taylor para las funciones seno y coseno en el origen, son convergentes para cualquier x real, como sucedía con la función exponencial, tenemos que :
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+..........
sin(x)=x/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!.........
y
e^(x*i)=cos(x)+sin(x)*i
Y en concreto
e^(Pi*i)+1=cos(Pi)+sin(Pi)*i+1=-1+1=0
Bién ya tenemos nuestra famosa igualdad demostrada. Sin embargo antes dije que esto era solo la punta del iceberg. Porqué?. Porque de igual forma podemos proceder para demostrar otras igualdades. Así utilizando los polinomios de taylor en el origen, de las funciones e^x,sin(x),cos(x),sinh(x),cosh(x), que como antes son convergentes para cualquier valor de x, podremos demostrar las igualdades siguientes :
cos(x*i)=cosh(x), cosh(x*i)=cos(x)
sin(x*i)=sinh(x)*i,sinh(x*i)=sin(x)*i
y también
e^(a+b*i)=e^a*(cos(b)+sin(b)*i)
cos(a+b*i)=cos(a)*cosh(b)-sin(a)*sinh(b)*i
sin(a+b*i)=sin(a)*cosh(b)+cos(a)*sinh(b)*i
cosh(a+b*i)=cosh(a)*cos(b)+sinh(a)*sin(b)*i
sinh(a+b*i)=sinh(a)*cos(b)+cosh(a)*sin(b)*i
entre otras.
Así mismo, podremos derivar e integrar dichas funciones, derivando e integrando sus series, aunque para la demostración de este hecho si és necesario un estudio más profundo de la teoría de series, que no és posible realizar en el foro. Osea que si os intereso, os aconsejo que os leais un buén libro de variable compleja, que siempre será una experiencia muy interesante para quién se decida a hacerlo.
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