i^i (i elevado a i)

[carroza]

Los numeros complejos son una herramienta fundamental para la fisica, pero también son hermosísimos en sí mismos. Probablemente, i^i (i elevado a i) es de lo más complejo que pueda imaginarse, pero ¿Cuanto vale?

PS: Está sacado del libro de Roger Penrose El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo

[alefriz]

Re: i^i (i elevado a i)

Los numeros complejos son una herramienta fundamental para la fisica, pero también son hermosísimos en sí mismos. Probablemente, i^i (i elevado a i) es de lo más complejo que pueda imaginarse, pero ¿Cuanto vale?

PS: Está sacado del libro de Roger Penrose El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo

Vamos a aplicar la propiedad de los logaritmos: $\ln{a^b} = b \cdot \ln a$

$i^i = e^{\ln{i^i}} = e^{i \cdot \ln{i}} = e^{i \cdot (\ln{ | i |} + i \cdot \frac{\pi}{2}\)} = e^{i \cdot (\ln{1} + i \cdot \frac{\pi}{2}\)} = e^{i^2 \cdot \frac{\pi}{2}} = e^{-\frac {\pi}{2}}$

[carroza]

Re: i^i (i elevado a i)

Muy bien. Esa es una solución, pero ¿hay más?

[Dj_jara]

Re: i^i (i elevado a i)

$i^i = e^{i \ln(i)} = e^{i \ln(|1| e^{i(\frac{\pi}{2} +2k\pi)})} = e^{- (\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} \\ \forall k \in \mathbb{Z}$

[Dramey]

Re: i^i (i elevado a i)

$i^i = e^{i \ln(i)} = e^{i \ln(|1| e^{i(\frac{\pi}{2} +2k\pi)})} = e^{- (\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} \\ \forall k \in \mathbb{N}$

Aún digo más:

$i^i = e^{i \ln(i)} = e^{i \ln(|1| e^{i(\frac{\pi}{2} +2k\pi)})} = e^{- (\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} \\ \forall k \in \mathbb{Z}$

[SportBilly]

Re: i^i (i elevado a i)

Pues para ser, como dices una de las cosas mas complejas, es curioso que sea un numero real, o conjunto de numeros reales. :P

[Dj_jara]

Re: i^i (i elevado a i)

Aún digo más:

$\forall k \in \mathbb{Z}$

Si, tienes razón. (a veces pongo los naturales cuando son los enteros xD)

[Dramey]

Re: i^i (i elevado a i)

Si, tienes razón. (a veces pongo los naturales cuando son los enteros xD)

Lo que te faltaba, reconcer que estás equivocado cuando solo he pisado el trabajo del resto enhorabuena a todos los que lo habeis intentado, ese es el camino

[Adosgel]

Re: i^i (i elevado a i)

Bueno, pero todo esto lo estais restringiendo al plano complejo con coordenadas polarizadas, ¿no?

En ese marco no tiene por qué ser sorprendente que dé un nº real, pues, en definitiva es una aplicación geométrica y geométricamente no se le dá distinción topológica alguna a las coordenadas imaginarias de las reales ( en el caso de coordenadas polarizadas, la distinción existe, pero no respecto a la naturaleza imaginaria o real. Que dé un resultado real en vez de complejo, solo es cuestión del arco o giro).

No sé si me he explicado bién... que a un eje de coordenadas le apliquemos una métrica de R*i, no significa que lo sea si el eje se toma como una recta real o con Pi como unidad de su métrica.
Digamos que tratamos a "i" sin meternos con él,sin desmontarlo. Que en ciertos pasos se anule no tiene entonces nada de sorprendente.

Saludos.

[No registrado]

Re: i^i (i elevado a i)

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