curiosidades sobre racionales e irracionales

[^Cuervo^]

La propiedad más importante que posee el cuerpo de los números reales és la del supremo. Dicha propiedad dice, que todo conjunto de números reales no vacío, tiene cota superior mínima. Esta propiedad és la única que diferencia al cuerpo de los números reales del de los racionales. Ambos son cuerpos ordenados, pero R és un cuerpo ordenado con una ordenación completa por cumplir dicha porpiedad, és más, puede demostrarse que todo cuerpo ordenado que cumple dicha propiedad és isomorfo a R, o dicho de otra forma, R és único.
A partir de esta propiedad, podemos demostrar las propiedades de las funciones reales continuas. Pero también cosas aparentemente más sencillas, como la propiedad arquimediana de los reales, que N no está acotado en R etc....
Una de las cosas que és posible demostrar, és que entre dos números reales cualesquiera, siempre podemos encontrar un racional y un irracional por lo menos. Esto equivale a decir si se fijan bién, que entre dos reales cualesquiera siempre hay infinitos números de ambas clases.
Ahora bién, por otra parte tenemos que Q és numerable pero R no lo és. Entonces el conjunto de los irracionales tampoco puede ser numerable, porque si lo fuera, como R=Q U I (I representa el conjunto de los irracionales) , R sería numerable por ser la unión de dos conjuntos numerables.
Y ahora hagan un esfuerzo de imaginación, porque por una parte, Q és numerable y I no. Y sin embargo entre dos números reales cualesquiera hay uno de cada.
No deja de ser curioso, no les parece?
Sirva como despedida decir, que entre algebraicos y trascendentes sucede exactamente lo mismo. Y recuerden los no numerables no son los algebraicos, sinó los otros!!
Venga, que me voy volando, que me pillan...

[Gustavo Piñeiro]

Re: curiosidades sobre racionales e irracionales

"Definir" un número (digamos un número irracional) es dar una frase, fórmula o cualquier otra expresión que lo caracterice completamente. Por ejemplo, "el límite de (1 + 1/n)^n cuando n tiene al infinito" define al número e, mientras que "el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro" define a Pi.

Dado que el lenguaje utiliza una cantidad finita de símbolos (todas las letras, los dígitos y los signos de puntuación) y que toda definición tiene una longitud finita, se puede demostrar que el conjunto de todas las definiciones posibles es numerable.

Dicho más fácil, sólo es posible definir una cantida numerable de números irracionales. Pero el conjunto de todos los irracionales es no numerable, por lo tanto tienen que existir números irracionales (de hecho, infinitos números irracionales) que no se pueden definir de ninguna manera. Aunque, por supuesto, es imposible mencionar ni siquiera un ejemplo (pues cualquier número que mencione quedará definido automáticamente por la frase que use para descibirlo).

Gustavo Piñeiro http://eltopologico.blogspot.com/