Bases de numeración y decimales periódicos

[^Cuervo^]

Les propongo la siguiente cuestión para que quienes no se la hayan planteado nunca, mediten un rato.
Como saben, cualquier número se puede expresar en cualquier base de numeración. La única diferencia entre bases distintas, és la cantidad de simbólos que usan para representar los números. Así la base 10 se denomina así porque utiliza diez dígitos para representarlos, a saber, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Si por el contrario trabajamos en base 2 solo disponemos de dos símbolos para poder representar las cantidades, es decir, 0 y 1. En el sistema hexagesimal, és decir en base 16, usamos 16 simbólos que son, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Un número que es irracional, lo es en cualquier base de numeración que escojamos, y lo mismo sucede con los numeros irracionales. Sin embargo, sucede que un número racional en una base puede ser un decimal exacto y en otra ser un decimal infinito periodico.
Porqué sucede eso?. Como harían para saber si un número racional dado será un decimal finito o infinito periódico en una base determinada?. Porqué en cualquier base, sea la que sea, siempre hay una cantidad infinita numerable de números periódicos?

[carroza]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

En vez de responder, vamos a completar el problema:

si tengo el número A/B, con A y B enteros primos entre sí, y represento el cociente en la base C,

1) Qué condicion debe cumplirse para que el número de decimales sea finito.

2) Si se cumple la condición 1, cuántos decimales tiene el cociente.

[^Cuervo^]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Para acabar de liar las cosas una pregunta más, si el decimal resulta que va a ser periódico en una base, como lo haremos para saber si es periódico puro o mixto y la cantidad de posiciones decimales del periódo en esa base?

[[Beto]]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Hola para responder a esta pregunta solo basta analizar cuales son las cifras generadoras de decimales en una determinada base por ejemplo en la mas conocida "la base 10" sabemos que si en una fraccion en el denominador hay nueves es un decimal perodico puro o si hay nueves y ceros será periódico mixto o en el caso en que haya multiplos de dos y de 5 será un decimal exacto.

Asi teniendo en cuenta esto solo bastará analizar estos casos en la base que se desee trabajar .

[carroza]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Hola para responder a esta pregunta solo basta analizar cuales son las cifras generadoras de decimales en una determinada base por ejemplo en la mas conocida "la base 10" sabemos que si en una fraccion en el denominador hay nueves es un decimal perodico puro o si hay nueves y ceros será periódico mixto o en el caso en que haya multiplos de dos y de 5 será un decimal exacto.

Asi teniendo en cuenta esto solo bastará analizar estos casos en la base que se desee trabajar .

El problema puede resolverse si ir base a base.

Bueno, tomemos A/B, expresado en la base C. A y B son primos entre si, y tomamos A<B (si no fuera asi, saldria una parte entera en el cociente, que podemos quitar).

1) Si B es un divisor de una potencia de C (pongamos $C^n$) entonces el cociente tiene exactamente n decimales.
Por ejemplo, 1/8=0.125 tiene tres decimales en base 10 porque 8 es divisor de 1000.

2) Si B no es divisor de ninguna potencia de C entonces el numero tiene infinitos decimales. Sera en general un numero periodico mixto.

3) Si B y C no tienen factores primos comunes, entonces el cociente A/B es periodico puro. Por ejemplo, 1/3=0.333333 es periodico puro en base 10, porque 3 y 10 no
tienen factores comunes.

4) Si B y C tienen factores primos comunes, entonces expresamos B=b*c, donde
b no tiene factores primos comunes con C, y c contiene los factores primos comunes con C. Entonces, c sera un divisor de una potencia de C ($C^n$). En ese caso, el cociente es mixto, tiene n cifras no periodicas y el resto periodicos.
Por ejemplo, 1/6=0.1666666.. tiene una cifra no periodica y el resto periodicas porque 6=2*3, 2 es divisor de $10^1$.

Lo que no se me ocurre a vuelapluma es cuántas cifras tiene el periodo. Si parece que
podemos considerar solo el caso en que B(denominador) y C(base) sean primos entre si.

[^Cuervo^]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Yo diría que hasta ahora vas muy bien, y para animarte te diré que lo que te falta en la respuesta no es trivial, hay que meditarlo un poco.
Como pista te diré que no depende del numerador sinó exclusivamente del denominador del número racional en cuestión.
Te dejo tiempo para pensarlo algo más....

[^Cuervo^]

Una pista....

Como pista te diré, que para todo número b que no sea par ni múltiplo de 5, exitirá algún natural n, tal que, b|(10^n-1). Hecho que puedes demostrar fácilmente con el teorema de Euler-Fermat pues si (b,10)=1 entonces 10^phi(b)=1 (mod b).
A partir de ahí, puedes encontrar fácilmente la forma de hallar la longitud del periodo de un decimal periodico, e incluso el periodo mismo.
Piensalo ....

[Marco Polo]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Estoy sorprendido e interesado en tu afirmación de que conocida la fracción, se pueda saber facilmente el número de cifras del periodo. Si se conoce dicho número, entiendo que el periodo se obtiene multiplicando el numerador por ((10^n)-1)/B, ya que A/B=A(10^n-1):B/(10^n-1), ya que cuando el denominador es Todo Nueves, entonces el numerador es el periodo.
Pero lo que no sé ni entiendo es que se pueda saber en qué número Todo Nueves, o Todo Unos, está contenido B, pues los factores primos de dichos números, según se aumenta n, van apareciendo de forma impredecible. Me gustaría conocer la respuesta.
Un saludo.

[^Cuervo^]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Sea a/b nuestra fracción decimal, con a<b, y no siendo b múltiplo de 2 ni de 5. Consideremos el menor natural n tal que b|(10^n-1). El teorema de Euler-Fermat nos indica que por lo menos existe un n natural que cumple dicha condición ya que si (b,10)=1 entonces 10^phi(b)-1=0 (mod b). Sin embargo, recuerdo que el que nos interesa es el menor natural n que cumple la condición, ya que phi(b) es un natural que la cumple pero puede no ser el menor.
Veamos un ejemplo de como proceder:
Consideremos por ejemplo la fracción 24/11. Como 24>11 hacemos la división entera y tenemos que 24/11=2+2/11.
Así la parte entera de nuestro número es 2, y la parte decimal nos la dará la fracción 2/11. Como el denominador de nuestra fracción es un primo diferente de 2 y 5, tenemos que el decimal será infinito periódico.
Que longitud tendrá el periodo?. El menor natural n que cumple que 11|(10^n-1) es 2 ya que 11|(10^2-1) osea 11|99.
Esto nos indica que el perido tiene longitud 2.
Como obtenemos el periodo?. Pues multiplicamos el numerador de 2/11 por el resultado de la división 99/11=9, entonces 2*9=18 con lo que tenemos que 24/11=2+2/11=2.18181818....
Veamos otro ejemplo algo más complicado :
Consideremos la fracción 37/35, como 37>35 hacemos la división entera y obtenemos 37/35=1+2/35.Así la parte entera es 2 y la decimal viene dada por la fracción 2/35. Observemos que 35=7*5, es decir hay un factor primo diferente de 2 y 5, por lo que el decimal será periódico, pero como el 5 también es factor será un periódico mixto y no puro como antes. Podemos poner que 2/35=2/5*1/7. Ahora tenemos que 1/7 representará un decimal periódico puro. Como el menor n tal que 7|(10^n-1) es 6 tenemos que el periodo tendrá 6 dígitos, y como 999999/7=142857 tenemos que 1/7=0.142857142857....... Ahora bien 2/35=2/5*1/7=4/10*1/7.Así pues multiplicamos 142857 por 4 y obtenemos
571428. Como tenemos que dividir por 10 tendremos que incorporar un 0 antes del periodo que será la parte decimal no periódica de nuestro número, por lo tanto tenemos que 37/35=1+2/35=1+(4/10*1/7)=1.0571428571428.....
De esta forma y por procedimientos análogos podemos obtener la longitud del periodo y el periodo mismo de cualquier decimal periódico dada su fracción generatriz.
Espero haberos aclarado algo el entuerto.

[Marco Polo]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Gracias por tomarte la molestia de tu muy completa exposición sobre este tema. Pero mi pregunta no la tengo por respondida. ¿Cómo se calcula n?. Es evidente que en el caso del número 11 la respuesta es sencilla. Pero dices sin más que para el número 7, n=6, lo que ya no es tan evidente. ¿De dónde sale que n=6?. La única forma que veo es descomponiendo en factores primos 99, 999, 9999, 99999, 999999 y comprobando a ojo que el primer número donde aparece el factor 7 es en el último número, que corresponde a n=6, pero no veo la forma de predecir o calcular que n valdrá seis. Si B es de la forma 7*13^3*37^2, el periodo tendrá cientos o miles de cifras, y habrá que descomponer en factores primos toda la sucesión de números Todo Nueves, hasta encontrar uno que contenga los factores primos citados (más otros no buscados), con sus respectivos exponentes. Es decir, que el único metodo, que no cálculo, es disponer de una larguísima tabla de números de la forma 10^n-1, descompuestos en sus factores primos, y buscar el menor número con los factores primos de B. ¿Me equivoco? Si existe otra forma me encantaría saberla.
Un saludo.

[Marco Polo]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

NOTA: Aplicando el pequeño teorema de Fermat se comprueba que 10^(7-1)-1 es múltiplo de 7, con lo que n=6, pero no hay garantía de que el siete no sea factor de otro número con n menor. En el presente caso se comprueba enseguida, pero imaginemos primos mayores, o productos de primos.
Saludos

[^Cuervo^]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

Bueno, pues, algo sí podré decirte sobre n. Veamos si d es nuestro denominador en cuya descomposición en factores primos, no aparecen ni el 2 ni el 5, entonces podemos asegurar que n|phi(d).
Porque veamos si n fuera el natural mínimo que cumpliera la condición 10^n=1 (mod d) y n no fuera un divisor de phi(d), entonces, por el algortimo de la división entera exisitirían dos enteros c i r con 1=<r<n tales que phi(d)=n*c+r, y tendriamos que 10^phi(b)=10^(n*c+r)=(10^n)^c*10^r=1 (mod d), pero como (10^n)^c=1^c=1 (mod d), tendría que ser 10^r=1 (mod d), lo que contradice que n era el menor natural que cumplía 10^n=1 (mod d) ya que 1=<r<n.
Luego ha de ser n|phi(d).

[No registrado]

Re: Bases de numeración y decimales periódicos

no yo me refiero a cuando tienes 1.5 y tengo que factoriza es decir asi como una t y sacar numeros primos