problema curioso

[alefriz]

Lei un problema que decia asi:

Hallar el conjunto de valores que debe adoptar $n$ en la siguiente ecuación para que el resultado de la misma sea un múltiplo de 13:
$2^n+3^n=K \cdot 13$ con $K \in \mathbb{N}$

[NuezMoscada]

Una solución al problema curioso

Después de tratarlo en el canal, es decir, que Radikal2_ lo pensara, queda lo siguiente:

Vamos a tratar 4 casos:

1. Supongamos que n=4m: Entonces

2^(4m)+3^(4m)=13k
16^m + 81^m = 13k
tomamos congruencias mod 13
3^m + 3^m = 0 (mod 13)
2*3^m=0 (mod 13)
imposible: Un producto de 2 y treses nunca puede ser multiplo de 13, porque 13 es primo
Por tanto n no puede tener forma 4m

2. Caso: n=4m+1

Se hace lo mismo y se llega a 5*3^m=0 (mod 13)
imposible

3. Caso: n=4m+2

Se llega a 13*3^m=0 (mod 13)
Siempre es cierto, por tanto para n=4m+2 siempre dara multiplo de 13

4. Último caso: n=4m+3

Da 9*3^m = 0 (mod 13)
imposible también

Vistos los 4 casos, concluimos que 2^n+3^n da múltiplo de 13 si y solo si n=4m+2

Por supuesto, si tu solución es diferente, sería muy interesante que la compartieras.

Un saludo,
NuezMoscada

[alefriz]

Re: Una solución al problema curioso

Después de tratarlo en el canal, es decir, que Radikal2_ lo pensara, queda lo siguiente:

Vamos a tratar 4 casos:

1. Supongamos que n=4m: Entonces

2^(4m)+3^(4m)=13k
16^m + 81^m = 13k
tomamos congruencias mod 13
3^m + 3^m = 0 (mod 13)
2*3^m=0 (mod 13)
imposible: Un producto de 2 y treses nunca puede ser multiplo de 13, porque 13 es primo
Por tanto n no puede tener forma 4m

2. Caso: n=4m+1

Se hace lo mismo y se llega a 5*3^m=0 (mod 13)
imposible

3. Caso: n=4m+2

Se llega a 13*3^m=0 (mod 13)
Siempre es cierto, por tanto para n=4m+2 siempre dara multiplo de 13

4. Último caso: n=4m+3

Da 9*3^m = 0 (mod 13)
imposible también

Vistos los 4 casos, concluimos que 2^n+3^n da múltiplo de 13 si y solo si n=4m+2

Por supuesto, si tu solución es diferente, sería muy interesante que la compartieras.

Un saludo,
NuezMoscada

En realidad yo habia llegado a otra solución (después de varios dias dandole vueltas) bastante parecida a la vuestra, pero sin desglosarla tanto y menos detallada:

Números $n$ de la forma: $n=4m-2$ con $m \in \mathbb{N}$

[NuezMoscada]

Re: problema curioso

Y serías tan amable de compartir tu demostración? Si has usado otro método sería interesante que aprendamos todos.
Un saludo,
NuezMoscada

[alefriz]

Re: problema curioso

Y serías tan amable de compartir tu demostración? Si has usado otro método sería interesante que aprendamos todos.
Un saludo,
NuezMoscada

Hola,
creo que hemos llegado al mismo resultado, yo cogiendo m desde 1 hasta infinito, y en tu solución m varia desde 0 a infinito.

Lo hice como tu, por congruencias.