Sumatoria de números con exponente X

[_FoX_]

Pues de hace mucho tiempo me pregunto por una fórmula que me permita calcular una sumatoria de números naturales hasta n y cada número elevado a un exponente Z.

$\sum_{i=1}^n x^Z = 1^Z + 2^Z + 3^Z..... + n^Z = ?$

¿Es posible?.

[[Beto]]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Si es posible pero considera a $z\in \mathbb{N}$, para darte una idea primero intenta hacer:

$1+2+3+...+n$

$1^2+2^2+3^2+...+n^2$

$1^3+2^3+3^2+...+n^3$

.
.
.

Luego que halles las formulas de recurrencia intentra probarla usando induccion matemática.

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

He llegado por diferentes métodos a la sumatoria con exp 1-2-3-4-5 y puedo seguir, pero para obtener la fórmula siguiente nesecito recurrir a todas las anteriores, y al poner un exponente incógnito no hayo forma, he buscado en internet y no aparece nada en inducción matemática sobre este problema, pero creo que debe existir dicha fórmula, aunque no se haya calculado aún.

EDITO: Tampoco he encontrado un patrón de secuencia lógico en cada una de las fórmulas para cada sumatoria.

[[Beto]]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Hola si existe un método aunque es algo "complicado" lo pongo entre comillas pues te resultaria complicado si es que aun estas aprendiendo sumatorias.

En el siguiente enlace te proporciono un manualito donde te lo explican detalladamente.

Polinomios y numero de Bernoulli

En todo caso la idea seria de que uses el desarrollo de binomio de Newton junto con la propiedad telescopica de las sumatorias para resolver ese problema.

Espero que te sirva.

Pd: Espero que si se pueda poner estos enlaces porque lo encontre en internet y creo que es de dominio publico y si no es asi que lo borren .

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Gracias, espero que me sirva el link, y claro, he usado el binomio de newton para calcular los coeficientes de las sumatorias anteriores que extraigo del triángulo de Pascal, es algo fundamental para este cálculo.

Ahora bien, he llegado por mi cuenta a la fórmula, pero el problema es que dentro de ella hay muchas mas sumatorias dentro, con todos los exponentes anteriores a Z en este caso, miraré el manual para darme una idea mejor.

EDITO: Ya he leído parte del manual, ¿Qué conocimientos previos necesito para entenderlo?

[[Beto]]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Hola, pues necesitarias comprender bastante bien el concepto de sumatorias, series y algun tema previo a estos quizas y algo de sucesiones tambien.

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Lo leo y no entiendo, además es demasiado largo (40 pags.) y no entiendo bien cual es la expresión equivalente a la sumatoria de q-ésimas potencias de los primeros n naturales, supongo que el texto entero logra demostrar el resultado de esta sumatoria, pero no logro seguirlo paso a paso.

Pd: No sé muy bien sumatorias, las fórmulas para cada exponente las logré con métodos geométricos y lógicos, espero que entendiendo bien las propiedades pueda lograrlo, también en el manual reiteradas veces veo combinatoria.

Muchas gracias por el apoyo =).

[[Beto]]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Al final más o menos tienes que llegar a lo siguiente:

Primero tienes que:

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n$

Después de desarrollar la expresion llegas a que:

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}.$

Como puedes observar los coeficientes de este polinomio son los números de Bernoulli y se definen de forma recursiva de la siguiente manera:

$B_0 = 1 \,$

$B_m= -\sum_{j=0}^{m-1}{m\choose{j}} {{B_j} \over {m+1-j}}$

Si no lo comprendes no te preocupes cuando tengas más conocimientos sobre los temas que te mencione se te hará más facil.

Saludos.

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente Z

Hola y saludos a todos los del foro!!!... me llamó mucha la atención el problema que propones. Soy Ingeniero civil de Venezuela, mi nombre es Manuel Céspedes y casualmente para el mes de junio del presente año 2008, estaré bautizando mi libro titulado: "Mi tratado de la sumatoria". Se trata justamente de una formula generica, sobre cualquier tipo de función de sumatoria, algo realmente complicado como todos ya suponen!!. Producto de (10)años de estudios de mi persona en el ramo de las sumatorias. Para empezar a responder tu pregunta, debemos comprender que las sumatorias se clasifican en 2 tipos fundamentales, las divergentes y las convergentes, entenderemos por divergente que cuando el limite superior de la sumatoria tiende a infinito, el resultado de la misma es infinito, mientras que las convergentes cuando el limite superior es infinito ella converge, esto es la suma de dicha función, a un numero fijo o finito: por ejemplo: la sumatoria siguiente evaluada en el intervalo : [1<=x<=+ infinito]

∑(1/x^2 )= [(pi)^2 / 6] (perdón por notación). Este resultado se demuestra por Fourier (Esto es matemáticas avanzadas, y estoy tan solo dando un ejemplo de lo que es una serie convergente, para que comiences a entender más adelante la respuesta a tu pregunta) Y tambien lo demuestro en mi libro por la mencionada formula de sumatoria generica, producto de la investigación que te mencione antes.


Ahora bien una serie o sumatoria divergente clásica, es:

∑x=x^2/2+x/2

y que siendo esta evaluada en [1<=x<=+ infinito], es fácil ver que tiende al infinito!!.

Ahora fijate en algo, las series o sucesiones o sumatorias, a su vez pueden ser constantes o suma de funciones,(esto es muy complicado mi amigo pero vale la pena que tomes nota al respecto) ¿que es una serie de funciones? como su nombre lo indica es una sumatoria que de acuerdo a la variable contenida en ella, puede generar muchas series más, de si misma, por ejemplo:

∑cos(n.x)/x^2, esta funcion es evaluada en el intervalo [1<=x<=+ infinito], y nosotros tenemos la libertad de sustituir en la variable (n), el valor que se nos ocurra!!!. por ejemplo si sustiyuyes el valor de n=0, obtendras la serie de Fourier que mencione al principio, Pero que Ocurre? si sustituyes n=2.(pi);n=4;n=-3.... ah?. La respuestas es que estas generando otra serie, a partir de una función a la que yo denomino generatriz de funciones de sumatoria!!!. Teniendo esto en cuenta y aclarado esto, queda pendiente la siguiente pregunta ¿Y que es una serie de constantes?, Esta es más facil de responder, Puesto que la suma de constantes no es más que la suma de los téminos (constantes) que la función generatriz de sumatoria, genera, (valga la redundancia del término genera). Si entendistes esto o te da una ligera idea de lo complicado del asunto, ahora podemos pasar a responder lo complicado de tu pregunta!!!!.


Para comenzar debes de definir que tu función de sumatoria, varía de acuerdo al valor Z que sustituyas en dicha variable, por lo tanto la fórmula que se requiere deberá satisfacer a modo de condición sin equanon, de que debe verficar casos particulares ya establecidos y demostrados a lo largo del los siglos... etcetc! que quier decir con esto que cuando, por ejemplo valga: Z=k, se debe verificar que se cumple la igualdad:

(Se supone que estarás evaluando para el intervalo positivo de (i), es decir:
[1<=i<=+ infinito] )

Para cuando z=0 tendremos:

∑i ^z= ∑1=infinito

Por lo tanto, tendremos, para z=1:

∑i ^z =∑i= i^2/2+i/2=infinito

Cuando z=2:

∑i ^z =∑i ^2=i^3/3+i^2/2+i/6=infinito
.
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Y así sucecivamente, que pasa ahora? bueno que hemos definido que para Z, su intervalo de evaluación es el conjunto de los numéros naturales, y por medio de este debemos verificar los resultados anteriores, y todos los que vos querais!!!!, Pero resulta que tu pregunta es mucho más compleja de lo que parece, y creo que yo la he respondido en mi libro!!!, La respuesta generica de sumatorias del tipo polinomicas como el que tu planteas, para el intervalo ya señalado, tanto para i, como para z, es:

∑i ^z=∫i^z.di + (r1).i^z + (r2).(primera derivada de i^z)+(r3).(segunda derivada de i^z)+...


Los coeficientes r1,r2,r3,..r(n), se obtienen por matrices!!! Y creeme el trabajo de investigación es fascinante!!! debido a que obtienes respuestas a problemas complicadisimos, en donde la indución matemática no tiene respuesta apropiada, y donde lamentablemete la misma no sirve!!!!. Para tomar un ejemplo clásico y con esto concluyo. Fijate en esta sumatoria, evaluada en el intervalo que se menciona siempre:

∑(1/ i)

Fijate bien esta sumatoria es divergente(Tienes que estudiar los metodos que te permiten, saber si es o no una serie ya divergente ya convergente.) Leonhard Euler, demuestra que dicha serie vale:

∑1/i=Ln(i)+y; ¿Puede tu por induccion matemática demostrar eso?, de donde y (o constante de euler), vale y=0,572... que por cierto aprovecho el foro para consultar si sabe alguien ¿si se ha demostrado que la constante de Euler es racional o irracional? esto es pues, una pregunta que quien la conteste se hace famoso!!!. yo por lo menos sin demostrarlo claro esta!!! digo que es irracional!!!

El metodo ó formula que propongo, producto de las invetigaciones, obviamente llega al mismo resultado!!!


Chao! y espero que les sea a todos, y especialmente a ti lo explicado!!!

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Muchas gracias por la explicación, pero veo que esa solucion va por un camino algo complicado que no logré entender con presición.

Yo tratando antes de ayer de llegar a una ecuación que determinara el valor de la sumatoria en función de n y Z llegue a una ecuación que creo que sirve, pero es bastante grande. Dentro de ella coloqué una sumatoria relacionada al binomio de newton más una sumatoria de sumatorias.

Tengo bastante suerte de que retomé este desafío (tras un año de cuando lo planteé) hace un par de días y justo hoy me encuentro con esta muy buena respuesta.

Me gustaría comunicarme por MSN o correo electrónico para ir aclarando algunas dudas que me vengan apareciendo.

Lamentablemente voy aún en secundaria, por lo que mis conocimientos acerca de derivadas e integrales son pocos.

Gracias.

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente Z

Hola _Fox te saluda tu amigo Ing. Manuel Céspedes de Venezuela, y en primera instancia te diré que admiro tu constancia y dedicación sobre el asunto!!! un bravo para ti!!!(sigue así y llegaras muy lejos), te prometo que en estos días que tenga tiempo suficiente, te daré la formula de la sumatoria divergente en el plano, con su respectivo guía de ejercicios(para que comprendas como funciona)!!, pero ojo debes saber derivar e integrar (algo que no es muy dificil, para funciones polinómicas, te facilitaré ambas fórmulas, que son sencillas), Lo que si te puedo adelantar previo a explicarte para que vayas tomando notas!!! es que debemos entender que las integrales se entienden éstas geometricamente hablando como áreas debajo de la curva de una función f(x), cualquiera!!! siempre y cuando esta función f(x), sea evaluable en el intervalo cerrado [a,b] y dicha función f(x), debe ser continua. (Todos los términos, como continuo o continua, investigalos, así como intervalo cerrado),para que vayas tomando notas sobre el asunto. Entre tanto las derivadas se entienden geométricamente como la pendiente de la curva, o función f(x), en un punto arbitrario (P), y (P) deberá ser un punto continuo tanto en la función f(x), como la derivada que se genera de esta!!!.



Un ejemplo rápido de todo lo anterior, lo expone la mecánica racional, o Física la cual en sus postulados fundamentales, de cinemática del punto material asevera que:

"La derivada de la (o del vector (r) trayectoria en cada una de sus componentes)trayectoria de un punto en el (plano o en el espacio) respecto al tiempo, es la velocidad"

En consecuencia podemos escribir así:

dr/dt=V

Esto trae de inmediato como consecuencia que, el área debajo de la curva de la función velocidad (V), es la trayectoria o puesto en simbolos:

∫dr=∫V.dt


Un ejemplo rapidisimo de lo antes comentado es. Un objeto parte con velocidad V=g.t, de donde g es el factor gravedad, y t es el tiempo, y se pide que se halle la ecuación de la trayectoria de dicho punto sabiendo que parte del origen de coordenadas(esto es t=0), hallar pues dicha ecuación.

La respuesta es fácil a ésta pregunta si usas las formulas anteriores de inmediato observarás que, la respuesta debe ser:

r=g.(t^2)/2. !!!(debido a la integral)

Algo que ya supongo que sabes como respuesta.

bueno bueno dos comentarios antes de despedirme, y pedirte paciencia y que averigues lo que te pedí así como el hallar los conceptos de derivada e integrales de una manera más formal...

1)Te dije que la formula que te explicaria es la formula de la sumatoria divergente en el plano, ¿Por que la del plano?... fácil Porque mi amigo en mi investigación demuestro que existe una en el espacio n-dimensiones, o multidimensional o con multiples variables independientes .(Y esto es un poco más complicado) tanto así que concluyo que lo que se cumple en el espacio multiple (como casos particulares) se debe y tiene que reflejarse (o cumplirse la leyes ya conocidas por inducción matemática)en el plano, una generalización espléndida!!!

2)Notarás de inmediato que digo formula .... divergente!!! es decir solo funciona para funciones divergentes, como te la voy a explicar!!! porque la fomula sufre una transformación para funciones convergentes!!! (Como lo explique en el mensaje anterior) y eso no te lo voy a explicar debido a tu pregunta!!!, pero estoy muy seguro de que estaras satisfecho!!!!. Y una última acotación!!! necesariamente tienes que saber derivar e integrar, pues, te confieso que es la forma más elegante y señorial para dar respuesta matemáticamente a tu "inocente" pregunta!!! , pero que detrás de tu inocente pregunta se esconde un maravilloso secreto que Gracias a Dios!!! me ha sido revelado!!! al menos tu has esperado 1 año, muchos meses y algunos días mientras escribo mis lineas para explicarte, pero yo he esperado más de 10 años!!! jajajajaja!!! por esa respuesta!!!!

Saludos, cuidate...Y espera un poco más!!!

PD:

Si es muy largo el paquete que te escribo (en word o archivo *.rtf que lo abre el Word u otras aplicaciones) te escribire por este mismo foro mi correo electrónico!!!
chaooouu!!!

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente Z

De: Ing. Nórdison Céspedes.
Hola y saludos _Fox, la ecuación de la sumatoria que te comenté en el plano, para las funciones poli nómicas, es producto de las investigaciones:

∑_(i=1)^n▒i^Z =Ro.∫ i^Z .di + R1.( i^Z) + R2.d(i^Z)/di + R3.d^2(i^Z)/di^2 +
R4.d^3(i^Z)/di^3 + R5.d^4(i^Z)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^Z)/di^(n-1).

Otra forma de notación que simplifica notablemente esta ecuación sería:
∑_(i=1)^n▒i^Z = Ro.∫ i^Z .di + ∑_(j=0)^(j=n)▒〖d(i^Z)^j/di^j〗.∑_(i=1)^(i=n)▒〖R(i)〗

De donde los factores R(i), es decir R(0), R(1),R(2), R(3)….R(n).Son factores constantes, (A los que denomino en el trabajo de investigación Factores de corrección). Estos factores se obtendrán como te había escrito antes por medio de un sistema matricial, de modo que al obtener los valores de cada uno de ellos daremos por respuesta, que para un determinado valor de (Z) de la función i^z, debemos como condición sine qua non obtener la misma respuesta que por inducción matemática se demuestra u obtiene de casos muy conocidos como lo es, a modo de ejemplo!!:
Si z=0, entonces:
∑_(i=1)^n▒i^0 =∑_(i=1)^n▒1=n

Si z=1, entonces:
∑_(i=1)^n▒i^1 =(i^2)/2+i/2


Si z=2, entonces:
∑_(i=1)^n▒i^2 =(i^3)/3+(i^2)/2+i/6

Para tu comprensión, y para los del Foro!! Explicaré estos dos últimos casos, con la formula general antes escrita. Esto te dará la herramienta más poderosa, de lo que creías, porque podrás resolver gracias a la metodología Standard que te he de explicar, podrás resolver muchos casos más….
Pero antes necesitamos considerar algo, para poder entender los conceptos aunque simples, en los que se basa mi fórmula llegando a establecer que toda sumatoria, o toda función de sumatoria no es más que área (Es decir ese cuantía númerica o quantum, producto del resultado cuando te pones a sumar término a término, no es otra cosa que área).
Bueno mi amigo _Fox, ya entramos en materia si!!!!

Primer concepto: La integral de toda función polinómica ( i^z) vale:

∫▒〖i^z.di=(i^(z+1))/(z+1)〗
De donde Z pertenece al conjunto de los número reales, y siendo válida la fórmula para toda la recta real, a excepción de que cuando Z=(-1), (Como te lo explique antes), se tendría el caso particular demostrado por Leonhard Euler (Se pronuncia Oiler), la siguiente formula:
∫▒〖i^(-1).di=∫▒1/i〗.di=Ln(i)
Esta formula es crucial en el mundo del cálculo infinitesimal, y gracias a uno de los seres humanos mas brillantes en matemáticas, Euler autor de 75 libros de matemáticas!!! Demostró de manera exhaustiva , rigurosa y con racionalidad única, de que es cierta dicha fórmula!!! Para el caso particular de z=-1.!!!!

Segundo concepto: La derivada de la función polinómica (i^z) vale:
d(i^z )/di=z.i^(z-1)
De manera que cuando se te pida la segunda derivada de (i^z), tendremos:
(d^2(i^z ))/(di^2)=z.(z-1).i^(z-2)
Si se te pidiera la tercera derivada de la función (i^z), vale:
(d^3(i^z ))/(di^3)=z.(z-1).(z-2).i^(z-3)
Y así en lo sucesivo!!! Creo que ya captas la idea de este concepto “simple”, (Pero te recomiendo que consultes obra especializada de Cálculo infinitesimal)
Bien, aclarado estos conceptos demos pie a explicar la formula genérica, no sin antes recordar que por inducción matemática (es bueno que busques la información) se demuestra que si es válida una sucesión numérica o suma para ( k+1) términos, será pues esta válida para (k) términos. Esto te va a simplificar la vida, para entender lo que voy a explicar de los factores de reducción (R) que contiene la fórmula, y como estos se obtienen!!. Para ello nada mejor, que verifiquemos lo que sigue:
Veamos:
Si la formula de Nórdison es cierta, debemos de tener en cuenta que para obtener los factores constantes deben obtenerse así, para un determinado valor de (z):
∑_(i=1)^n▒i^Z =1^z= Ro.∫ i^Z .di + R1.( i^Z) + R2.d(i^Z)/di + R3.d^2(i^Z)/di^2 +R4.d^3(i^Z)/di^3 + R5.d^4(i^Z)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^Z)/di^(n-1)
Fíjate que se va a formar una ecuación, debido a que la integral, la función y las respectivas derivadas la evaluaremos cuando i=1, esto es en el miembro derecho, por lo que arrojará un valor funcional de i^z=1^z, en el miembro izquierdo, correcto!!!, espero que me sigas. (Esta es la explicación general, lo veras mucho más claro en los casos particulares)
Ahora bien cuando i=2, vamos a obtener debido a un valor (z), lo que sigue:
∑_(i=1)^n▒i^Z =1^z +2^z= Ro.∫ i^Z .di + R1.( i^Z) + R2.d(i^Z)/di + R3.d^2(i^Z)/di^2 +R4.d^3(i^Z)/di^3 + R5.d^4(i^Z)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^Z)/di^(n-1)
Otro sistema de ecuación.
De tal forma que cuando i=3 tendremos:
∑_(i=1)^n▒i^Z =1^z +2^z+3^z= Ro.∫ i^Z .di + R1.( i^Z) + R2.d(i^Z)/di + R3.d^2(i^Z)/di^2 +R4.d^3(i^Z)/di^3 + R5.d^4(i^Z)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^Z)/di^(n-1)
Y así en lo sucesivo…. De Manera que nace la pregunta:
¿Es decir que formaremos tantas ecuaciones, como factores de reducción tengamos?. La respuesta es afirmativa .Cuando nos referiremos a valores de (z) que pertenezcan a los números naturales (N). Y estas son funciones polinómicas!!. Por lo que el símbolo de igualdad (entre el miembro derecho e izquierdo) en la fórmula genérica que te estoy enseñando, resulta cierto!!!.
Ahora nace otra pregunta!!! Jajaa! ¿Y cuando no resulta 100% exacta la formula? Mi mejor respuesta es que te lo demostraré con ejemplos prácticos, sin embargo te adelanto que la precisión es tan cercana al valor exacto que no hay formula en el planeta Tierra que mejor modele el problema tan complicado como el que te preguntaste hace ya más de un año, y al que te estoy respondiendo!!!. Bien todo esto es un marco teórico, pasemos ya a la Práctica:

Demostrar por medio de la formula general de la sumatoria divergente, que es cierta la igualdad:
∑_(i=1)^n▒i^1 =(i^2)/2+i/2
Bien como te darás cuenta el valor de (z)=1; Por lo que la formula general vale:
∑_(i=1)^n▒i^1 = Ro.∫ i^1 .di + R1.( i^1) + R2.d(i^1)/di+ R3.d^2(i^1)/di^2 +R4.d^3(i^1)/di^3 + R5.d^4(i^1)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^1)/di^(n-1)

Si entendiste el concepto de derivada (espero que así sea), te darás cuenta de inmediato que la segunda derivada de la función (i), respecto a (i), claro está!!!! Es nulo o cero, debido a las formulas que te facilite antes, es decir:
Primera derivada de la función (i), si aplicas la formula ya explicada más arriba obtendrías el valor de (z), que para este caso vale la unidad o (1), cuando derivas una constante, debes de saber en adelante el siguiente teorema matemático: “La derivada de una constante, su resultado es cero, ó nulo”. Por lo que La Ecuación genérica se transforma Para el caso particular en estudio, (que te servirá para iniciarte en obtener los factores constantes (R).) será:
∑_(i=1)^n▒i^1 = Ro.∫ i^1 .di + R1.( i^1) + R2.d(i^1)/di

De manera que:
∑_(i=1)^n▒i^1 = Ro.((i^2)/2) + R1.( i) + R2.(1)
¿Cómo formamos el sistema de ecuaciones?
Fácil así:
Cuando i=1, tendremos:
∑_(i=1)^n▒i^1 =1= Ro.((1^2)/2) + R1.( 1) + R2.(1)
Primer sistema de ecuación.
Cuando i=2, tendremos:
∑_(i=1)^n▒i^1 =1+2= Ro.((2^2)/2) + R1.( 2) + R2.(1)
Segundo sistema de ecuaciones.
Como son tres los factores de reducción, entonces debemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, es decir un sistema 3x3!!. De manera que nos falta la última ecuación!!!.
Cuando i=3, tendremos:
∑_(i=1)^n▒i^1 =1+2+3= Ro.((3^2)/2) + R1.( 3) + R2.(1)
Tercer y definitivo sistema de ecuación.
Así pues debemos resolver, el sistema matricial que sigue:
1= Ro.(0,5) + R1.( 1) + R2.(1)
3= Ro.(2) + R1.( 2) + R2.(1)
6= Ro.(4,5) + R1.( 3) + R2.(1)
Este sistema como los que formaremos más adelante, lo puedes resolver por el sistema de Kramer, Gauss-Jordan, en fín todo lo que se refiera a matrices, de sistemas JxJ.
Una última observación la fórmula asevera que sí se cumple para los primero números de la función de sumatoria, esto es i=1, i=2, i=3…etc, etc, la formula resultará válida para todo el conjunto de los números enteros (i). Es Por ello que te exhorto a estudiar el principio de inducción matemática que afirma que en una sucesión numérica o suma para ( k+1) términos, será pues esta válida para (k) términos.
Los resultados de la matriz anterior son, (como se cabe esperar) R0=1, R1=1/2, y R2=0. Por lo que se confirma y demuestra que:
∑_(i=1)^n▒i^1 =(i^2)/2+i/2
Como comentario adicional, a la resolución que acabas de leer, el Factor R0, Cuando se trata de Funciones polinómicas como las que estamos trabajando(como demostración) siempre vale la unidad. Pero existen otras funciones donde no necesariamente tiene que valer la unidad. Y te recuerdo una vez más la fórmula es válida solo para funciones divergentes!!!! Ojo con eso.
Bien seguimos adelante, resolviendo otro ejercicio:
Demuéstrese mediante la formula general de la sumatoria de funciones divergentes que:
∑_(i=1)^n▒i^2 =(i^3)/3+(i^2)/2+i/6
Una vez más anotamos la susodicha ecuación:

∑_(i=1)^n▒i^Z =Ro.∫ i^Z .di + R1.( i^Z) + R2.d(i^Z)/di + R3.d^2(i^Z)/di^2 +
R4.d^3(i^Z)/di^3 + R5.d^4(i^Z)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^Z)/di^(n-1).
Y observaremos de inmediato que la tercera derivada de la función (i^2), vale cero, debido a la explicación anterior, por lo que formaremos ahora un sistema de 4 ecuaciones con sus respectivos 4 factores de reducción (R), por lo que manos a la obra!!!:
El procedimiento te dije que es Stándar, esto quiere decir que aplicado a una función el sistema se repite!! . Lo que lo convierte en una Ley numérica que rige ese concepto que llamamos suma!!! De allí la razón del libro y de todas las investigaciones Heurísticas que se realizaron, no solo en el plano sino también en el espacio n-dimensiones!!!(comentaré, solo eso comentar, más adelante!!!)
Bien eso quiere decir que podemos escribir, que:
∑_(i=1)^n▒i^2 = Ro.∫ i^2 .di + R1.( i^2) + R2.d(i^2)/di + R3.d^2(i^2)/di^2 +
R4.d^3(i^2)/di^3.
De manera que para determinar los factores de reducción se tendrá:
Cuando i=1, se tiene:
∑_(i=1)^n▒i^2 =1^2=1= Ro(1^3/3)+ R1.( 1^2) + R2.(2.(1)) +R3.(2)
Primera ecuación

Cuando i=2, se tendrá:
∑_(i=1)^n▒i^2 =1^2+2^2=5= Ro(2^3/3) + R1.( 2^2) + R2.(2.(2)) +R3.(2)
Segunda ecuación.
Cuando i=3, se tendrá:
∑_(i=1)^n▒i^2 =1^2+2^2+3^3=14= Ro(3^3/3)+ R1.( 3^2) + R2.(2.(3)) +R3.(2)
Tercera ecuación.
Cuando i=4, se tendrá:
∑_(i=1)^n▒i^2 =1^2+2^2+3^3+4^2=30= Ro(4^3/3) + R1.( 4^2) + R2.(2.(4)) +R3.(2)
Última ecuación.
Esto formará nuestro sistema matricial 4x4, como se explicó antes, debido a la presencia de 4 factores (R). Nuestro sistema matricial será:
1= Ro(0,3333…).+ R1.( 1) + R2.(2.) +R3.(2)
5= Ro(2,666666…)+ R1.( 4) + R2.(4) +R3.(2)
14= Ro(9) + R1.( 9) + R2.(6) +R3.(2)
30= Ro(21,333333…) + R1.( 16) + R2.(8) +R3.(2)
Y resolviendo el sistema matricial hallamos!!! (como era de esperase, para demostrar la igualdad ya conocida):
Ro=1 (como antes se había comentado), R1=1/2, R2=1/12; y R3=0
Y así se confirma que ciertamente, es válida la expresión:
∑_(i=1)^n▒i^2 =(i^3)/3+(i^2)/2+i/6



Después de haber demostrado, los dos ejercicios precedentes ahora te invito a un reto, quisiera que buscaras en toda internet o en algún libro de matemáticas de este planeta jajajajaajaj!!!! El ejercicio que a continuación, voy a explicar en este Foro, y que lo voy a compartir especialmente contigo _Fox, para que veas que la pregunta que te hiciste va mucho más allá de lo que imaginaste siquiera una vez!!!!. Bien atención con el siguiente ejercicio.!!!
Determinar una fórmula (aunque sea aproximativa) de la función de sumatoria (i^π),(el simbolo es pi=3,1415...) en el intervalo[1,∞).¿ Te estas dando cuenta de la monstruosidad que acabo de preguntar?, ¿Podrá alguien con su sapiencia, responder de forma coherente con simplemente inducción matemática esta pregunta?. Dos respuestas!!!
A la primera interrogante Ruego a Dios que te estés dando cuenta _Fox, y todos en el foro en general, de la magnitud de la pregunta. Y en cuanto a la segunda, solo responderé que la inducción matemática tiene una importancia tremenda, al igual que reducción al absurdo!, pero la matemática es mucho más compleja, para dar respuesta a complejidades muy grandes como las que se plantean en este foro, como para que por simple inducción matemática, respondamos a esto, en pocas palabras NOOOO!!! En definitivo.
La respuesta ya existe, es la formula que acabo de enseñar, me gustaría que lo hicieras solo, es decir que la aplicaras. Pero en este momento considero que el Autor del libro “Mi tratado de la sumatoria”, es el que debe explicar esto!!!, es decir yo mismo!!! Jajaja!!! No es fácil, Pero ahí vamos. Empecemos a resolver este enigma!!!
Como ya todos deben comprender a esta altura del partido, siempre habíamos hablado de que( Z), debía ser un número natural (N), esto era con la finalidad de demostrar las formulas que la inducción matemática nos ofrece, y que ya acabamos de demostrar!! Pero que ocurre s i (Z) es un número Real cualquiera!!!! Ufffff!!! Nada fácil!!!! Lo primero que debemos verificar es que la función debe ser divergente, para aplicar la fórmula, de lo contrario no se puede (Y no voy a explicar la transformación (cuando es convergente ) que sufre dicha ecuación, porque para eso escribo el libro aquí!!!, y no es la idea!!!), que pasa si (Z)=-2, como lo explique antes se demuestra por serie de Fourier, y con la Formula general de la Sumatoria, que esta igualdad vale, para el intervalo [1,∞), lo que sigue:
∑_(i=1)^(i=∞)▒1/(i^2)=(π^2)/6
De manera que vale la pena revisar que valor de (Z), sustituimos en la ecuación genérica de suma, que ya explique. Con la finalidad de saber si ese valor de (Z), transforma la serie en divergente o en convergente!!!!. Para el caso que vamos a analizar, la serie en estudio sigue siendo Divergente, por lo que la formula la podemos, aplicar con confianza, de manera que comencemos pues.
Hallar una formula aproximativa para:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗=¿?

Para dar inicio a resolver el problema, escribamos la ecuación general ya conocida:
∑_(i=1)^n▒i^Z =Ro.∫ i^Z .di + R1.( i^Z) + R2.d(i^Z)/di + R3.d^2(i^Z)/di^2 +
R4.d^3(i^Z)/di^3 + R5.d^4(i^Z)/di^4 +…+R(n-1).d^(n-1) (i^Z)/di^(n-1).
Bien de inmediato nos preguntamos, ¿Cuantos factores de reducción hacen falta, para obtener una buena precisión?. Como podemos ver aquí comienzan nuestras dificultades, pero con un poco de razonamiento podemos inferir ulteriormente cuantos pueden ser!!!
Bien las fórmulas tanto de derivadas, como de la integral siguen siendo válidas, por lo que debemos sin más aplicarla, ahora nos corresponde en la fórmula de derivación hallar hasta que punto el exponente es positivo, debido a que, como se sabe lo siguiente:
lim┬(i→∞)⁡〖1/i=0〗
Es decir que cuando i tiende al infinito, la ecuación anterior tiende a cero: Por lo tanto debemos hallar, en el proceso de derivación en que punto se cumple la igualdad anterior, y para ello planteamos!!.
Primera derivada de i^π:
π .i^(π-1)
Todavía el exponente es positivo dado que (π-1) >0.
Segunda derivada de i^π:
π.(π-1).i^(π-2)
Notaremos que todavía el exponente es positivo, dado que (π-2) >0
Tercera derivada de i^π:
π.(π-1). (π-2).i^(π-3)
Bien en este caso estamos llegando a un punto crítico si bien el exponente todavía es positivo, es decir vale, 0,1415926… casi raya el cero, esto quiere decir que la cuarta derivada de la función no nos sirve de mucho, ya que al ser negativo el exponente, se cumple que:
lim┬(i→∞)⁡〖1/i=0〗
Y siendo la cuarta derivada de i^π:
π.(π-1). (π-2). (π-3).i^(π-4)
siendo (π-4) < 0.
De manera que se establece que con un sistema 5x5, debemos dar respuesta satisfactoria, a la exigencia del problema!!. (Espero que no se hayan perdido en las explicaciones!!)
Una vez hallado la respuesta de el número de factores de reducción a obtener, entonces podemos escribir:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗≅ Ro.∫ i^π .di + R1.( i^π) + R2.d(i^π)/di + R3.d^2(i^π)/di^2 +
R4.d^3(i^π)/di^3
(Nótese el símbolo de aproximadamente igual, entre miembro izquierdo y derecho ) y alguien puede preguntarse ¿¿¿Por qué dicho símbolo ≅???, La respuesta nace de otra pregunta, ¿Acaso se determinó todas y cada una de las derivadas de la función i^π?(Verdad que NOOO!!). Debemos tener presente que la derivada particular de esta función (así como de muchas otras funciones), no tiene fin, o son infinitas!!!, lo que quiere decir que para el caso de funciones con una (Z) que pertenezcan a los números naturales, si se pueden hallar todas sus derivadas, hasta hacerse nula la misma!! Como ya se presentó en los casos de demostración y esto es lo que justifica el símbolo (=)!!! Al símbolo (≅). Espero que hallan visto la justificación matemática de los símbolos antes mencionados!!!.
Prosigamos en el arduo caminar que nos depara!!!. Bien formemos nuestro sistema de ecuaciones:
Cuando i=1, debemos obtener:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗=1^π=1≅ Ro(1^(π+1)/(π+1)) + R1.( 1^π) + R2. π .1^(π-1)
+ R3. π.(π-1).1^(π-2)+R4. π.(π-1). (π-2).1^(π-3)
Primera ecuación
Cuando i=2, debemos obtener:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗=1^π+2^π=9,82497≅ Ro(2^(π+1)/(π+1)) + R1.( 2^π) + R2. π .2^(π-1)+ R3. π.(π-1).2^(π-2)+R4. π.(π-1). (π-2).2^(π-3)
Segunda ecuación
Cuando i=3, debemos obtener:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗=1^π+2^π+3^π=41,36925≅ Ro(3^(π+1)/(π+1)) + R1.( 3^π) + R2. π .3^(π-1)+ R3. π.(π-1).3^(π-2)+R4. π.(π-1). (π-2).3^(π-3)
Tercera ecuación




Cuando i=4, debemos obtener:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗=1^π+2^π+3^π+4^π=119,249492≅ Ro(4^(π+1)/(π+1)) + R1.( 4^π) + R2. π .4^(π-1)+ R3. π.(π-1).4^(π-2)+R4. π.(π-1). (π-2).4^(π-3)
Cuarta ecuación.
(Estan cansados!!! Ajaja! Estamos cerca!!)
Cuando i=5, debemos obtener:
∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗=1^π+2^π+3^π+4^π+5^π=276,242037≅ Ro(5^(π+1)/(π+1)) + R1.( 5^π) + R2. π .5^(π-1)+ R3. π.(π-1).5^(π-2)+R4. π.(π-1). (π-2).5^(π-3)
Última ecuación gracias a Dios!!! Verdad que si?
Bien ahora formamos nuestro sistema matricial 5x5 así:
1=0,241453Ro+R1+3,1415R2+6,728R3+7,68064R4
9,82497=4,26163Ro +8,82497R1+13,8622R2+14,84363R3+8,47269R4
41,36925=22,84938Ro+31,54428R1+33,03309R2+23,5811R3+8,97335R4
119,249492=75,21766Ro+77,8802R1+61,1669R2+32,7486R3+9,3464R4
276,24203=189,53161Ro+156,99254R1+98,64132R2+42,2499R3+9,646436R4
Ahora obtendremos los valores de cada factor (R):
Ro=1, R1=0,5, R2=0,083425,R3=-2,05870e-04, Y R4=-2,76736e-04
Por lo que sustituyendo estos valores en la ecuación general de la sumatoria tendremos que decir que:

∑_(i=1)^(i=∞)▒〖i^π〗≅i^(π+1)/(π+1)+i^π/2+0,26208.i^(π-1)-0,001385.i^(π-2)-0,002125.i^(π-3)
¡¡¡Comprobándose que la aproximación es extraordinaria!!!
Concluida la explicación anterior, con la respectiva demostración desafiante que te hice_Fox, de hallar en los textos de matemáticas o en internet, algo semejante a lo que acabamos de demostrar!!! (Debes de sentirte pletórico, al tener esta clase de demostración universal en este foro, pues no todos los días son domingo!!!jajajajaja!!!, un poco de humor no esta de más verdad??)
Una de las pruebas de fuego que el trabajo de investigación se tuvo que enfrentar, fue el de demostrar, mediante la igualdad de la formula general de sumatoria divergente (en el plano), fue la de demostrar la igualdad de Euler, e insisto nuevamente en que esto no es materia sencilla!!! Ni cursi!!! Esto es matemáticas de envergadura!!!, Fijate que en una sola aplicación hemos manejado todos los elementos del Cálculo avanzado, derivadas, integrales, sistema matricial, suma, resta, multiplicación, en fin todo en una sola formula!!! Increíble verdad!!!.
Es como si toda la matemática se concentrara en una sola ecuación!!! (Y eso que no explico la del espacio n-dimensiones, es realmente espectacular!!! Ni las aplicaciones y consecuencias de nuevas propuestas e interpretaciones), Pero te dije que solo lo comentaría, pues bien fíjate en los siguientes ejemplos que propongo para que te des una ligera idea de lo complicado en el espacio n-dimensional.
Suponte la siguiente función sencilla, en el espacio 3d o tres dimensiones:
Z=∑▒〖x.y〗. De donde x e y son variables independientes, y cada una tiene su intervalo de evaluación propio de su intervalo, pero simplifiquemos el ejercicio proponiendo que los intervalos de evaluación son iguales, [1, ∞) (por ejemplo). Ahora bien fíjate en la siguiente pregunta ¿Existirá una igualdad general en el miembro derecho tal que satisfaga cualquier caso particular de evaluación?. Y la respuesta es afirmativa, tanto así que se demuestra que son casos particulares los ya demostrados al inicio de esta exposición, consolidándose la igualdad suprema en el espacio n-dimensiones, por ejemplo si x=y, debemos obtener la igualdad ya demostrada, es decir:
∑_(i=1)^∞▒i^2 =(i^3)/3+(i^2)/2+i/6

¿Que pasa cuando y=x?, debemos obtener la respuesta anterior, y así ocurre!!!. ¿Que pasa cuando y=x+1? debemos obtener como respuesta en el espacio múltiple, la respuesta esperada en el plano es decir:
∑_(i=1)^∞▒〖i^2+i〗
Y es precisamente la igualdad que se obtiene en el trabajo de investigación, producto de 10 años, de dura prueba con funciones simples, complejas y hasta extraordinarias!!!
Fíjate tu tan importantes es la sumatoria como concepto en todas las áreas de las matemáticas que mi definición favorita, después de tanto investigar, porque no existe bibliografía que se dedique exclusivamente a esto (salvo la mía, por lo que se)!!! Fue definir la suma como sigue.
¿Que es al suma?
“No es más que la raíz de todas la matemáticas” Ing. Nórdison Céspedes.
Espero que hayas encontrado la raíz de la solución a tu problema, y anhelo que te sea de utilidad todas la explicaciones simplificadas que te he dado, cuídate y mucha suerte!!! Todavía hay muchas cosas que investigar creeme (en la vida me refiero), y la ciencia todavía no ha concluido!!! Ni siquiera Abert Einstein, con todas sus ecuaciones, que ciertamente han cambiado al mundo, y la comprensión que se tenía de éste, pudo concluir su obra, y todavía en ciertas áreas hay incongruencias, que son aparentemente respondidas por la mecánica cuántica, o mecánica estadística propuesta por Plank. Y en el plano matemático te comento, que está esa parte de las matemáticas denominadas, la matematica del caos o caótica que estudia los fenómenos aleatorios, y no se tiene respuesta todavía a muchos fenomenos!!!, Por ejemplo hay unas funciones de sumatoria que son las que se denominan estocásticas o funciones aleatorias, donde solo aproximaciones limitadas para ciertos intervalos de evaluación son válidos. Eso también lo toco en el trabajo de investigación… En pocas palabras concluiré, con el viejo adagio japonés:
“ El conocimiento es infinito, y el mejor maestro para dominarlo es el tiempo, lástima que no hay discípulo que sobreviva a las exigencias de tan arduo maestro.”

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Woooooooow!!, cuando termine de leerlo te comento

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Pues de hace mucho tiempo me pregunto por una fórmula que me permita calcular una sumatoria de números naturales hasta n y cada número elevado a un exponente Z.

$\sum_{i=1}^n x^Z = 1^Z + 2^Z + 3^Z..... + n^Z = ?$

¿Es posible?.

Hola, soy nuevo aquí. No soy el ingeniero venezolano, soy español (estamos en la final) y me gustaría comentar que yo me encontré en la misma situación, quería calcular esa fórmula y hallé una forma sin emplear binomios y que, bajo mi punto de vista, creo que es más sencillo.

$$F(n) = \displaystyle \sum_{i=1}^n n^z$$
$$f(n) = n^z$$
$Si $\displaystyle \sum_{i=1}^n f(n) = F(n)$ ; entonces $F(n) = F(n-1) + f(n)$$

$$F(n)$$ será una función polinómica de un grado mayor que $$f(n)$$
$$F(n) = a_{z+1}n^{z+1}+a_{z}n^z+a_{z-1}n^{z-1}+...+ a_{1}n + a_{0}$$
Y $$F(n-1)$$ es la misma función pero sustituyendo $$n$$ por $$(n-1)$$
Sólo falta despejar los coeficientes.

Pongamos un ejemplo.
Si $$f(n) = n^3$$ , entonces la suma será un polinomio de esta forma
$$F(n) = a_{4}n^4 + a_{3}n^3 + a_{2}n^2 + a_{1}n + a_{0}$$
Y $$F(n-1) = a_{4}(n-1)^4 + a_{3}(n-1)^3 + a_{2}(n-1)^2 + a_{1}(n-1) + a_{0}$$
Operando sale (los coeficientes ahora los llamo a, b, c, d, y e para facilitar cálculos)
$$F(n-1) = a(n^4-4n^3+6n^2-4n+1)+b(n^3-3n^2+3n-1)+c(n^2-2n+1)+d(n-1)+e$$
Que también es
$$F(n-1) = n^4(a)+n^3(b-4a)+n^2(c-3b+6a)+n(d-2c+3b-4a)+e-d+c-b+a$$

Luego
$$F(n) = F(n-1) + f(n)$$
$$n^4(a)+n^3(b)+n^2(c)+n(d)+(e)=$$
$$=n^4(a)+n^3(b-4a)+n^2(c-3b+6a)+n(d-2c+3b-4a)+(e-d+c-b+a)+n^3$$
$$n^4(a)+n^3(b)+n^2(c)+n(d)+(e)=$$
$$=n^4(a)+n^3(b-4a+1)+n^2(c-3b+6a)+n(d-2c+3b-4a)+(e-d+c-b+a)$$

Y los coeficientes se despejan
$$a=a$$
$$b=b-4a+1 \Rightarrow a = \displaystyle \frac{1}{4}$$
$$c=c-3b+6a \Rightarrow b = \displaystyle \frac{1}{2}$$
$$d=d-2c+3b-4a \Rightarrow c = \displaystyle \frac{1}{4}$$
$$e=e-d+c-b+a \Rightarrow d = 0$$
$$F(n=0) = 0 \Rightarrow e = 0$$

Por fin se obtiene la fórmula
$$\displaystyle \sum_{i=1}^n n^3 = \displaystyle \frac{ n^4}{4}+\frac{ n^3}{2}+\frac{ n^2}{4}$$

De esta manera se puede hallar el sumatorio para cualquier $$z\in \mathbb{N}$$ ,y también serviría para cualquier polinomio!!

Espero que te sirva de ayuda Fox.

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

que significan los coeficientes?