Sumatoria de números con exponente X

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Ya leí la parte de conocimiento previo, lo único que no entendí bien fueron las funciones hiperbólicas que es algo que no he estudiado antes. Bueno seguiré leyendo...

[No registrado]

Saludos_Fox_ de Ing.Nórdison

Hola!!! Saludos _Fox_ las funciones hiperbólicas son funciones claves en el proceso de integracion indefinida, su conocimiento es vital si queremos expandir nuestros horizontes matemáticos, a parte de que estas se relacionan con el numero de Euler (e=2,71728...), de alli su importancia!!!

Si practicas los ejercicios que se enseñan en el curso, con el espiritu de APRENDER. Te sorprenderás de lo fácil que resultará en un futuro no muy lejano de los conceptos que he expuesto sobre la formula de la sumatoria...

Cualquier duda, problema de interes, o alguna que otra inquietud... no dudes en escribirme...

Todavía sigo investigando, sobre el comportaminto de funciones periodicas, como ya lo he comentado antes...

Saludos...

[No registrado]

Re: Sumatoria de números con exponente X

upsss!!! me equivoque... número de euler (e=2,7182818284590452353602874713527....)
Saludos de Ing.Nórdison

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

no entendí algo, cómo llegamos de:

-sen(x).Lím [1- cos(∆x)]/ ∆x + cos(x).Lím [sen(∆x)/ ∆x]

a los teoremas fundamentales del cálculo

de antemano gracias...

[No registrado]

Re: 2 teoremas fundamentales de limites

Hola _FOX_ te saluda Ing.Nordison, y si ya veo que estas leeyendo la parte del curso de Formulas de derivadas principales, en ese apartado se demuestra por medio del concepto de limites la derivada del seno y del coseno (trigonométrico), debido a que ya conoces la contraparte del seno y coseno (hiperbólico)... una aplicación rapidito para que veas la importancia de las funciones hiperbólicas en el campo de la física o mecánica racional, es en el uso de estas funciones hiperbólicas en el cáculo de longitudes de cables, por ejemplo el cable supendido entre dos torres de transmision electrica (pueden ser tambien postes) describe de manera matemática perfecta una curva a la cual se le conoce como CATENARIA esta curva se puede graficar gracias a la funcion hiperbólica del coseno(hiperbólico), tambien en muchos puentes colgantes, la longitud de los cables se cálcula gracias a estas funciones...

Pero bien volviendo a tu pregunta

-sen(x).Lím [1- cos(∆x)]/ ∆x + cos(x).Lím [sen(∆x)/ ∆x]

cuando ∆x tiende a cero

se cumple para:

Lím [1- cos(∆x)]/ ∆x =0

y cuando ∆x tiende a cero

se cumple para:

Lím [sen(∆x)/ ∆x]=1

Estas igualdades son trascendentes debido a que nos permiten demostrar la formula de que:

La derivada del seno (trigonométrico) es el coseno (trigonométrico)

Y:

La derivada del coseno (trigonométrico) es el -seno(trigonometrico)

Por la trascendencia de estas igualdades es que dichos límites son FUNDAMENTALES.

Si quieres una demostracion "Facil" de estos dos límites, debes desde ya empezar a escudriñar la regla de L'Hospital, la cual establece que para funciones del tipo (0/0) o (∞/∞)

Dicha regla es válida, vamos a demostrartelo:

La regla de L'Hospital (se pronuncia Lai Juspital) establece que para hallar el limite de funciones del tipo (0/0) o (∞/∞), es decir:

Lim hacia un numero tal que (f(x)/g(x)) =(0/0) o (∞/∞), entonces dicho limite converge hacia

(derivada de f(x) respecto a (x)/ derivada de g(x) respecto a x)

En el caso de la funcion sen(x)/x en el límite cuando x tiende a cero notamos inmediatamente
que la funcion tiende a la forma (0/0), esto quiere decir que podemos aplicar L'Hospital...

así tendremos que si f(x)=seno(x) y g(x)=x, ya debemos conocer que la derivada del seno(trigonométrico) es el coseno(trigonometrico), es decir f '(x)= coseno(x)...

Y ya debemos saber que g '(x)=1 (o la derivada de la funcion (x), respecto a (x) es uno)

Así segun L'Hospital Lim (cuando x tiende a cero) de (sen(x)/x)= Lim(f '(x) /g '(x)) = cos(0)=1

Antes de aventurarte a estudia derivadas, dedicale un tiempo al estudio de los límites, fijate bien que no es lo mismo decir en el limte cuando x tiende a un numero, que decir cuando x es IGUAL A UN DETERMINADO NUMERO...Algunos ejemplos:

1)Determinar el límite de la siguiente funcion trivial:

Lim (cuando x tiende a 2) de (x^2 + x - 6)/(x-2)

Fijate que a simple vista pareciera que es imposible que dicho limite exista, debido a que cuando x es exactamente igual a dos (2) el denominador de la funcion se hace nulo, con lo que nos cruza inmediatamente por nuestros cerebros de que todo numero real dividido entre cero no esta definida su division!!!! ¿Pero acaso se pidio evaluar dicha función en x=2?...

La respuesta es no!!, lo que se nos indica es determinar que ocurre en la frontera de 2, o en otras palabras en el limite cuando tiende a 2... Veamos:

Si tomamos una calculadora y evaluamos cuando x=1,9; notamos que converge a 4,9, y si extendemos la frontera hasta llegar a 1,9999999999.... claramente tiende a 4,999999.... es decir tiende a 5.

Si estudiamos matemáticamente la funcion (x^2 + x - 6)/(x-2), se nos ocurre es el de FACTORIZAR su numerador por lo que tendremos que admitir:

(x^2 + x - 6)= (x+3).(x-2), entonces comenzamos a notar que en efecto matemáticamente podemos demostrar, una vez simplificado que:

Lim (cuando x tiende a 2)(x^2 + x - 6)/(x-2)=Limite (cuando x tiende a 2) (x+3)= 5

Y esa es la respuesta...

Ya debes de memorizarte el hecho FUNDAMENTAL de que las derivadas son producto de la ecuación de los limites, que ya has debido de dar lectura en el curso!!!...

Vamos a demostrar con la siguiente aplicación, la utilidad de dicha formula:

1.1)Hallar la ecuacion de las pendientes de las rectas tangentes a la curva y= x^2

La ecuacion de los limites establece que:

F’(x) = Lím ( F(x + h) – F(x) ) / h
h→ 0

De manera que sustituyendo nuestra funcion F(x)=y=x^2, establecemos:


F’(x) =(dy/dx)= Lím ( (x + h)^2 – (x)^2 ) / h
h→ 0

Desarrollando términos:

(x + h)^2= x^2+2*x*h+h^2

Colocando esto en el denominador tendremos:

F’(x) =(dy/dx)= Lím ( x^2+2*x*h+h^2 – (x)^2 ) / h
h→ 0

Y simplificando términos obtenemos:

Lím ( x^2+2*x*h+h^2 – (x)^2 ) / h =Lím ( +2*x*h+h^2 ) / h
h→ 0 h→ 0

y simplificando:

Lím ( +2*x + h ) = (+2*x=dyd/x)... y esta es la respuesta
h→ 0

Otra consideración que se debe tener muy presente cuando se estudia limite, es que una funcion puede tener lo que se conoce como limite en la izquierda y limite en la derecha, entre tanto existen funciones cuyo limite tanto izquierdo como derecho (de la recta real) converge hacia un solo punto, esto lo menciono porque en el estudio de los limites no es igual, por ejemplo:

Decir Lim (cuando x tiende a -0) o decir Lim (cuando x tiende a +0), porque la funcion pueda que tenga dos limites distintos, esto es lo que explique anteriormente en las llamadas condiciones de Dirichlet, en donde establece limite a la izquierda de la función y limite en la derecha de la función en estudio....

Un caso interesante de una función cuyos limites derecho e izquierdo convergen a una misma cuantia numerica es la funcion sen(x)/x nótese que cuando x tiende a -0, dicha funcion tiende a la unidad, y cuando x tiende a +0, de igual forma tiende a la unidad positiva como en el limite anterior, esto nos ayuda a definir en el caso de la derivada del seno(x) que en toda la recta real su derivada en efecto es el coseno(x), igual ocurre con la derivada de la función y =x^2, y con la funcion coseno y muchisimas otras funciones, pero esto es un hecho importante que hay que tener en cuenta...


Con todas estas consideraciones, que debemos de tener presente, demos pie ahora en resolver, la siguiente aplicación gracias al estudio de los limites:

1.2) Hallar la ecuacion de las rectas pendientes de la función trigonométrica de la
tangente(x) o Tan(x).

Bien cualquiera en este punto puede hacer uso de la regla del cociente de las derivadas, pero en nuestro caso nos iremos por el derrotero dificil de la ecuación FUNDAMENTAL:

F’(x) = Lím ( F(x + h) – F(x) ) / h
h→ 0

Esto lo haremos para beneficio del foro, y de los interesados en el curso de calculo infinitesimal, que se muestra en la página http://usuarios.lycos.es/nordison/
siendo su autor mi persona claro!! jeje...

Bien pongamos en práctica el conocimiento previo que a bien debemos de disponer!!!...

Ya debemos de saber que Tan(x)=Sen(x)/Cos(x), tambien debemos de tener en cuenta las identidades:

Sen( x + y) = Sen(x).Cos(y) + Sen(y).Cos(x) .

Cos(x + y) = Cos(x). Cos(y) – Sen(x). Sen(y) .

En cuanto a materia de límites debemos saber lo que sigue:

Lim (cuando h tiende a +cero) Sen(h)= h

entre tanto:

Lim (cuando h tiende a +cero o -cero) Cos(h)= 1

Tambien debemos de saber que:

Lim (cuando h tiende a +cero o -cero) (h) ^n= 0... siempre y cuando n sea mayor o igual a 2, esto se conoce como infinitésimos de orden superior, y su cuantía numérica vale cero.

Con estos conocimientos podemos ahora comenzar a dar pasos firmes en la solución que se nos exige gracias a la ecuacion de limites FUNDAMENTAL, así tendremos.


F’(x) = Lím ( F(x + h) – F(x) ) / h =(dy/dx) = Lím ( Tan(x + h) – Tan(x) ) / h
h→ 0 h→ 0

Lo incomodo de la expresión es Tan(x + h), pero esta la simplificaremos haciendo uso identidades, a ver:

Tan(x+h)=Sen(x+h)/Cos(x+h), no olvidemos que h tiende a cero...

Ya sabemos las identidades del seno y coseno respectivas antes escritas, así que:

Sen( x + h) = Sen(x).Cos(h) + Sen(h).Cos(x)

Como sabemos que h tiende a cero, hacemos uso de las igualdades de limites ya expuestas:
asi si simplificamos nos queda:

Sen( x + h) =Sen(x)+ h.Cos(x)

Y en cuanto a la otra funcion tenemos:

Cos(x + h) = Cos(x). Cos(h) – Sen(x). Sen(h)

Como h tiende a cero, simplificamos admiteindo:

Cos(x + h) = Cos(x)– h.Sen(x)

De manera que si sustituimos en Tan(x+h), obtendremos la igualdad:

Tan(x+h)=[Sen(x)+ h.Cos(x)]/[Cos(x)– h.Sen(x)]

(Compruebese con una calculadora en el modo radianes esta expresión de la tan(x+h) y coloquese a h muy pequeño, por ejemplo h=0,01 o h=0,002, y observese la sensibilidad numerica)

Con esta expresion ahora podemos escribir:

Lím ( Tan(x + h) – Tan(x) ) / h =Lím ([Sen(x)+ h.Cos(x)]/[Cos(x)– h.Sen(x)] – Tan(x) ) / h
h→ 0 h→ 0

Si simplificamos y hacemos las operaciones algebraicas de rigor debemos obtener:

[sen(x)+h*cos(x)-tan(x)*cos(x)+h*sen(x)*tan(x)]/[h*cos(x)-(h^2)*sen(x)]

Ahora hacemos valer el limite de los infinitesimales de orden superior, por lo que simplificando una vez más, se obtiene:

[h*cos(x)+h*sen(x)*tan(x)]/[h*cos(x)], por lo que sustituyendo y admitiendo que:

Lím [h*cos(x)+h*sen(x)*tan(x)]/[h*cos(x)] = 1+ [tan(x)]^2 =(dy/dx)=[Sec(x)]^2
h→ 0
y esta es la respuesta en definitiva para el limite positivo o limite de la dercha de la recta real...

La pregunta ahora es crucial ¿será la misma ecuación de derivada para el eje positivo que el negativo o el limite izquierdo? veamos:

Lo primero que debemos es establecer ahora la ecuación fundamental para el eje negativo como se escribe:


F’(x) = Lím ( F(x + h) – F(x) ) / h
h→ -0

Los procedimientos anteriores son identicos, excepto por la igualdad fundamental de limite que sigue, el resto se mantiene:

Lim (cuando h tiende a -cero) Sen(h)= -h

Esto nos lleva a la iguladad que sigue cuando h tiende a -cero:

Tan(x+h)=[Sen(x)-h*Cos(x)]/[Cos(x)+h*Sen(x)]

(Una vez más verifiquese esta igualdad con calculadora en modo radianes,
y colocando h=-0,01 o h=-0,002 y observese la sensibildad numérica)

Comprobado ello, admitiremos que se cumple, despues de simplificar, lo que sigue:

Lím [-h*cos(x)-h*sen(x)*tan(x)]/[h*cos(x)] = 1+ [tan(x)]^2 =(dy/dx)=[Sec(x)]^2
h→ -0

Entonces ahora podemos concluir que los limites tanto en la izquierda como en la derecha, son identicas, por lo que sin más podemos concluir que en efecto la ecuacion de las pendientes de la curva Tan(x) es la [Sec(x)]^2... ¡¡¡Como era de esperarse!!!

Esta demostración que hemos llevado a cabo sintetiza dos cosas, el primero el poder de los límites como concepto expresado en la ecuación fundamental de la pendiente de una función cualquiera, por medio de:

F’(x) = Lím ( F(x + h) – F(x) ) / h
h→ 0

Y segundo que si quisieramos asignar un concepto de ¿Que es el Cálculo?, Podemos sin menoscabo de duda decir que es el estudio de los limtes. Esta es la definición moderna y mas aceptada por los estudiosos de la materia...

De manera que mi querido _Fox_ estudia un poquito limites para entender más y mejor las formulas de derivación genéricas que se enseñan en el curso.

Saludos, y espeo que sea de provecho las explicaciones escritas...

No dudes en escribir para aclarar algún que otro concepto de lo que se denomina Cálculo inifinesimal....

[Jordiel]

Re: Sumatoria de números con exponente X

[FONT=Verdana]$\sum_{i=1}^n x^Z = 1^Z + 2^Z + 3^Z..... + n^Z = ?$[/FONT]

[FONT=Verdana]¿Es posible?.[/FONT]

Creo que tengo una solución:

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[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Creo que tengo una solución:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Se ve bonita esa solución, pero.. ¿qué es m y qué es a?. Averígualo

[Jordiel]

Re: Sumatoria de números con exponente X

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$=a_{k+1}\cdot n^{n+1}(m=0)+ a_{k}\cdot n^{n}(m=1)+ a_{k-1}\cdot n^{n-1}+ a_{k-2}\cdot n^{n-2}+\cdot\cdot\cdot$
$\cdot\cdot\cdot +a_3\cdot n^3+a_2\cdot n^2(m=k-1)+a_1\cdot n^1(m=k)$

El valor m me ayuda a indicar los exponentes de n con sus respectivos coeficientes a, que se distiguen con subíndices.
Y luego tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es cierto que la fórmula es un “poco” aparatosa pero parece que funciona!!! Lo he comprobado con las sumas de potencias hasta exponente 6.

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Se debería expresar en funcion de x y de n, xD

[Jordiel]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Se debería expresar en funcion de x y de n, xD

Pues la $k$ la cambiamos por $x$

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Pues la $k$ la cambiamos por $x$

Pero hay una m y una a, son muchas letras!!, siendo que el resultado de la sumatoria depende exclusivamente de n y de x, y en mi fórmula solo aparecen esas 2 letras.

[Jordiel]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Necesito tantas letras porque la fórmula simplifica lo siguiente:

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.
.
.
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[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Aja, que bien, me daré un tiempito para entenderla con más detalle.

¿Esa fórmula tambien es de Bernoulli?

[Jordiel]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Creo que no.

[_FoX_]

Re: Sumatoria de números con exponente X

Creo que no.

Yo creo que sí, en vez de $a_k$ era $B_m$. La colocó neofebo en la primera página de este topic.

Gracias a lo que pusiste ahora entiendo .