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[FONT=Verdana]Tranqui troncotroncas, que no me propongo exponer aquí la bella y utilísima teoría gaussiana de las congruencias numéricas. Sólo voy a recordar algunas de sus ideas básicas con vistas a la resolución del subsiguiente problema.
Tomemos un número natural cualquiera, digamos el 4, y veamos los residuos que quedan cuando dividimos por ese número los sucesivos enteros:
0 = 0*4 + 0
1 = 0*4 + 1
2 = 0*4 + 2
3 = 0*4 + 3
4 = 1*4 + 0
5 = 1*4 + 1
6 = 1*4 + 2
7 = 1*4 + 3
8 = 2*4 + 0
9 = 2*4 + 1
. . . . . . . . .
Llama enseguida la atención la periodicidad limitada del proceso: el resto es siempre uno de los cuatro naturales 0, 1, 2, 3, los cuales se repiten una y otra vez hasta el infinito.
Pues bien, decimos que a y b son congruentes módulo 4, y escribimos a = b mod 4, si dejan el mismo resto al ser divididos por 4. O sea que, por lo que hemos visto,
1 = 5 = 9 = … = 25 = … mod 4,
ya que todos esos infinitos números dejan el mismo resto 1 al ser divididos entre 4.
En general, y dicho de otra forma, se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo m, con m entero >1, si existe un entero p tal que a - b = p*m.
Por ejemplo,
5 y 9 son congruentes mod 4 porque 5 – 9 = -1*4
3, 15, 27… son congruentes mod 12 porque 27 – 15 = 12, 27 – 3 = 24 = 2*12
y así sucesivamente.
Por otro lado, resulta sencillo probar que las congruencias con respecto a un mismo módulo pueden sumarse, restarse y multiplicarse. Es decir, que si
a = b mod m y a’ = b’ mod m, entonces
a + a’ = b + b’ mod m
a – a’ = b – b’ mod m
a*a’ = b*b’ mod m
Problema
Un número entero cualquiera es divisible entre 11 si la suma de sus dígitos con signos + y – alternados es múltiplo de 11.
Así, 16577 y 4093826 son ambos divisibles entre 11 debido a que
1 – 6 + 5 -7 + 7 = 0 y 4 – 0 + 9 - 3 + 8 – 2 + 6 = 22,
y tanto 0 como 22 son divisibles entre, o múltiplos de, 11.
Explíquese el porqué de esta regla aritmética y hállese la regla de la divisibilidad de un entero entre 7.
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Tomemos un número natural cualquiera, digamos el 4, y veamos los residuos que quedan cuando dividimos por ese número los sucesivos enteros:
0 = 0*4 + 0
1 = 0*4 + 1
2 = 0*4 + 2
3 = 0*4 + 3
4 = 1*4 + 0
5 = 1*4 + 1
6 = 1*4 + 2
7 = 1*4 + 3
8 = 2*4 + 0
9 = 2*4 + 1
. . . . . . . . .
Llama enseguida la atención la periodicidad limitada del proceso: el resto es siempre uno de los cuatro naturales 0, 1, 2, 3, los cuales se repiten una y otra vez hasta el infinito.
Pues bien, decimos que a y b son congruentes módulo 4, y escribimos a = b mod 4, si dejan el mismo resto al ser divididos por 4. O sea que, por lo que hemos visto,
1 = 5 = 9 = … = 25 = … mod 4,
ya que todos esos infinitos números dejan el mismo resto 1 al ser divididos entre 4.
En general, y dicho de otra forma, se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo m, con m entero >1, si existe un entero p tal que a - b = p*m.
Por ejemplo,
5 y 9 son congruentes mod 4 porque 5 – 9 = -1*4
3, 15, 27… son congruentes mod 12 porque 27 – 15 = 12, 27 – 3 = 24 = 2*12
y así sucesivamente.
Por otro lado, resulta sencillo probar que las congruencias con respecto a un mismo módulo pueden sumarse, restarse y multiplicarse. Es decir, que si
a = b mod m y a’ = b’ mod m, entonces
a + a’ = b + b’ mod m
a – a’ = b – b’ mod m
a*a’ = b*b’ mod m
Problema
Un número entero cualquiera es divisible entre 11 si la suma de sus dígitos con signos + y – alternados es múltiplo de 11.
Así, 16577 y 4093826 son ambos divisibles entre 11 debido a que
1 – 6 + 5 -7 + 7 = 0 y 4 – 0 + 9 - 3 + 8 – 2 + 6 = 22,
y tanto 0 como 22 son divisibles entre, o múltiplos de, 11.
Explíquese el porqué de esta regla aritmética y hállese la regla de la divisibilidad de un entero entre 7.
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, pero tener que factorizar el polinomio es muy pesado y no siempre te da resultado. 
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