Acertijo modular

[Lemuel]

[FONT=Verdana]Según la llamada congruencia de Fermat, siendo p primo y n no divisible por p,

n^(p-1) = 1 mod p

(Demuéstrese.)

Teniendo en cuenta esto, además de todo lo (poco) dicho aquí mismo sobre congruencias gaussianas, pruébese en un pispás que

1111^2222 + 2222^1111

es múltiplo de, o divisible por, 7.[/FONT]

[Lemuel]

El Acertijo modular, destripado

[FONT=Verdana]En vista de que nadie, ni siquiera Juanma, se decide a entrar al toro, que es un becerro, veamos la solución del acertijo modular.


Módulo 7, tenemos

10 = 3, 100 = 9 = 2, 1000 = 3*2 = 6 = -1,

con lo que

1111 = 1000 + 100 + 10 + 1 = -1 + 2 + 3 + 1 = 5

2222 = 2*5 = 10 = 3

Por tanto, la expresión dada equivale a

5^2222 + 3^1111,

lo cual supone ya una muy notable simplificación. Pero es que, además, según la congruencia de Fermat,

5^6 = 3^6 = 1,

con lo que podemos seguir simplificando habida cuenta de que, módulo 6,

2222 = 2 y 1111 = 1

Llegamos en resumen a la siguiente cada vez más inofensiva secuencia:

1111^2222 + 2222^1111 = 5^2222 + 3^1111 = 5^2 + 3

= 28 = 0 mód 7. QED.
[/FONT]