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a proposito de e^pi

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  • a proposito de e^pi

    a propósito de e^pi (e elevado a pi)
    ¿qué es mayor e^(pi) o pi^(e)?

    no se permite calculadora.
    ánimo.

  • #2
    Re: a proposito de e^pi

    Escrito por No Registrado Ver mensaje
    a propósito de e^pi (e elevado a pi)
    ¿qué es mayor e^(pi) o pi^(e)?

    no se permite calculadora.
    ánimo.

    La función logaritmo es monótona creciente y positiva para valores mayores que 1.
    puesto que y
    se mantiene la desigualdad tomando logaritmos



    La función logaritmo en base a es menor que 1 para los valores de x entre 1 y a
    luego puesto que
    Si



    donde
    Por otra parte

    Puesto que
    la primera serie permanece por encima de la segunda en todos los términos
    salvo en el primero
    si se cumple y creo que con los dos primeros términos de la serie ya sale

    para
    resultaría que

    Supongo que habrá una forma más elegante, si le parece bién
    me la cuenta... un saludo.

    Comentario


    • #3
      Re: a proposito de e^pi

      Escrito por No Registrado Ver mensaje
      a propósito de e^pi (e elevado a pi)
      ¿qué es mayor e^(pi) o pi^(e)?

      no se permite calculadora.
      ánimo.
      Consideremos las funciones f(x)=ln(x) y Ra(x)=a*x con a > 0, para x > 0

      Puesto que Ra(x) > f(x) para x suficientemente grande, sin importar lo pequeño que sea a (mientras sea no nulo), dependiendo del parámetro a, Ra(x) puede cortar la curva de f(x) en dos puntos, ser tangente, o no cortarla (el caso de 1 corte se daría para a = 0).

      Para obtener la pendiente de la recta tangente, observamos que el punto de tangencia pertenecerá tanto a la recta como a la curva f(x), por lo que será de la forma (x, ln(x)), y para una recta que pasa por el origen, la pendiente será la ordenada de cualquier otro punto de la recta dividida por la abscisa de ese mismo punto, i.e. ln(x)/x. Por otra parte, en el punto de tangencia, la curva f(x) tendrá una pendiente igual a su derivada f'(x)=1/x.

      De aquí ln(x)/x=1/x, ln(x)=1, x=e. Por lo que el punto será (e,ln(e))=(e,1) y la pendiente 1/e. Sea g(x)=x/e.

      Ahora bien, ya que g(x) >= f(x), con la igualdad sólo para x=e, tenemos, para x /= e

      x/e > ln(x)

      Como, en particular, pi /= e, será cierto que

      pi/e > ln(pi)

      Multiplicando a ambos lados por e,

      pi > e*ln(pi)

      Y, finalmente, aprovechando que la función exponencial es monótona creciente,

      e^pi > pi^e

      Comentario


      • #4
        Re: a proposito de e^pi

        Sin utilizar logaritmos...

        (Update: Solución corregida)

        Consideremos la función . Si desarrollamos en serie de Taylor esta exponencial, teniendo en cuenta que , queda:


        Y podemos ver claramente que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , i.e. , elevando ambos lados a , que preserva el orden, queda , y en particular como , resulta
        Última edición por mrwhite; 01/10/2007, 01:44:36. Motivo: Corregir la solución

        Comentario


        • #5
          Re: a proposito de e^pi

          Y ya, sólo por completar...

          Para el caso , podemos sumar cada término de exponente impar (a partir del cúbico) con el que le precede de exponente par, en general, si es impar,



          (la última igualdad, aprovechando que es impar)

          Ahora bien, es un número entre 0 y 1, por lo que

          Por lo que, dicha suma es positiva.

          Y se puede concluir que ,
          Última edición por mrwhite; 01/10/2007, 13:54:18. Motivo: Completar el "paso mágico"

          Comentario


          • #6
            Re: a proposito de e^pi

            Nota, en este post denota el logaritmo neperiano de x.

            Supongamos que . Si tomamos logaritmos en ambos miembros, obtenemos





            Definamos a continuación la función . Observe que para al menos, según la hipótesis de partida, .

            . Si buscamos los extremos relativos de , obtenemos



            Sustituimos este valor en la segunda derivada de



            luego se trata de un máximo relativo de la función. Veamos cuánto vale la función en este máximo:

            luego el máximo valor que toma la función es 0:

            pero esto contradice nuestra hipótesis de partida, luego por reducción al absurdo, hemos demostrado que



            También se ha tenido en cuenta la posibilidad de que , que a la vista de la primera derivada no es cierto (caso contrario, ésta sería nula).
            Última edición por Metaleer; 25/10/2009, 17:37:18.

            Comentario

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