Tweet
[FONT=Verdana]Algunos de los acertijos lógicos smullyanos están estrechamente emparentados con los célebres teoremas del genial lógico matemático checo Kurt Gödel. Circunstancia que aprovecho para traer ciertos viejos argumentos al respecto. Porque, si no es razonable esperar que fuéramos capaces de probar esos difíciles teoremas, sí lo es en cambio que estemos al corriente de los correspondientes enunciados. O sea, que dispongamos al menos de algo así como un “Gödel portátil” y ad usum delphini.
He aquí, pues, dichos en breve, los rudimentos del tema.
En su fundamental trabajo de 1931 sobre los monumentales Principia mathematica de Russell/Whitehead, Gödel demostró dos cosas principales:
1 Que la consistencia [=coherencia entre los elementos de un conjunto] de un sistema aritmético que incluya la lógica usual y la teoría de números no puede ser demostrada si se limita uno a conceptos y métodos que puedan ser representables formalmente en el sistema de la teoría de números. Es decir, que no es posible presentar una prueba metamatemática de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como para contener toda la aritmética, a menos que se empleen reglas de deducción que difieran esencialmente de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema.
Lo cual no es más que consecuencia o corolario del hecho de que
2 La potencia del método axiomático es esencialmente limitada o incompleta.
Este segundo resultado es el más sorprendente y se conoce como Teorema de Incompletud. Afirma que, si una teoría formal axiomatizable que incluya la aritmética es consistente, entonces tal teoría es incompleta. ("¡Nadie es perfecto!", como le decía aquel a Jack Lemmon.)
Dicho de otro modo:
Existe una afirmación S tal que ni S ni no-S son teoremas de la teoría T. Sin embargo, o bien S o bien no-S es verdadera. Tenemos, por tanto, una afirmación verdadera no demostrable en esa teoría.
ACERTIJO ILUSTRATIVO DE ESTE TEOREMA
Nos hallamos en la Isla de los Caballeros, que solo dicen la verdad, y de los borbones, digo Bribones, que solo mienten, los muy bellacos, cada vez que hablan. Como caído del cielo, y cual si fuese un Lemuel Gulliver cualquiera, en la Isla aterriza un cierto Lógico Exacto, así llamado porque todo aquello que puede probar es verdadero, es decir, porque nunca prueba nada falso.
Pues bien, al poco de ir deambulando de aquí para allá por la isla, nuestro Lógico Exacto se topa con un isleño llamado míster X (nada que ver con Felipe Gozález Márquez) que le plantea una afirmación de la que resulta: 1) que X es un Caballero, y 2) que el Lógico nunca podrá probar que lo es. (Reléase el párrafo que aparece en negritas más arriba.)
¿Qué afirmación emitió el isleño X?
[/FONT]
He aquí, pues, dichos en breve, los rudimentos del tema.
En su fundamental trabajo de 1931 sobre los monumentales Principia mathematica de Russell/Whitehead, Gödel demostró dos cosas principales:
1 Que la consistencia [=coherencia entre los elementos de un conjunto] de un sistema aritmético que incluya la lógica usual y la teoría de números no puede ser demostrada si se limita uno a conceptos y métodos que puedan ser representables formalmente en el sistema de la teoría de números. Es decir, que no es posible presentar una prueba metamatemática de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como para contener toda la aritmética, a menos que se empleen reglas de deducción que difieran esencialmente de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema.
Lo cual no es más que consecuencia o corolario del hecho de que
2 La potencia del método axiomático es esencialmente limitada o incompleta.
Este segundo resultado es el más sorprendente y se conoce como Teorema de Incompletud. Afirma que, si una teoría formal axiomatizable que incluya la aritmética es consistente, entonces tal teoría es incompleta. ("¡Nadie es perfecto!", como le decía aquel a Jack Lemmon.)
Dicho de otro modo:
Existe una afirmación S tal que ni S ni no-S son teoremas de la teoría T. Sin embargo, o bien S o bien no-S es verdadera. Tenemos, por tanto, una afirmación verdadera no demostrable en esa teoría.
ACERTIJO ILUSTRATIVO DE ESTE TEOREMA
Nos hallamos en la Isla de los Caballeros, que solo dicen la verdad, y de los borbones, digo Bribones, que solo mienten, los muy bellacos, cada vez que hablan. Como caído del cielo, y cual si fuese un Lemuel Gulliver cualquiera, en la Isla aterriza un cierto Lógico Exacto, así llamado porque todo aquello que puede probar es verdadero, es decir, porque nunca prueba nada falso.
Pues bien, al poco de ir deambulando de aquí para allá por la isla, nuestro Lógico Exacto se topa con un isleño llamado míster X (nada que ver con Felipe Gozález Márquez) que le plantea una afirmación de la que resulta: 1) que X es un Caballero, y 2) que el Lógico nunca podrá probar que lo es. (Reléase el párrafo que aparece en negritas más arriba.)
¿Qué afirmación emitió el isleño X?
[/FONT]
Comentario