La función que no debería existir pero existe

[NuezMoscada]

Hace un tiempo se planteó este problema en el canal ingenio:

Lógica matemática ([Ajotatxe])
Damos en partes de N la relación de inclusión y en R el orden usual. Se trata de dar una función f:R--->P(N) estrictamente creciente. Nota: Se necesitan conocimientos posteriores a bachillerato.

Lo curioso del tema es que dos usuarios dieron la solución, PERO, uno demostró que NO podía existir y el otro que SÍ existe.

Aquí tenéis la demostración de El_payasu de que no existe en formato pfd -> Haz clic aquí.

Y aquí el texto de [ajotatxe], con la demostración de que SÍ existe:

Sea s una función biyectiva de N en Q.
Definimos para cada x€R la función f(x)={n€N:s(n)<x}
Esta función es de R en P(N).
Es estrictamente creciente pues si x<y entonces:

• Si n€f(x) entonces s(n)<x<y. Por tanto n€f(y).
• Existe q racional tal que x<q<y, por tanto existe m natural tal que x<s(m)<y. Entonces m€f(y) pero m no está en f(x).

[Juanma1976]

Re: La función que no debería existir pero existe

Hace un tiempo se planteó este problema en el canal ingenio:

Lógica matemática ([Ajotatxe])
Damos en partes de N la relación de inclusión y en R el orden usual. Se trata de dar una función f:R--->P(N) estrictamente creciente. Nota: Se necesitan conocimientos posteriores a bachillerato.

Lo curioso del tema es que dos usuarios dieron la solución, PERO, uno demostró que NO podía existir y el otro que SÍ existe.

Aquí tenéis la demostración de El_payasu de que no existe en formato pfd -> Haz clic aquí.

Y aquí el texto de [ajotatxe], con la demostración de que SÍ existe:

Sea s una función biyectiva de N en Q.
Definimos para cada x€R la función f(x)={n€N:s(n)<x}
Esta función es de R en P(N).

Es estrictamente creciente pues si x<y entonces:

• Si n€f(x) entonces s(n)<x<y. Por tanto n€f(y).
• Existe q racional tal que x<q<y, por tanto existe m natural tal que x<s(m)<y. Entonces m€f(y) pero m no está en f(x).

NuezMoscada, después de darle vueltas creo que he visto una incorrección en la demostración de El_payasu. Hay una parte donde para forzar el crecimiento estricto de la función construye un conjunto de números naturales {ny} donde deduce que este conjunto debe tener el mismo cardinal que los reales (aleph1).

Sin embargo, la función construída por ajotatxe no precisa de un conjunto con cardinal aleph1 sino es suficiente con uno con el mismo cardinal que los racionales (aleph0), al definir la función f como una extensión de otra sobre los naturales (define ny como x<s(ny)<y para cualquier pareja x,y de números reales con s(ny) racional).

El_payasu pretende que el conjunto {ny: y€(0,1)} tiene cardinal aleph1, algo que con todo el respeto no veo que se deduzca de la defición de la función f. Entiendo que pensaba que por cada número real del intervalo (0,1) tenemos que añadir un natural para forzar el crecimiento estricto, pero sinceramente, cada vez que intento formalizar la intuición, me lío con sucesiones de reales, que son conjuntos numerables y sólo me queda pensar que la intuición no es válida en este caso, como demuestra el contraejempo de ajotatxe (su función es el contraejemplo).

Un saludo, Juanma