Función derivable

[Juanma1976]

Hola de nuevo, a ver quien es capaz de demostrar (y hay varias maneras) que toda función contínua $f:\mathbb R\to\mathbb R$ con la propiedad $f(x+y)=f(x)f(y)$ es derivable (y de hecho infinitamente derivable).

Saludos .

[alespa07]

Re: Función derivable

Hola de nuevo, a ver quien es capaz de demostrar (y hay varias maneras) que toda función contínua $f:\mathbb R\to\mathbb R$ con la propiedad $f(x+y)=f(x)f(y)$ es derivable (y de hecho infinitamente derivable).

Saludos .

Hola. No sé si necesitas una demostración directa pero puedes mostrar facilmente que las únicas funciones que cumplen la ecuación funcional que has puesto son la función constante igual a 1 y todas las funciones exponenciales. Estas funciones son infintamente derivables como querías mostrar.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: Función derivable

Bueno, en principio prefiero la demostración directa .
Esta está bien igualmente.

Saludos.

Hola. No sé si necesitas una demostración directa pero puedes mostrar facilmente que las únicas funciones que cumplen la ecuación funcional que has puesto son la función constante igual a 1 y todas las funciones exponenciales. Estas funciones son infintamente derivables como querías mostrar.

Saludos.