Divulgación Consulta sobre demostración de que la derivada covariante de un tensor es otro tensor.

[inakigarber]

Buenas noches. Estoy tratando de seguir la demostración sobre la derivada covariante de un tensor que se encuentra al final de este hilo. Me encuentro con un pequeño problema cuando dice;
"Puesto que, por la regla de la cadena:"
$\dfrac{\partial \bar x^u}{\partial x^s}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}=\delta^u_k$
Supongo que lo que aparece en esta expresión es el delta de Kronecker que vale $1 si u=k$ y 0 si $u \neq k$, pero no estoy muy seguro de si mi interpretación es correcta, por otra parte ¿Por qué desaparece del desarrollo que hace de la expresión?

Tampoco veo muy claro porque más adelante sustituye subíndices y cambia la expresión $\bar \Gamma^i_{kv} \bar T^v$, por $\bar \Gamma^i_{tk}\bar T^t$




Saludos y gracias.

[sater]

Desaparece porque se contrae con los índices. En general, $A_i \delta^i_j=A_j$. Esto lo puedes ver como que desarrollas la suma sobre los índices repetidos (convenio de sumación de Einstein): imagina que los índices van de 1 a N. La suma queda

$$A_i \delta^i_j=A_1 \delta^1_j+A_2 \delta^2_j+A_3 \delta^3_j+\ldots A_j \delta^j_j +A_{j+1} \delta^{j+1}_j+\ldots A_N \delta^N_j$$

De todos los sumandos, solo "sobrevive" $A_j \delta^j_j$ pues el resto son nulos ya que los índices de la delta son distintos. Para ese sumando, $\delta^j_j=1$ por lo que queda que $A_i \delta^i_j=A_j$

Edito: Se ve que has editado mientras escribía.

Se puede cambiar $\bar \Gamma^i_{kv} \bar T^v$ por $\bar \Gamma^i_{tk} \bar T^t$ en dos "pasos": se renombran índices (dado que se suma sobre índices repetidos, da igual que se llamen "v" que "t" si van a desaparecer al hacer la suma) y se usa que los símbolos de Christoffel son simétricos en los índices covariantes $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

Resolver el problema me esta resultando bastante difícil.

En el blog que mencioné en mi primer post se daba una solución en un problema anterior que se aplica en este caso. Esta solución era;
$\bar \Gamma^n_{jk} \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}-\Gamma^m_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^m}{\partial \bar x^j\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial^2 x^m}{\partial \bar x^j \partial \bar x^k}$

He tratado de utilizar este resultado para resolver este problema pero me he liado con los índices y con los componentes barrados y no barrados de ambas ecuaciones, finalmente creo que lo he resuelto estableciendo la siguiente "traducción".

$\partial x^m= \partial \bar x^i$

$\partial \bar x^j= \partial x^s$
$\partial \bar x^k= \partial x^r$
$\partial \bar x^n= \partial \bar x^t$
$\partial x^p= \partial \bar x^u$
$\partial x^q= \partial \bar x^v$

Con ello llego a la siguiente conclusión;
$\dfrac{ \partial\bar T^i}{\partial \bar x^k}+\bar \Gamma^i_{uv}T^v=\dfrac{\partial \bar x^i \partial x^s}{\partial x^r \partial \bar x^k}\left (\dfrac{\partial T^r}{\partial x^s}+T^r \Gamma^t_{sr}\right)$

Me coincide en todo excepto que en el primer símbolo de Christoffel en la solución del blog aparecen los subíndices {tk} y a mi me salen {uv}

[Richard R Richard]

hola iñaki

Gracias por tu respuesta;


He tratado de utilizar este resultado para resolver este problema pero e he liado con los índices y con los componentes barrados y no barrados de ambas ecuaciones, finalmente creo que lo he resuelto estableciendo la siguiente "traducción".
$\partial x^m= \partial \bar x^i$
$\partial \bar x^j= \partial x^s$
$\partial \bar x^k= \partial x^r$
$\partial \bar x^n= \partial \bar x^t$
$\partial x^p= \partial \bar x^u$
$\partial x^q= \partial \bar x^v$

eso no es cierto no es un nsimple reemplazo de indices...

Veamos si puedo traducir lo que intenta explicar el blog

Parte de algunas expresiones y demostradas las enumero par aluego usarlas

transformacione sde la metrica

$$\bar g_{jk}=\dfrac{\partial x^p}{\partial \bar x^j}\dfrac{\partial x^q}{\partial\bar x^k}g_{pq}$$

$$\bar g^{jk}=\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^j}\dfrac{\partial \bar x^q}{\partial x^k}g^{pq}$$

Transforamcion de los Christofell

$$\Gamma_{jkm}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\dfrac{\partial x^r}{\partial\bar x^m}\Gamma_{pqr}+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\dfrac{\partial x^q}{\partial\bar x^m}g_{pq}<br />$$

$=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\dfrac{\partial x^r}{\partial\bar x^m}\Gamma_{pqr}+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^m}<br />$

$$\bar\Gamma_{jk}^n=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\dfrac{\partial \bar x^n}{\partial x^s}\Gamma_{pq}^s+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\dfrac{\partial \bar x^n}{\partial x^p}<br />$$

si de 4 multiplicamos por $\dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}$


$\bar\Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\dfrac{\partial \bar x^n}{\partial x^s}\Gamma_{pq}^s\dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\dfrac{\partial \bar x^n}{\partial x^p}\dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}<br />$

$\bar\Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\dfrac{\partial x^m}{\partial x^s}\Gamma_{pq}^s+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\dfrac{\partial x^m}{\partial x^p}<br />$

$\bar \Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\delta^m_s\Gamma_{pq}^s+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\delta^m_p<br />$

$\Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\Gamma_{pq}^m+\dfrac{\partial^2x^m }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}<br />$

Pasando terminos de lado la derivada segunda queda como

$$\dfrac{\partial^2x^m }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}=\bar \Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}-\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\Gamma_{pq}^m$$

donde las ecuaciones son las misma tanto si el sistema es el barrado como sin barrar , es decir

$$\dfrac{\partial^2\bar x^m }{\partial x^j\partial x^k}=\Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial \bar x^m}{\partial x^n}-\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^j}\,\dfrac{\partial\bar x^q}{\partial x^k}\,\bar\Gamma_{pq}^m$$

la transformación de un tensor es

$$\bar T^i=\dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r} T^r$$

Si hacemos la derivada que es lo que queremos probar vemos que el segundo miembro es un producto y a la vez es aplicable la regla de la cadena luego al derivar hay que tratarlo como tal

$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}= \dfrac{\partial \bar T^i}{\partial x^s}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial \left ( \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r} T^r \right )}{\partial x^s}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial^2 \bar x^i}{\partial x^r\partial x^s} T^r \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}+ \dfrac{\partial T^r}{\partial x^s} \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k} \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r}<br />$

reemplazando ahora el resultado de 5' viendo que tenemos que reemplazar indices $m\to i \quad j\to r\quad k\to s$

$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}= \left (\Gamma_{rs}^n \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^n}-\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^r}\,\dfrac{\partial\bar x^q}{\partial x^s}\,\bar\Gamma_{pq}^i \right )T^r \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}+ \dfrac{\partial T^r}{\partial x^s} \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k} \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r}<br />$

distribuimos
$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}=\Gamma_{rs}^n \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^n}T^r \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}-\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^r}\,\dfrac{\partial\bar x^q}{\partial x^s}\,\bar\Gamma_{pq}^i T^r \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}+ \dfrac{\partial T^r}{\partial x^s} \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k} \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r}<br />$

si


$\delta^q_k= \dfrac {\partial \bar x^q}{\partial x^s}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$

reemplazando los delta

$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}=\Gamma_{rs}^n \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^n}T^r \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}-\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^r}\,\bar\Gamma_{pq}^i T^r + \dfrac{\partial T^r}{\partial x^s} \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k} \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r}<br />$

pasando de términos y acomodando

$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}+\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^r}\,\bar\Gamma_{pq}^i T^r=\Gamma_{rs}^n T^r\dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^n} \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k} + \dfrac{\partial T^r}{\partial x^s} \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}<br />$


ahí me trabo porque n puedo sacar factor común

seguire luego

aver si en el segundo termino a los incides dummy los llamo w osea$n\to w$ y $r\to w$

$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}+\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^r}\,\bar\Gamma_{pq}^i T^r=\Gamma_{rs}^w T^r\dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^w} \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k} + \dfrac{\partial T^w}{\partial x^s} \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^w}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}<br />$


ahora si saco factor comun

$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}+\dfrac{\partial \bar x^p}{\partial x^r}\,\bar\Gamma_{pq}^i T^r=\left (\Gamma_{rs}^w T^r + \dfrac{\partial T^w}{\partial x^s}\right ) \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^w}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}<br />$

teniendo en cuanta 6


$\left (\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}+\bar\Gamma_{pq}^i \bar T^p\right )=\left (\Gamma_{rs}^w T^r + \dfrac{\partial T^w}{\partial x^s}\right ) \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^w}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}<br />$

por lo que la derivada covariante de un tensor transforma como tensor

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta y por tú tiempo.

Llevo varios días dándole vueltas al tema y gastando papel y tinta, pero aún hay cosas que no entiendo.

Cuando dices $\bar \Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\delta^m_s\Gamma_{pq}^s+\dfrac{\partial^2x^p }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}\delta^m_p$

Para que el resultado de esta ecuación no sea nula debe darse la doble condición de que $m=s$ y $m=p$, ya que si no se cumpliera la doble igualdad uno de los términos (o ambos) serían nulos, por tanto los tres términos deberán ser iguales. Me pregunto porque es así, pero no encuentro una respuesta.
Me despista también un poco cuando dices

aver si en el segundo termino a los incides dummy los llamo w osea $n \to w$ y $r\to w$

En la ecuación final dices;
$\left (\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}+\bar\Gamma_{pq}^i \bar T^p\right )=\left (\Gamma_{rs}^w T^r + \dfrac{\partial T^w}{\partial x^s}\right ) \dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^w}\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$
Los subíndices $\Gamma_{rs}^w T^r$ ¿no deberían ser $\Gamma_{ws}^w T^w$? (ya que has cambiado n y r por w)

Supongo que debe haber algo que he entendido mal para variar.

Saludos.