Divulgación Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre

[inakigarber]

En un enunciado de un problema, me he encontrado con el siguiente cuyo texto escribo;
"Se pueden presentar argumentos para demostrar que un fotón no puede ser absorbido por un electrón libre. Sin embargo, puede ser absorbido por un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado. Si un fotón con energia de $1MeV$ choca con un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado, y si despreciamos la energía de retroceso del núcleo ¿Cuál será la velocidad del electrón al ser sacado fuera del átomo?

Yo parto de la situación siguiente;
Energia inicial

$$E_i=E_{foton}+E_{o}$$

, donde el segundo termino representa a la energia en reposo del electrón.

$$=\dfrac{m_o c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v_s^2}{c^2}}}$$

Donde $v_s$ es el dato a deducir. Como se desprecia la energia de retroceso del núcleo, y supongo este en reposo en todo el proceso lo he eliminado de las fórmulas.
El resultado que obtengo es $v_s=0.9953c$, pero por una parte, no me coincide con el resultado que el solucionario da $v_s=0.941c$, por lo que seguramente me he equivocado.

Por otra parte, me llama la atención el comentario de que un fotón no puede ser absorbido por un electrón libre. Bien, los fotones no tienen masa, pero tienen momento y portan energía, de manera que pareciera lógico pensar que podría haber una interacción fotón-electrón libre.
Supongo que habrá nuevamente algo en mi argumento que está equivocado.

Saludos y gracias.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre

... Se pueden presentar argumentos para demostrar que un fotón no puede ser absorbido por un electrón libre ... me llama la atención el comentario de que un fotón no puede ser absorbido por un electrón libre ...

Mira la demostración en Interacción fotón - electrón

... Si un fotón con energía de $1MeV$ choca con un electrón estacionario en la vecindad de un núcleo pesado, y si despreciamos la energía de retroceso del núcleo ¿Cuál será la velocidad del electrón al ser sacado fuera del átomo? ...

La energía inicial es la del fotón incidente (1 MeV), más la correspondiente a la masa del electrón (511 keV), (puesto que se desprecia tanto la energía con la que el electrón está enlazado en el átomo como la energía cinética del electrón en el átomo)

$E_i=1000+511=1511 \ keV$

La energía final es solo la del electrón, suponiendo que ha absorbido toda la energía del fotón, (la energía de retroceso del núcleo se considera despreciable, se considera que la contribución del núcleo se limita a compensar el momento lineal)

$E_f=\dfrac{m_e c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v_e^2}{c^2}}}$

Haciendo $E_i=E_f$ y despejando la velocidad del electrón:

$v_e=c \ \sqrt{1-\dfrac{(m_e c^2)^2}{E_i^2}}$

$m_e c^2=511 \ keV$

$v_e=c \ \sqrt{1-\dfrac{511^2}{1511^2}}$

$v_e=0.9411 \ c$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre

Buenas noches;
Creo que el asunto ya está aclarado, la segunda parte del problema a mi tambien me sale, me había equivocado en un resultado, por lo que no podía salirne. El motivo principal del post estaba sobre todo en la primera parte. Imaginaba la interacción entre un fotón y un electrón en el espacio libre como una colisión de dos pelotas. Por tanto, la interacción entre un fotón solo es posible cuando se trata de un electrón ligado, como sería el caso del efecto Comptom o del efecto fotoeléctrico. En ambos casos el electrón esta ligado (en mayor o menor grado) al potencial del núcleo atómico, si no estoy equivocado.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Colisión entre un fotón y un electrón libre: Efecto Compton

... Imaginaba la interacción entre un fotón y un electrón en el espacio libre como una colisión de dos pelotas ...

Así es, solo que hay que usar para energía y momento lineal las expresiones relativistas en vez de las clásicas. Y entonces se demuestra que el fotón incidente no puede desaparecer completamente absorbido íntegramente por el electrón libre, (es decir, que la "pelota-electrón" no se puede "tragar" completamente a la "pelota-fotón"): https://forum.lawebdefisica.com/entr...-electr%C3%B3n

Por tanto, la interacción entre un fotón solo es posible cuando se trata de un electrón ligado, como sería el caso del efecto Compton o del efecto fotoeléctrico. En ambos casos el electrón esta ligado (en mayor o menor grado) al potencial del núcleo atómico, si no estoy equivocado....

Solo en el Efecto Fotoeléctrico los electrones están obligatoriamente ligados al átomo, puesto que ese efecto se produce por definición cuando se bombardea con fotones un material en el que los fotones son absorbidos por los átomos del material y se desprenden electrones.

... Por tanto, la interacción entre un fotón solo es posible cuando se trata de un electrón ligado, como sería el caso del efecto Compton ... el electrón esta ligado (en mayor o menor grado) al potencial del núcleo atómico, ...

No, el Efecto Compton es la interacción inelástica* de un fotón $\gamma_1$ con un electrón libre, dando como resultado un fotón $\gamma_2$ y un electrón en movimiento:

Suponiendo inicialmente el electrón en reposo, aplicando que la energía y el momento lineal relativistas deben coincidir antes y después del choque, se demuestra que se deben cumplir las siguientes relaciones:

$\lambda_2=\lambda_1+\dfrac h{m_e \ c} (1-\cos B)$

Es decir, conocida la longitud de onda del fotón incidente y el ángulo del fotón dispersado, hemos podido calcular la longitud de onda de este último, y a partir de ella calculamos su energía:

$E_2=\dfrac{hc}{\lambda_2}$

Como también conocemos la energía del fotón incidente:

$E_1=\dfrac{hc}{\lambda_1}$

La energía del electrón después de la colisión es:

$E_e=m_e c^2 +E_1 - E_2$

Ello permite calcular el momento lineal que adquiere el electrón en la colisión, mediante:

$p_e=\dfrac{\sqrt{E_e^2-(m_e c^2)^2}}c$

Finalmente, el ángulo del electrón después de la colisión se calcula con:

$\tan A=\dfrac 1{\left (1+\dfrac{E_1}{m_e c^2}\right ) \cdot \tan \dfrac B 2}$

Y su velocidad:

$v_e=c \ \sqrt{1-\left ( \dfrac{m_e c^2)}{E_i}\right )}$

Ejemplo: sea un fotón gamma de longitud de onda de 2.5 pm que incide sobre un electrón en reposo, en unidades del S. I.:

$m_e$	9,1094E-31
$c$	299792458
$m_e c^2$	8,187105E-14
$\lambda_1$	2,5E-12
$h$	6,6261E-34
$E_1$	7,945783E-14

En función de cual sea el ángulo de dispersión del fotón saliente, se obtienen los siguientes resultados para el resto de parámetros:

$B$	0,1º	20º	45º	60º	90º	120º	150º	165º	180º
$\lambda_2$	2,500004E-12	2,6463E-12	3,2106E-12	3,7132E-12	4,9263E-12	6,1395E-12	7,0276E-12	7,2699E-12	7,3526E-12
$E_2$	7,945772E-14	7,506434E-14	6,187052E-14	5,349752E-14	4,032320E-14	3,235535E-14	2,826652E-14	2,732408E-14	2,701684E-14
$E_e$	8,187117E-14	8,626455E-14	9,945836E-14	1,078314E-13	1,210057E-13	1,289735E-13	1,330624E-13	1,340048E-13	1,343120E-13
$p_e$	4,625867E-25	9,065972E-23	1,883706E-22	2,340835E-22	2,972187E-22	3,324164E-22	3,498883E-22	3,538676E-22	3,551613E-22
$v_e$	0,0017 c	0,3151 c	0,5678 c	0,6508 c	0,7364 c	0,7727 c	0,7883 c	0,7917 c	0,7927 c
$A$	89,90º	70,84º	50,78º	41,31º	26,91º	16,33º	7,74º	3,82º	0,00º

Saludos.

* Se le llama inelástica porque no se conserva la energía cinética

[inakigarber]

Re: Colisión entre un fotón y un electrón libre: Efecto Compton

Gracias por tu ayuda, pero me he quedado atascado.

….Suponiendo inicialmente el electrón en reposo, aplicando que la energía y el momento lineal relativistas deben coincidir antes y después del choque, se demuestra que se deben cumplir las siguientes relaciones:

$\lambda_2=\lambda_1+\dfrac h{m_e \ c} (1-\cos B)$

….

He tratado de demostrarlo, pero no lo he conseguido. Parece fácil, pero hay algo que se me está escapando y no consigo entenderlo.
Parto de;
1) Ley de conservación de la energia;

$$E_i=\dfrac{hc}{\lambda_1}+m_ec^2$$

que son la energia del fotón incidente y la energía en reposo del electrón;

$$E_f=\dfrac{hc}{\lambda_2}+\gamma m_ec^2$$

$E_i=E_f$

2) Ley de conservación del momento.

$$\vec{p_i}=\dfrac{h}{\vec{\lambda_1}}$$

(el momento inicial del electrón es cero)

$$p_f=\dfrac{h}{\vec{\lambda_2}}+\gamma m_e\vec{v}$$

$$\vec{p_i}=\dfrac{h}{\vec{\lambda_1}}=\dfrac{h}{\vec{\lambda_2}}+\gamma m_e\vec{v}$$

Considerando el ángulo inicial del fotón igual a cero, y teniendo en cuenta que;$cos(0)=1,sen(0)=0,cos(-A)=cos(A)$ y que $sen(-A)=-sen(A)$, esperaba llegar a la expresión que ponías tu, y que también aparece en otros textos, pero no he conseguido llegar.

[Alriga]

Demostración de la ecuación del Efecto Compton

... me he quedado atascado ... He tratado de demostrarlo, pero no lo he conseguido. Parece fácil, pero hay algo que se me está escapando y no consigo entenderlo...

Suponiendo inicialmente el electrón en reposo, se aplica que la energía y el momento lineal relativistas se conservan:

Conservación del momento:

$\vec p_1=\vec p_2+\vec p_e$

Estos 3 vectores forman un triángulo. El ángulo B es el que forma la dirección del fotón dispersado respecto de la dirección del fotón incidente. El ángulo B está en el vértice común a $\vec p_1$ y $\vec p_2$, siendo $\vec p_e$ el lado del triángulo opuesto al ángulo B. Aplicamos el Teorema del Coseno:

$$p_e^2=p_1^2+p_2^2-2 p_1 p_2 \cos B$$

Conservación de la energía:

Recordando que la energía de un fotón es $E_{\gamma}=p \ c$

y la de una partícula es $E=\sqrt{(m c^2)^2+(p \ c)^2}$ igualando energía inicial con energía final tenemos:

$p_1c+m_ec^2=p_2 c + \sqrt{(m_e c^2)^2+(p_e c)^2}$

Pasando $p_2 c$ al otro miembro, elevando al cuadrado para eliminar la raíz y operando se obtiene:

$$p_e^2=p_1^2+p_2^2-2p_1p_2+2 m_e c \ (p_1-p_2)$$

Combinando (1) con (2) sale:

$m_e c \ (p_1-p_2)=p_1 p_2 \ (1-\cos B)$

$p_1-p_2=\dfrac{p_1 p_2}{m_e c} \ (1-\cos B)$

Dividiendo ambos miembros por el producto $p_1 p_2$

$\dfrac 1{p_2}-\dfrac 1 {p_1}=\dfrac 1{m_e c} (1-\cos B)$

Recordando que para un fotón se cumple:

$p=\dfrac h{\lambda}$

Tenemos:

$$\lambda_2 - \lambda_1=\dfrac h{m_e c} \ (1-\cos B)$$

c.q.d., saludos.

[inakigarber]

Re: Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre

Tu explicación es muy detallada y clara, aunque me ha llevado un tiempo entenderla.
No recordaba el teorema del coseno, y la fórmula de la energia cinética relativista en función del momento angular, $E_k=\sqrt{(m_e c^2)^2+(p_e c)^2}$, si bien es equivalente a la que yo ponia, da una visión más clara de la solución del problema. Esta es una muestra clara de como un problema que no tiene una solución difícil, aunque si un poco larga en los pasos, puede complicarse sí uno no lo enfoca de la forma más sencilla posible.

Muchas gracias.

[Alriga]

Re: Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre

… No recordaba el teorema del coseno …

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Yo no creo que lo olvide nunca, pues cuando lo vi por primera vez con 15 años tuve uno de esos pocos “momentos de éxtasis” con la Ciencia: “descubrí” que el archifamoso Teorema de Pitágoras no era más que un “caso particular” (para A=90º) del Teorema del Coseno

… No recordaba … la fórmula de la energía cinética relativista en función del momento angular, $\cancel{E_k}=\sqrt{(m_e c^2)^2+(p_e c)^2}$

Cuidado, aquí cometes 2 errores: primero, “p” es el momento lineal (cantidad de movimiento) relativista, no el momento angular. Y segundo, esa expresión no es la de la energía cinética, sino la de la energía total “E”

$$E^2=(m c^2)^2+(p c)^2$$

Ésta es posiblemente una de las fórmulas más bellas de la Relatividad Especial. Cuando la partícula está en reposo “v = 0” y “p = 0” se obtiene que $E=m c^2$ y solo hay la energía correspondiente a la masa de la partícula ( recuerda que $p=\gamma m v$ )

Si la partícula es un fotón entonces “m = 0” y su energía total es $E=p c$

Para recordar fácilmente esta relación se suele acudir a la imagen de un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos es la energía correspondiente a la masa, el otro cateto es la energía asociada a la cantidad de movimiento y la hipotenusa es la energía total. La aplicación del teorema de Pitágoras a ese triángulo conduce a la expresión (1)

Además en ese triángulo se cumple que:

$\sin \alpha=\dfrac{pc}E=\dfrac{(\gamma m v) c}{\gamma m c^2}=\dfrac v c$

Finalmente, recuerda que la Energía Cinética de una partícula relativista con masa es:

$E_k=\gamma m c^2-m c^2=(\gamma - 1) \ m c^2$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Problema de colisión entre un fotón y un electrón libre

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Yo no creo que lo olvide nunca, pues cuando lo vi por primera vez con 15 años tuve uno de esos pocos “momentos de éxtasis” con la Ciencia: “descubrí” que el archifamoso Teorema de Pitágoras no era más que un “caso particular” (para A=90º) del Teorema del Coseno

A mi a los 15 años todo esto de las matemáticas era un "rollo malo" para el que me sentía totalmente incapacitado. Tuve que pasar más allá de los 40 cuando empecé a interesarme a modo autodidacta por las ciencias y las matemáticas, supongo que para mantener el cerebro activo y tratar de evitar el "deterioro neuronal"

...

Cuidado, aquí cometes 2 errores: primero, “p” es el momento lineal (cantidad de movimiento) relativista, no el momento angular. Y segundo, esa expresión no es la de la energía cinética, sino la de la energía total “E”

Son cosas de escribir el post en horas en que el sueño empezaba a provocar su propio deterioro neuronal.

Creo que la belleza de estas ecuaciones está en entender el porque, y por establecer una comparación con el deporte (algo que a los 15 años támpoco me atraia), tambien en el esfuerzo que uno tiene que hacer por entenderlas.

Gracias por la ayuda.