1r ciclo Astronauta alrededor de la tierra

[[Beto]]

En este ejercicio, supongo que se resuelve aplicando sistemas de referencia inerciales sucesivos, pero nunca he resuelto uno similar ... ¿como hago?

Un astronauta de vuelta a la Tierra en un radio de $7 \times 10^6m$ (desde el centro) durante una semana. ¿Cuánto más joven que un gemelo que queda en la tierra es que cuando las tierras? (Despreciar la rotación de la tierra.)

[Ulises7]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

En este ejercicio, supongo que se resuelve aplicando sistemas de referencia inerciales sucesivos, pero nunca he resuelto uno similar ... ¿como hago?

Un astronauta de vuelta a la Tierra en un radio de $7 \times 10^6m$ (desde el centro) durante una semana. ¿Cuánto más joven que un gemelo que queda en la tierra es que cuando las tierras? (Despreciar la rotación de la tierra.)

La verdad no entiendo el enunciado, concretamente el final, ¿cuánto más joven que un gemelo que queda en la tierra es que cuando las tierras?

A ver hoy hice algunos parecidos a éstos y diria que se hacen así:

Primero calculas la velocidad del satélite ya que está dada por:

$$v = \dfrac{2\pi r}{T}$$

Tienes el radio y el período.

Luego tendrás que aplicar la dilatación del tiempo debido a la velocidad del astronauta:

$$t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

Y lo que suele hacerse en éstos casos es utilizar el incremento de tiempo:

$$\Delta t = t - t_0 = \left ( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \right ) t$$

Pero ahora es cuando hay que entender bien el enunciado para saber qué hacer...

Aunque supongo que ésto también ya lo habías planteado...


saludos

[[Beto]]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

La verdad no entiendo el enunciado, concretamente el final,

la pregunta es ¿cuánto más joven es el gemelo de la nave respecto al que queda en la tierra? ... estaba con sueño y escribí cosas raras

Aunque supongo que ésto también ya lo habías planteado...

Es una idea, pero el problema no se lo puede atacar de esa forma, recuerda que esas ecuaciones valen para sistemas no acelerados ... y si el gemelo esta dando vueltas alrededor de la tierra hay una aceleración y toca hacerlo de forma diferente, supongo que haciendo cambios sucesivos de sistemas de referencia inerciales instantáneamente, pero no tengo claro de como plantear eso.

[Adosgel]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Cuidado con la aceleración del astronauta si este está dando vueltas al rededor de la Tierra en caída libre, pues no sufriría ni la "aceleración" que sufre el estacionario en la Tierra debida a la fuerza de la gravedad del planeta. El astronauta seguiría una geodésica y el estacionario no. Esto se ha tratado en más de un hilo (aunque sea por encima) referido a los GPS y demás sistemas que es necesario transformar sus tiempos para equipararlos a los de la superficie de la Tierra, no solo porque la fuerza de la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; si no porque, además, los satélites están en caída libre. Los tiempos propios resultantes son distintos.

Esto es RG. En mi opinión, no sería correcto tratarlo en un marco de RE.
Necesitas saber la cantidad necesaria de incremento de a·t por unidad de masa para alcanzar dicha altura de orbitación.
Además, la cantidad de a·t por unidad de masa para alcanzar la velocidad tangencial para mantenerse en caída libre en dicha órbita.
También necesitas hacer la operación inversa para la velocidad tangencial en el descenso, y con un aumento desde la caída libre hasta g para que el astronauta acabe en la superficie de la Tierra de nuevo sin velocidad tangencial y sin salto en su aceleración en sentido opuesto al centro de la Tierra y g.

Para que lo veas como lo veo yo, he tomado el concepto "aceleración", como cambio de geodésica, no como cambio de velocidad, ya que estamos en un espaciotiempo curvo.

Saludos.

[Entro]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Yo buscaría: dilatación gravitacional del tiempo y aplicaría eso... eso se resuelve con RG y no con RE.

[Ulises7]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Es una idea, pero el problema no se lo puede atacar de esa forma, recuerda que esas ecuaciones valen para sistemas no acelerados ... y si el gemelo esta dando vueltas alrededor de la tierra hay una aceleración y toca hacerlo de forma diferente, supongo que haciendo cambios sucesivos de sistemas de referencia inerciales instantáneamente, pero no tengo claro de como plantear eso.

Supongo que dices que no lo puedo hacer de ésa forma debido al primer postulado de la RE, y si dices que está acelerado supongo que te refieres que es un sistema no incercial porque actúa una fuerza normal ( hay aceleración centrípeta ) y que es la causante de la variación de dirección constante del satélite, en cambio no hay aceleración tangencial ya que el módulo velocidad es constante, ahora bien si ésto es así tengo una duda respecto al siguiente problema:

Un satélite se encuentra situado en órbita geoestacionaria a una altura de 36000 km sobre la superficie de la Tierra y, por tanto, da una vuelta cada 24 h.

¿Cuánto tardará el reloj del satélite en retrasarse 1 s respecto de los relojes terrestres?

Y para resolverlo utilicé las ecuaciones del mensaje #2 ( por eso puse el mensaje #2, pensando que seria parecido... ) pero entonces me surge la duda por comparar éste problema con el tuyo...


gracias

[[Beto]]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Y para resolverlo utilicé las ecuaciones del mensaje #2 ( por eso puse el mensaje #2, pensando que seria parecido... ) pero entonces me surge la duda por comparar éste problema con el tuyo...

Uhm pues si, no es correcto resolverlo por relatividad especial ... encontré esto:

En un disco rotatorio, cuando el observador base está colocado en el centro del disco y rotando con el (lo cual hace no inercial su visión del espacio-tiempo), la ecuación es

$$T_d = \sqrt{1 - \frac{r^2 \omega^2}{c^2}}$$

Donde$r$ es la distancia del centro del disco (que es la posición del observador base), y $\omega$ es la velocidad angular del disco. No es un accidente que en un marco de referencia inercial, esta ecuación se convierta en la dilatación familiar de la velocidad del tiempo $\sqrt{1 - v^2/c^2}$.

Entonces para ese caso coincide con la fórmula que has encontrado, pero viene a ser una consecuencia de relatividad general.

Yo buscaría: dilatación gravitacional del tiempo y aplicaría eso... eso se resuelve con RG y no con RE.

Listo, ya busque algo sobre ello, aunque recién estoy empezando a estudiar relatividad especial, pero supongo que con eso es suficiente para resolver el ejercicio.

Aunque quisiera saber si existe la posibilidad de usando solo relatividad especial hacer alguna aproximación cambiando instantáneamente a sistemas inerciales de referencia, creo haber leído esa idea en alguna parte del foro (no recuerdo si lo sugirió tu o pod), si no me equivoco cuando planteaban la paradoja de los hermanos gemelos.

[niestsnie]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Hola de nuevo Beto

Como han señalado otros, el contexto propio de este problema es la relatividad general. Sin embargo se puede aprovechar la simetría del problema para utilizar la relatividad especial (RE). La dilatación del tiempo en RE supone la existencia de una linea de relojes en reposo sincronizados y un reloj en movimiento en esa línea. Cuando el reloj en movimiento coincide con cada uno de los relojes fijos, el observador en reposo constata que el reloj móvil marca mas lento que cada reloj fijo correspondiente.

Si queremos aplicar RE en el caso del astronauta necesitamos una línea de relojes sincronos en reposo respecto de un observador en tierra a lo largo de la órbita del astronauta. Asegurar que esto es posible atañe a la relatividad general (RG), y tiene que ver con que todos los relojes de la línea síncrona tienen el mismo potencial gravitatorio; ya que el potencial gravitatorio afecta a la marcha de los relojes en RG. Otra forma de ver que esto es posible es transportar relojes sincronizados en el infinito, donde la gravedad no influye, hasta el punto correspondiente en la orbita. Si todos los relojes se transportan en condiciones similares resultarán afectados en su marcha de la misma forma y al llegar al su punto de anclaje en la órbita seguirán marchando al mismo ritmo entre si.

En cuanto a los observadores tenemos que el astronauta puede considerarse inercial por estar en caída libre (RG).
También tenemos un observador gravitatorio asociado a cada uno de los relojes de la línea síncrona. Resulta que, local e instantáneamente, estos observadores gravitatorios pueden considerarse inerciales. Esto es un postulado de la RG. Por tanto entre estos observadores se puede aplicar el resultado de la dilatación del tiempo de la RE en términos diferenciales.

Entre los relojes de la línea síncrona y los relojes en tierra, ambos en reposo relativo pero a distinto potencial, hay que aplicar la relatividad general.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Beto, a mi da este resultado aproximadamente: $\displaystyle t \sim \frac{GM}{c^2 R} T$

Estos dos enlaces de la wikipedia te facilitaran llegar a esta respuesta.

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric

y en especial bajo "Outside a non-rotating sphere"

http://en.wikipedia.org/wiki/Gravita..._time_dilation

[niestsnie]

Re: Astronauta alrededor de la tierra

Beto, a mi da este resultado aproximadamente: $\displaystyle t \sim \frac{GM}{c^2 R} T$

Estos dos enlaces de la wikipedia te facilitaran llegar a esta respuesta.

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric

y en especial bajo "Outside a non-rotating sphere"

http://en.wikipedia.org/wiki/Gravita..._time_dilation

Creo que estoy de acuerdo con tu resultado, Jose, si el efecto principal es el de la relatividad general. Es decir, para
el gemelo en tierra, resulta que su hermano es mas viejo cuando regresa a la superficie de la tierra por la RG

Por suerte tenemos un caso experimentable con el GPS

http://en.wikipedia.org/wiki/Global_...tem#Relativity
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Orbit_times.png

en la gráfica se puede ver el efecto sobre los relojes en órbita de la RE en rojo, el de la RG en verde y el resultado neto en azul, que parece representar la suma de las partes. Hay una altura orbital a la que los dos efectos se compensan, entorno a los 10.000 km de la superficie, a partir de ahí el efecto predominante es el de la RG.

Saludos.