Divulgación Que es un tensor

[pablotrive]

Alguien me podria dar una explicacion progresiva y lo mas didactica posible de lo que es un tensor y en que se aplica? De lo que he leido no he entendido mucho y se que es complicado.

Saludos!

[natanael]

Re: Que es un tensor

Yo estoy en las mismas que tú, pero pudiera decirte lo que sé hasta ahora.

En matemáticas un escalar es un simple número que puede representarse algebraicamente con una letra, por ejemplo $\dst A$, que puede representar la medida de una magnitud física como el tiempo, las masa o la temperatura de un objeto, o simplemente la cantidad de cosas que pueden haber en un sistema físico. Un vector es una magnitud igual que un escalar, sólo que éste internamente posee más propiedades como poseer una dirección un sentido y una magnitud, si y solo sí esta representado en un plano o un espacio tridimensional, la direccion y el sentido son cosas que se pueden ver intuitivamente, normalmente los vectores tambien pueden ser representados por una letra, llamemosla $\dst A$, pero esta tiene mas propiedades, exige estar compuesto por mas componentes, por eso se escribe como $\dst A_i$ ó $\dst \vec{A}$, si es $\dst A_i$ entonces $\dst i$ representa el número de componente que pueda tener, por ejemplo $\dst A_i=(A_1, A_2, A_3, ..., A_i)$, por eso digo que es intuitivo decir que tiene direccion y sentido como máximo en un espacio tridimensional, porque un vector puede tener muchos más de tres componentes, e incluso puede tener infinitas. Además un vector no sólo es utilizado en fisica, también son utilizados en programación, definiendo listas de objetos en las cuales se les pueden aplicar las mismas operaciones que con números, por ejemplo si tenemos la lista A=(a,b,c) y otra A=(vión,anco,asa) y aplicamos la suma de ellas nos resulta A=(a+vión,b+anco,c+asa)=(avión,banco,casa), es muy utilizado en leguajes como el lisp, o el que utiliza el matlab para trabajar con vectores y matrices.

Una matriz es un simple arreglo de componentes que puede ser descrito como $\dst A_{i,j}$, por ejemplo.

$\begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,j} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,j} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots & A_{i,j} \end{pmatrix}$

En este caso $\dst i$ representan las filas y $\dst j$ las columnas, las aplicaciones son muchas, de hecho cada componente adopta una posición específica dentro de la matriz, son utilizadas en metodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de $\dst i$ incognitas con $\dst i$ ecuaciones. Tambien aplicaciones fisicas como el producto cruz de dos vectores que se define como:

$\dst \vec{H} \times \vec{F}=\left(H_x\hat\imath+H_y\hat\jmath +H_z\hat{k} \right)\times \left(F_x\hat\imath+F_y\hat\jmath +F_z\hat{k} \right)= \left|\begin{smallmatrix}<br /> \hat\imath & \hat\jmath & \hat{k} \\<br /> H_x & H_y & H_z\\<br /> F_x & F_y & F_z<br /> \end{smallmatrix}\right|<br />$

Bueno! esto me imagino que debes saberlo, pero esta duda no la tenemos tu y yo nada mas, hay otros que leen esto también y pueden estar más perdidos.

Ahora como vez, hasta ahora hay como una especie de secuencia entre escalares, vetrores y matrices en su notacion, empesamos con escalares $\dst A$, luego con vectores $\dst A_i$ y final mente las matrices $\dst A_{i,j}$, en todos los casos $\dst i,j$ son numeros naturales es decir $1, 2, 3,......\infty$, pues los tensores son la generalizacion es esto, es decir ahora los índices $i, j$ pueden ser mas incluso infinitos, por ejemplo si tienes un tensor de grado 3, es decir $\dst A_{i,j,k}$, se puede representar como una matriz tridimensional como en la imagen:



Ya para trabajar o visualizar tensores de grado superior creo que se utiliza la teoría combinatoria y las permutaciones entre los conjuntos que forman los pares ordenados $\dst i,j,k,...n$, por eso es que es complicado trabajar con tensores.

Las aplicaciones son muchas, en mecanica de fluidos se que hay muchas aplicaciones, la teroría de la relatividad de Einstein los utiliza para su formulacion matematica, en macanica cuantica y aveces son utilizados en programacion.

Esto es lo que sé hasta ahora, yo quiero aprender su algebra, pero me falta mucho todavía, .

[Caifan]

Re: Que es un tensor

Alguien podría recomendarnos un buen libro para aprender esto del análisis tensorial, porque creo que los encontrare muy necesarios para una posible maestria sobre fluidos.

Saludos.

[javier m]

Re: Que es un tensor

gracias hidromagnetismo

desde que habia visto un video del universo mecanico, que al comienzo dijo algo acerca de tensores, acerca de que levi cita, el creador del calculo tensorial, le habia dicho a einstein que su teoria de RG no andaba (y por cierto, levi cita se equivocó), yo quedé picado.

por cierto ¿lo de tensores se da en alguna asignatura mas o menos llamada "metodos matematicos para fisicos",o algo así?

[natanael]

Re: Que es un tensor

¿lo de tensores se da en alguna asignatura mas o menos llamada "metodos matematicos para fisicos",o algo así?

Bueno, en realidad no sé si tenga ese nombre, recuerda que en muchas universidades llaman a las materias de forma distinta, lo que sí sé, es que la mayoria de los libros de calculo y/o anlisis tensorial que hay en la biblioteca de la universidad donde estudio, todos estan en inglés, y no sé absolutamente nada de ingles, por eso en un hilo tambien hice la misma pregunta de Caifan, pero especificando si habian libros en español, pero la respuesta no fué muy alentadora que digamos, pero Albertotti el que repondió me dio un link que me ayudó bastastante aunque no entendí muy bien.

Saludos.

[pablotrive]

Re: Que es un tensor

Muchisimas gracias por la explicación, gran ayuda!

[pablotrive]

Re: Que es un tensor

Al margen de la excelente explicacion que nos diste, tengo una duda tal vez mas sencilla al respecto y es la siguiente, por ejemplo, decias que los escalares representan magnitudes como masa, temperatura, tiempo, los vectores fuerzas y el tensor que representaria en fisica?

Saludos!

[natanael]

Re: Que es un tensor

Ups!, se me olvido eso!

Pues fíjate, una vez me puse de loco a modelar un ejercicio en la sección de mecanica newtoniana, trataba de un pendulo que decribe un movimiento armónico, era un ejercicio que se debía resolver usando la inercia rotacional del cuerpo, pero yo lo hice por conservacion de la enegía, lógicamente estaba malo (cometí errores catastróficos), porque para tu resolver un ejercicio por conservación de la energía tienes que considerar todos las formas de energía que se producen en sistema, bueno!, en fin, para considerar esa energía necesitaba un tensor, llamado "tensor de inercia", que este tensor construido junto con la velocidad angular del sólido nos daría la energía de rotación, y así poderla incluir en ese sistema.

Otro ejemplo es el tensor de energía-impulso, por ejemplo, en relavidad las cantidades tienen que permanecer invariantes e independientes del sistema de coordenadas, cuando tu tienes una distribucion de materia continua y quieres describir el flujo de energía y por lo tanto la conservacion del momento lineal que sucede en cada punto del espacio que ocupa esa materia, tienes que usar esta cantidad tensorial, además la ley de conservación de la energía y el momento lineal en la relatividad, bienen expresadas usando este tensor de energía-impulso.

En un medio continuo como un fluido, tienes internamente tensiones, si tu defines una superficie $\dst z=f(x,y)$, tendrás de forma normal a ella una especie de campo vectorial, donde cada vector vá a puntar normal a esa superficie, pero resulta que también puedes considerar otra superficie dentro de ese medio continuo, donde vas a tener otra especie de campo vectorial definido de igual forma, es decir normal a esa superficie, si tu consideras las infinitas superficies tienes entonces un conjunto de campos vectoriales, que representan las tensiones internas del medio, en general esto se respresenta como un tensor, llamado tensor de tensión.

En fin tienes muchos nombres de tensores incluso tensores con nombres de personas . Tambien tienes el tensor de deformaciones..... y pare de contar.....

[Caifan]

Re: Que es un tensor

Al margen de la excelente explicacion que nos diste, tengo una duda tal vez mas sencilla al respecto y es la siguiente, por ejemplo, decias que los escalares representan magnitudes como masa, temperatura, tiempo, los vectores fuerzas y el tensor que representaria en fisica?

Por ejemplo, en el área de mecánica, más en específico en mecánica de fluidos, se define el tensor $\tau_{i,j}$ como el tensor de esfuerzo viscoso, donde $i$ y $j$ pueden ser cualquier coordenada espacial.

Este tensor representa la fuerza que una lámina de fluido (suponiendo flujo laminar) ejerce en la dirección $j$ sobre un área perpendicular a la dirección $i$. También suele interpretarse como la densidad de flujo de cantidad movimiento de la dirección $j$, en la dirección $i$ positiva.

Como apunta hidromagnetismo, una cantidad física totalmente descrita por su magnitud se representa de forma completa con un escalar. Si ademas de su magintud, necesitamos describirla a traves de una dirección en el espacio, es necesario caracterizarla como un vector. Si no queda completamente definido a partir de una magnitud y la dirección espacial, es necesasario incluir otra dirección (como en el caso del tensor esfuerzo), tenemos un tensor (de 2° orden, creo).

Cuando comenze a escribir este comentario, aun no estaba el comentario de hidromagnetismo, pero creo que nos referimos al mismo tensor en fluidos, solo que con diferentes aproximaciones.

[natanael]

Re: Que es un tensor

Si es el mismo, fíjense aquí explican las cosas como a mí me gusta.

Si no queda completamente definido a partir de una magnitud y la dirección espacial, es necesasario incluir otra dirección (como en el caso del tensor esfuerzo)

Esta parte si que me hace entender mejor esta aplicación de los tensores, porque el metodo de las superficies, que pensaba que era el más fácil de entender resultó ser más complicado de ver.

Siempre me he preguntado, que sucedería si ambos hacemos click cuando terminamos un mensaje y la peticion de almacenamiento llegase al mismo tiempo al servidor de la Web de Fisica, será que... ¿sucedería algun error? , me imagino que nó...

[javier m]

Re: Que es un tensor

lo que sí sé, es que la mayoria de los libros de calculo y/o anlisis tensorial que hay en la biblioteca de la universidad donde estudio, todos estan en inglés, y no sé absolutamente nada de ingles, por eso en un hilo tambien hice la misma pregunta de Caifan, pero especificando si habian libros en español, pero la respuesta no fué muy alentadora que digamos

bueeeeno, tendremos que aprender ingles, tu primero jejeje