Divulgación Dilatacion dl tiempo

[NaNo_12]

Hola,
Estava leyendo un enunciado y con un amigo discutimos y no logramos concordar en la respuesta, nos podrian ayudar?

Suponga que a los astronautas se les pagara segun el tiempo que permanecen en el espacio. despues de una largoviaje realizado a una velocidad proxima a la de la luz, una tripulacion de astronautas regresa y abre los sobres que contiene sus salarios ¿Cuales serian sus reacciones?

Muchas gracias.

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Re: Dilatacion dl tiempo

Hola NaNo_12,

Suponga que a los astronautas se les pagara segun el tiempo que permanecen en el espacio. despues de una largoviaje realizado a una velocidad proxima a la de la luz, una tripulacion de astronautas regresa y abre los sobres que contiene sus salarios ¿Cuales serian sus reacciones?

Bueno, esto depende del sistema de referencia que elijas para medir el tiempo transcurrido por los viajeros en la nave, es decir, es relativo :P

Para que lo veas de una forma más sencilla, vamos a hacer con un ejemplo práctico. Supongamos que una nave quiere viajar a una estrella situada a 10 años luz de la Tierra. La velocidad de la nave pongamos que es de $0.8c$, muy próxima a la velocidad de la luz. Por último, llamemos $O$ al sistema de referencia de la Tierra y $O'$ al de los astronautas.

De igual modo, hemos de tener en cuenta que despreciamos el tiempo que tarda en acelerar y en frenar (más el que tarda en dar la vuelta) pues la relatividad especial no trata de sistemas acelerados. Por tanto, según los observadores que se encuentran en la Tierra, el viaje duraría:

$$\Delta t_O= \dst\frac{2l_O}{v}=\dst\frac{2\cdot 10 \cdot c}{0.8c}= \boxed{25}$$

Es decir, según los observadores que se encuentran en la Tierra, el intrépido viaje de los astronautas habría durado la friolera de 25 años. Sin embargo, según nuestros héroes espaciales, teniendo en cuenta la dilatación del tiempo, el viaje habría durado:

$$\Delta t_{O'} = \dst\frac{\Delta t_O}{\gamma}$$

Calculamos el factor de conversión $\gamma$ del siguiente modo:

$$\gamma=\dst\frac{1}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}}=\dst\frac{1}{\sqrt{1-\dst\frac{(0.8 c)^2}{c^2}}}=1.666$$

Por tanto, el tiempo transcurrido según este sistema de referencia ($O'$) sería:

$$\Delta t_{O'}= \Delta t_O \cdot \sqrt{\dst 1 - \dst\frac{v^2}{c^2}}=\boxed{15}$$

Es decir, si los que ponen el salario, como es de esperar, son los observadores de la Tierra, al abrir los sobres se llevarán una grata sorpresa pues...¡fíjate por donde han estado supuestamente más tiempo viajando! Ergo el salario sería mayor...sin embargo si los astronautas tuvieran que declarar cuánto tiempo han viajado, según ellos, para ponerles el sueldo se llevarían tal desilusión que deberían mantener la boca cerrada, ¿no?

Sería lo mismo si les pagaran por la distancia que han recorrido. Según los observadores de la Tierra, la estrella está situada a 20 años luz, pero, ¿y para nuestros cosmonautas?

$$l_{O'}=\dst\frac{l_O}{\gamma}=l_0\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}= \boxed{6}$$

Es decir, según los astronautas la estrella estaría sólo a 6 años luz, es decir, a 4 años luz menos que para los de la Tierra, por lo que si pagaran por la distancia recorrida, convendría de igual modo que la marcaran los de la Tierra.

Por si te queda alguna duda con respecto a la contracción de la longitud, observa que el resultado es congruente para el astronauta, pues según él, tardaría en regresar a la Tierra:

$$\Delta t_{O'}=\dst\frac{2l_{O'}}{v}=\dst\frac{2\cdot 6\cdot c}{0.8c}=\dst\frac{12}{0.8}=\boxed{15}$$

Justo el mismo resultado al que habíamos llegado antes. Por tanto, si tuviera que dar un consejo a los astronautas sobre su salario, les dirían que lo dejaran en manos de los jefes en tierra

Saludos,

[Becquerel]

Re: Dilatacion dl tiempo

Esto me recuerda a la paradoja de los gemelos resuelta por A. Einstein.

Los astronautas se sorprenderían porque les pagarían más de lo que ellos creían. Desde el punto de vista terrestre habrá pasado más tiempo que desde el punto de vista de los astronautas. La explicación es que el tiempo propio de los astronautas va más lento que el tiempo propio de los "jefes" que permanecen en la Tierra.

Si me corrige o da más detalles, perfecto.

Edito: ya han dado más detalles y encima con un ejemplo práctico

[NaNo_12]

Re: Dilatacion dl tiempo

Muchas gracias a ambos!