2o ciclo Ejercicio de Relatividad 3

[dead1327]

[FONT=Times New Roman]3.-Unanave espacial pasa frente a la Tierra (suponga inercial el sistema) a unavelocidad v = 0.6 c. En ese instante un observador en la Tierra y eltripulante de la nave ponen simultáneamente sus relojes en cero. Cuando eltripulante de la nave lea 60 seg en su reloj mandará una señal luminosahacia la Tierra. Cuando el observador de la Tierra reciba la señal, a su vezmandará hacia la nave una señal de confirmación. Se pide:[/FONT]
[FONT=Times New Roman] a. ¿A qué hora según él relojde la Tierra llega la señal de la nave?[/FONT]
[FONT=Times New Roman] (Rta.:120 seg)[/FONT]
[FONT=Times New Roman] b. ¿A qué hora según el relojde la nave recibirá la señal de confirmación?[/FONT]
[FONT=Times New Roman] (Rta.: 240seg)[/FONT]

[GNzcuber]

Re: Ejercicio de Relatividad 3

Hola dead1327,

En este más que darte indicaciones iré resolviendolo a la vez, para comprobar que no me olvido de nada.

a) En primer lugar, la velocidad relativa es comparable con la velocidad de la luz, por lo tanto los 60s que lee el de la nave, no serán los mismos que el que ve en la Tierra. Pero necesitamos saber el tiempo que ha transcurrido en la Tierra ya que sabiendo la velocidad relativa sabremos la distancia desde que se le envía.

Llamemos $t_T$ al tiempo que pasa en la Tierra y $t_N$ al tiempo que pasa en la nave. Si consideramos que un suceso sucede en la nave como sistema propio, entonces habrá una dilatación temporal por parte del sistema terrestre

$$\displaystyle t_{T,1} = \gamma t_{N,1} = \dfrac{t_N}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} = \frac{60}{\sqrt{1-0.6^2}}s = 75s$$

Según el observador terrestre la nave le envía una luz cuando se encuetra a

$$\displaystyle d_1 = v\cdot t_{T_1} = 0.6 c\cdot 75 s \simeq 0.6\cdot 3\cdot 10^8\cdot 75 \,\mathrm{m} = 1.35\cdot 10^{10}\,\mathrm{m}$$

Por lo que la señal tarda en llegar

$$\displaystyle t_2 = \frac{d_1}{c} = \frac{1.35\cdot 10^{10}}{3\cdot 10^{8}} \,\mathrm{s} = 45\,\mathrm{s}$$

Por lo que el tiempo transcurrido en recibir la señal desde la Tierra será $t_{T,1}+t_2 = (75 + 45)\,\mathrm{s} = 120\,\mathrm{s}$.

b) Mientras la señal recorría el camino para llegar a la Tierra, la nave se movió una distáncia $d_{2}$, y cuando le enviaron la señal isofáctamente desde la Tierra, la señal interceptó a la nave a una distancia $s$.

$$\displaystyle d_2 = v\cdot t_2 = 0.6\cdot 3\cdot 10^8\cdot 45\,\mathrm{m} = 8.10\cdot 10^9\,\mathrm{m}$$

Por lo tanto este ejercicio se ha convertido en el clásico ejercicio de persecución, tenemos que la luz sale del origen a una velocidad $c$ e intercepta a la nave que se encuentra a $d=d_1+d_2$ a una velocidad $v$ en un punto a una distanica $s$ del origen.

$$\displaystyle d=d_1+d_2 = (13.5+8.1)\cdot 10^9\,\mathrm{m} = 2.16\cdot 10^{10}\,\mathrm{m}$$

Como el tiempo transcurrido según un habitante de la Tierra es $t$ tenemos

$$\displaystyle \left.\begin{aligned}<br /> c\cdot t = s \\<br /> d + v\cdot t = s<br /> \end{aligned}\right\} \Rightarrow \qquad\quad<br /> \begin{aligned}<br /> c\cdot t &= d + v\cdot t \\<br /> t &= \frac{d}{c-v} = \frac{2.16\cdot 10^{10}}{0.4\cdot 3\cdot 10^{8}}\,\mathrm{s} = 180\,\mathrm{s} \end{aligned}$$

Sabemos que desde la Tierra el tiempo que tarda en llegar la señal son 45 segundos y en recibirla la nave son 180 segundos más, por lo tanto para la nave habrán pasado (ya que estos sucesos son medidos desde la Tierra) 225 segundos. Pero como los ocupantes de la nave envían y reciben la señal desde la misma ésta es tiempo propio

$$\displaystyle t_{N,2} = \frac{t}{\gamma} = t\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} = 225\sqrt{1-0.6^2} \,\mathrm{s}= 180\,\mathrm{s}$$

Por lo que el tiempo total transcurrido, desde el tiempo cero cuando se encuentran es

$$\displaystyle t_{N} = t_{N,1}+t_{N,2} = (60+180)\,\mathrm{s} = 240\,\mathrm{s}$$

¡Saludos!