1r ciclo colisión relativista

[rupiopan]

Hola! tengo el siguiente problema de una explosión:

" Un cuerpo que está en reposo respecto al laboratorio se rompe espontáneamente en dos partes A y B. La velocidad de la parte A es O,6c y su masa en reposo es 8 kg. La velocidad de la parte B es O,8c y su masa en reposo es 4,5 kg.

Hallar la masa en reposo del cuerpo original.

Discuta si la suma de la masa en reposo de las partículas existentes antes y después de la ocurrencia de este proceso de desintegración se conserva o no.

Calcule la cantidad de movimiento de la parte A y de la parte B.

Compruebe si se veritica o no la ley de conservación de la cantidad de movimiento en este proceso de desintegración.

Señale las consecuencias que derivan de su respuesta. "

La cantidad de movimiento es la relativista y ya está? y lo demás como queda?

Saludos y gracias.

[guibix]

Re: colisión relativista

La cantidad de movimiento es la relativista y ya está? y lo demás como queda?

Sí, la cantidad de movimiento es $\gamma mv$ y ya está. Pero no dice nada de las direcciones que toman las partes. Si van en la misma dirección y sentido opuesto deberían tener la misma cantidad de movimiento para que se conserve la magnitud. Si no tienen la misma no se conserva. Por norma general toda separación de este tipo tiene que conservar la cantidad de movimiento y si no hay algo que más que no se dice.

Lo de la masa en reposo es un poco peliagudo porqué no especifica de dónde sale la energía que provoca la separación. Por como lo dice "espontáneamente" puede ser que esa energía se extraiga de la masa en reposo. De ser así, el total de energía de las partes debería ser la energía de la masa original en reposo:

$$\gamma_Am_Ac^2+\gamma_Bm_Bc^2=m_{original}c^2$$

$$\gamma_Am_A+\gamma_Bm_B=m_{original}$$

Lo de discutir, pues no sé, supongo que es sopesar las posibilidades de que si la energía surge de la masa original, la masa no se conserva y si la energía viene de "fuera" del sistema, la masa se conserva, pero no estoy seguro de si piden esto.

Saludos.

[rupiopan]

Re: colisión relativista

Debe ser eso

Sabes algún enlace donde hablen sobre esto? gracias!!

[guibix]

Re: colisión relativista

Debe ser eso

Sabes algún enlace donde hablen sobre esto? gracias!!

mmm. Ahora mismo no se me ocurre algo concreto, pero desde la wiki a la mayoría de introducciones a la relatividad especial, se comenta el tema de energía y momento lineal de forma bastante clara y concisa. Solo que hay que mirar la dinámica relativista ya que normalmente la relatividad se introduce por la cinemática y la dinámica se explica en segundo término.

Si encuentro algo más concreto te lo digo.

Saludos.

[rupiopan]

Re: colisión relativista

en realidad la fórmula sería

$$\gamma_Am_A{{v}_{A } }^{2 } +\gamma_Bm_B{{v}_{B } }^{2 }=m_{original}c^2$$

de aquí obtengo ${m}_{c }= 8,4 Kg$

está bien? la masa total no es la misma en movimiento que la total parada.

Saludos

[rupiopan]

Re: colisión relativista

En sistema Laboratorio la suma de momentos es 0 no?

Tengo un montón de problemas iguales!!

[guibix]

Re: colisión relativista

Buenas rupiopan,

Ten cuidado que la energía total relativista es $E=\gamma mc^2$ y no $\gamma m v^2$ El factor $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ ya contiene la variable de velocidad. No sea que te hayas confundido con la definición de momento lineal relativista $p=\gamma mv$. Lo que te puse es lo correcto.

Hay una confusión típica debido a que antes se consideraba la masa variable respecto la velocidad con $m=\gamma m_0$, pero ahora ya no se usa el $m_0$ y la masa es invariante (la de toda la vida o $m_0=m$). Lo que pasa es que se considera que lo que "pesa" (gravitatóriamente hablando) es la energía y la masa tiene muchísima. Si le añades energía cinética el sistema "pesará" más, pero la fracción de energía másica es la misma e invariante $E_0=mc^2$. Fíjate que lo que se diferencia es la energía total $E=\gamma mc^2$ y la energía en reposo o másica $E_0=mc^2$. La cinética es la diferencia entre las dos $K=\gamma mc^2-mc^2$.

En tu caso la energía inicial no tiene energía cinética, es solo energía másica $E_{total}=m_{orig}c^2$, luego una parte de la energía másica se convierte en cinética (o eso supongo por el anunciado) y se reparte en dos fragmentos, uno de energía total (másica+cinética) $E_a=\gamma_a m_ac^2$ y el otro de energía total $E_b=\gamma_bm_bc^2$(A y B los pongo en minúscula que confunde menos). De aquí sale la fórmula:

$$E_{total}=E_a+E_b$$

$$m_{orig}c^2=\gamma_am_ac^2+\gamma_bm_bc^2$$

Por lo que:

$$m_{orig}=\gamma_am_a+\gamma_bm_b$$

Con esto deberías poder resolverlo sin dificultades.

Espero haberte ayudado.

Saludos.

[rupiopan]

Re: colisión relativista

Hello!

Me comentan por Facebook que hay que buscar la conservación del cuadrimomento, la suma de momentos es 0 y la masa inicial es 17.5 Kg simplemente haciendo esto

${m}_{c }{c}^{2 }=\gamma {m}_{a } {c}^{ 2} +\gamma {m}_{b }{c}^{2 }$

[rupiopan]

Re: colisión relativista

lo hemos escrito a la vez lol

Gracias!!

[rupiopan]

Re: colisión relativista

me estoy quedando un poco tonto porque esa fórmula que te he puesto es la que me habías puesto tu desde el principio,.

mil gracias de nuevo ))

[guibix]

Re: colisión relativista

me estoy quedando un poco tonto porque esa fórmula que te he puesto es la que me habías puesto tu desde el principio,

Jaja!!, si te contara yo la de veces que me confundo, por suerte esto nos indica que aún somos humanos.

mil gracias de nuevo ))

De nada hombre, siempre es un placer sentirse útil.

Saludos.

[rupiopan]

Re: colisión relativista

hola de nuevo!

y como calculo que la diferencia de masa 17.5-12.5=5 Kg es igual a la energía cinética?

no me sale si hago $5{c}^{ 2}={m}_{ a} {{v}_{a } }^{2 }+ {m}_{b } {{v}_{b } }^{2 }$

[guibix]

Re: colisión relativista

no me sale si hago $5{c}^{ 2}={m}_{ a} {{v}_{a } }^{2 }+ {m}_{b } {{v}_{b } }^{2 }$

Fíjate bien, que te has vuelto a confundir de fórmula

y como calculo que la diferencia de masa 17.5-12.5=5 Kg es igual a la energía cinética?

A ver, lo que te dan es la velocidad y masa de las dos partículas resultantes y debes encontrar la masa del objeto original, luego por conservación de la energía, la energía total inicial tiene que ser igual a la energía total final.

La energía inicial es solamente másica y es toda la que hay "disponible" $E_{tot}=m_{ori}c^2$, en las dos partículas resultantes hay energía másica y cinética y el total de energías resultante debe ser igual a la inicial.

Como la energía cinética es $K=\gamma mc^2-mc^2$ y la másica es $E_0=mc^2$ al sumarse se "cancelan" los $mc^2$ y la energía total de cada partícula queda: $E_p=\gamma_p m_pc^2$

Sólo queda aplicar la fórmula (la buena ) y poner números:

$$m_{orig}c^2=\gamma_am_ac^2+\gamma_bm_bc^2$$

$$m_{orig}=\gamma_am_a+\gamma_bm_b$$

Como $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$$m_{orig}=\frac{m_a}{\sqrt{1-v_a^2/c^2}}+\frac{m_b}{\sqrt{1-v_b^2/c^2}}$$

$$m_{orig}=\frac{8}{\sqrt{1-0.6^2}}+\frac{4.5}{\sqrt{1-0.8^2}}$$

La operación te la dejo para tí

He comprobado que los dos tienen un mismo momento lineal, por lo que también se conserva el momento, lo que significa que van en la misma dirección y sentido opuesto.

$$p_a=\gamma_am_av_a$$

$$p_a=\frac{8*0.6c}{\sqrt{1-0.6^2}}$$

$$p_a=6c$$

$$p_b=\gamma_bm_bv_b$$

$$p_b=\frac{4.5*0.8c}{\sqrt{1-0.8^2}}$$

$$p_b=6c$$

Saludos.