2o ciclo Fuerza magnética para cargas en movimiento

[Mantis]

Hola a todos, el otro día trataba de entender como varía la fuerza magnética con la velocidad para cargas en movimiento y llegué a una complicación de la que no pude salir. Quería ver si alguien me podía ayudar a entender este problema.
Supongamos que nos encontramos en reposo respecto de dos electrones (o protones, lo importante es que se repelan) que se encuentran moviendose a una distancia 'd' con velocidades iguales y paralelas cercanas a la de la luz, de una manera parecida a esta:
o --->

o --->

donde las o son los electrones y la flecha las velocidades.

Según la fisica clásica, aplicamos la ley de Boyt y Savart:

${F}_{mag } = \frac{{\mu}_{0}}{4\pi }\cdot\frac{{v}_{ 1}\cdot{v}_{ 2}\cdot {q}_{1 } \cdot {q}_{ 2}}{{d}^{2 } }$

siendo v₁ = v₂ y q₁ = q₂ y sabiendo que la formula de la fuerza electrica entre los electrones es de:

${F}_{elec } = \frac{{1}}{4\pi \cdot\varepsilon}\cdot\frac{{q}_{ 1}\cdot {q}_{ 2}}{{d}^{2 } }$

Sin hacer cuentas muy complicadas, buscando expresar la f magnetica en función de f electrica, nos queda:

${F}_{mag } = \frac{{\mu}_{0}\cdot 4\pi \cdot\varepsilon}{4\pi }\cdot {F}_{elec } \cdot {v}^{2 }$

Simplificando los 4 pi y recordando la relación:

${\mu}_{0} \cdot\varepsilon = \frac{1}{{c}^{ 2} }$

Nos queda que para cargas iguales con velocidades iguales moviendose paralelamente a una distancia constante d:

${F}_{mag } = {F}_{elec } \cdot \frac{{v}^{2 }}{{c}^{ 2} }$


Bueno, ahora yo quería ver que predice la relatividad:
Si nosotros nos situamos en un sistema inercial de referencia uno que se situe encima de uno de los electrones, diríamos que los dos electrones se encuentran en reposo separados una distancia 'd' uno del otro. Por lo tanto, la fuerza actuante sobre los electrones deberían ser:

${F}_{elec } = \frac{{1}}{4\pi \cdot\varepsilon}\cdot\frac{{q}^{2 }}{{d}^{2 } }$

${F}_{grav } = G\cdot\frac{{m}^{2 }}{{d}^{2 } }$ donde m es la masa de cada electron

Ahora si nos paramos en un sistema de referencia como al principio donde decimos que los electrones están en movimiento, diríamos que las fuerzas que actúan sobre ellos son la gravitatoria, la electrica y la magnética. Debido al principio de equivalencia, la suma de fuerzas entre los electrones medidas desde ambos sistemas inerciales tiene que ser igual, sino sería una incoherencia.
Como los electrones se mueven a velocidades cercanas a la luz con respecto a nuestro nuevo sistema inercial, la distancia entre ellos no es constante, como bien se puede ver con la contracción de lorentz, por lo que la distancia entre los electrones va a variar de la siguiente manera:

$d = {d}_{ 0} \cdot \sqrt{1-{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 }}$

Entonces tendremos que ajustar la fuerza electrica entre los electrones a esta nueva distancia:

${F}_{elec } = \frac{{1}}{4\pi \cdot\varepsilon}\cdot\frac{{q}^{2 }}{{\left( {d}_{ 0} \cdot \sqrt{1-{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 }}\right)}^{2 } }$

Se puede ver que esta nueva fuerza es igual a la fuerza electrica en reposo por el factor de lorentz al cuadrado, escribamos esto:

${F}_{elec } = {F}_{0}\cdot\frac{1}{1-{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 } }$

donde f sub cero es la fuerza electrica entre los electrones en reposo (distancia constante)

Recapitulando a lo que dijimos anteriormente, la suma de fuerzas en ambos sistemas de referencia tiene que ser igual, por lo que en el sistema inercial en el que los electrones estan en movimiento la fuerza magnetica entre los electrones (que los atrae) tiene que ser igual a diferencia entre la fuerza electrica mayor debida a la contraccion de la distancia y la que tendrían los electrones en reposo. De esta manera, si aumenta la fuerza electrica debida a la velocidad, la fuerza magnetica varia de forma tal que cancele este "extra" de fuerza y la fuerza resultante sería igual a que si estuvieran en reposo. Poniendo en una formula lo que dijimos:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot\frac{1}{1-{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 } } - {F}_{0 }$

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot\left(\frac{1}{1-{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 } } - 1\right)$

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot\left(\frac{1-1+{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 }}{1-{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 } } \right)$

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot\frac{{\left(\frac{v}{ c} \right)}^{2 }}{\frac{{c}^{ 2}-{v}^{ 2}}{{c}^{2 } } }$

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot\frac{{v}^{2 }}{{c}^{ 2}-{v}^{ 2}}$

donde f sub cero sigue siendo la fuerza electrica entre los electrones en reposo.

Seguramente han notado que esta nueva expresion para la fuerza magnética es muy similar a la que predijo la fisica clásica, solamente que en este caso tenemos a un v cuadrado restando en el denominador. Si quieren prueben a velocidades bajas si los resultados que dirían las dos ecuaciones son parecidos. Ahora le voy a mostrar lo que predice una y la otra a velocidades bajas:

velocidad de 0.05 c:

Según física clásica:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot 0,0025$

Según la adaptación relativista:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot 0,0025062$


velocidad de 0.2 c:

Según física clásica:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot 0,04$

Según la adaptación relativista:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot 0,041667$


velocidad de 0.8 c:

Según física clásica:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot 0,64$

Según la adaptación relativista:

${F}_{mag } = {F}_{0}\cdot 1,778$


Y si hacemos velocidades más altas, la magnética relativista se nos va a infinito. Hasta acá todo fenómeno, la adaptación relativista parece ser buena, funciona bien a velocidades bajas y al parecer se termina midiendo la misma fuerza desde un sistema inercial de referencia como en el otro, o no.....
El problema que me surgió el otro día yace en el hecho que a medida que aumenta la velocidad, aumenta la masa, según la relatividad, tendiendo a infinito a medida que nos hacercamos a la velocidad de la luz. Entonces nuestro problema no está resuelto, pues la fuerza gravitatoria en reposo entre los electrones no es igual a la fuerza gravitatoria en movimiento debido a dos factores:

Primero, como ya dijimos aumenta la masa, por lo que a medida que aumenta la velocidad, los electrones van aumentando su masa y por consecuente la fuerza gravitatoria entre ellos.
Segundo, como tambien dijimos, a medida que aumenta la velocidad, disminuye la distancia entre los electrones debido a la contracción de lorentz, por lo que la fuerza gravitatoria tambien aumenta en este sentido.

No lo voy a demostrar, pero si escribimos esto en una ecuación nos queda que la fuerza gravitaroria entre los electrones es igual a la fuerza gravitatoria en reposo por el factor de lorentz elevado a la 4, lo cual nos indicaría que a velocidades muy cercanas a la luz los electrones se ¡¡atraerían en vez de repelerse!!, ya que la fuerza gravitatoria aumenta de manera mucho mayor que la fuerza electrica y que la masa misma del electron.

Esto no tendría sentido porque se violaría el principio de equivalencia, por lo que seguramente me he equivocado en alguna consideración o cálculo. Estoy seguro que muchos de ustedes saben más sobre relatividad que yo, asi que si alguien podría aclararme el asunto estaría muy agradecido.

[Al2000]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

...
Como los electrones se mueven a velocidades cercanas a la luz con respecto a nuestro nuevo sistema inercial, la distancia entre ellos no es constante, como bien se puede ver con la contracción de lorentz, por lo que la distancia entre los electrones va a variar de la siguiente manera:
...

Mis disculpas, pero... ¿la distancia entre los electrones no es perpendicular a la dirección del movimiento?

[polonio]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

Además, si se desplazan a la misma velocidad (misma celeridad y paralelamente) no ha fuerza magnética entre ellos pues no hay desplazamiento de un electrón respecto al campo magnético que genera el otro (no hay movimiento relativo entre ellos).

Tu razonamiento hace aguas desde el principio, lo siento.

[guibix]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

Si quitas lo del magnetismo y pones los protones alineados en la dirección del movimiento, entonces no me parece tan mal planteamiento, pero soy incapaz de responderlo.

Yo tengo una duda muy relacionada que hace tiempo que arrastro:

Si un objeto visto en un SRI puede adquirir energía cinética de forma "ilimitada" y si añades la contracción espacial, llegará un momento en que la densidad de energía observada supere la densidad de un agujero negro.

En el SRI del objeto está claro que no va a ocurrir nada, ¿pero, como se explica que en SRI del observador tampoco ocurra nada una vez traspasado el valor del radio de Schwarzschild?

[Mantis]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

Mis disculpas, pero... ¿la distancia entre los electrones no es perpendicular a la dirección del movimiento?

como explicar entonces que los electrones se siguen rechazando con la misma fuerza si no aumenta alguna fuerza en sentido contrario a la del campo magnético?

- - - Actualizado - - -

Además, si se desplazan a la misma velocidad (misma celeridad y paralelamente) no ha fuerza magnética entre ellos pues no hay desplazamiento de un electrón respecto al campo magnético que genera el otro (no hay movimiento relativo entre ellos).

Tu razonamiento hace aguas desde el principio, lo siento.

Analizando la ley de boyt y savart vemos que el campo magnético entre dos cargas en movimiento es directamente proporcional al producto entre sus velocidades (si se encuentran en movimiento paralelo) independientemente si existe o no velocidad relativa entre ellas. te recomiendo leer de vuelta la ley: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Ley_de_Biot_y_Savart

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Si quitas lo del magnetismo y pones los protones alineados en la dirección del movimiento, entonces no me parece tan mal planteamiento, pero soy incapaz de responderlo.

Yo tengo una duda muy relacionada que hace tiempo que arrastro:

Si un objeto visto en un SRI puede adquirir energía cinética de forma "ilimitada" y si añades la contracción espacial, llegará un momento en que la densidad de energía observada supere la densidad de un agujero negro.

En el SRI del objeto está claro que no va a ocurrir nada, ¿pero, como se explica que en SRI del observador tampoco ocurra nada una vez traspasado el valor del radio de Schwarzschild?

es interesante tu planteo, pero no se suficiente sobre el tema como para responder

[Julián]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

Analizando la ley de boyt y savart vemos que el campo magnético entre dos cargas en movimiento es directamente proporcional al producto entre sus velocidades (si se encuentran en movimiento paralelo) independientemente si existe o no velocidad relativa entre ellas. te recomiendo leer de vuelta la ley: http://laplace.us.es/wiki/index.php/..._Biot_y_Savart

Tiene razón polonio. Las velocidades tienen que ser entre las cargas y como las cargas tienen la misma velocidad con respecto al sistema de referencia que tomas, la velocidad entre estas es cero.
Si en cambio habría una tercera carga que tenga velocidad cero esta si sentiría una fuerza magnética debido a las otras dos cargas.
Como vez las cargas sienten fuerza magnética si tienen una velocidad entre estas

[Mantis]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

bueno, puede ser que tengan razón, en fin, parecía divertida la propuesta. gracias a todos por su colaboración, voy a tener que estudiar un poco más antes de hablar. :P buen dia a todos.

[Julián]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

La teoría correcta es la que es validada experimentalmente. Como vos planteaste, diste una teoría pero que en la práctica no funcionaba entonces esa teoría hay que desecharla.

bueno, puede ser que tengan razón, en fin, parecía divertida la propuesta. gracias a todos por su colaboración, voy a tener que estudiar un poco más antes de hablar. :P buen dia a todos.

No es necesario saber todo antes de hablar en este foro, si para eso está para debatir y así aprender. Lo que vos hisiste es tomar las ecuaciones sin el contexto, tenes que entender que las matemáticas son un lenguaje. No es que la ecuación es el fenómeno sino que describen al fenómeno. Vos apliscaste la ecuación de la fuerza magnética sin el contexto y no te percataste que la velocidad es con respecto a las cargas y no la de las cargas. Si vos vas en un auto con un acompañante alado, vos lo ves quieto en cambio otro que esta parado afuera lo que tiene una velocidad.

[Breogan]

Re: Fuerza magnética para cargas en movimiento

Hola:
Quisiera hacer algunas consideraciones al respecto (dentro de mis limitaciones).

1 _ La ley de biot savart no es aplicable para el calculo de fuerzas entre partículas en movimiento cuando las velocidades o las distancias son significativas, ya que empiezan a tener influencia los potenciales retardados. Se debe utilizar la solución de las ecuaciones de maxwell para los campos generados por una carga puntual, y la ley de lorentz para calcular la fuerza entre cargas.

2 _ Los campos no se mueven respecto del observador en el sistema de referencia (el frente de onda si), son vectores variables con el tiempo aplicados en un punto del espacio segun el SRI

3_ Si la distancia ente las cargas es perpendicular a la velocidad no se ve afectado por la contracción espacial. Igual se debe tener en cuenta a velocidades altas la distorcion producida por la velocidad finita de propagación de los campos.

4 _ La fuerza entre las partículas no se conserva al cambiar de SRI, pues la masa inercial también aumenta, y ambas magnitudes cambian de forma que la descripción cinemática del movimiento de los objetos sea coherente con las transformaciones aplicadas.

Suerte
Saludos