Divulgación Ayuda para mi novela

[Seba Plaul]

Hola gente, empecé a escribir mi propia novela de ciencia ficción y los necesito, sobre todo a aquellos que poseen los conocimientos académicos y matemáticos para ayudarme con algunas ideas que quiero introducir en la trama. quiero que por favor me contesten estas preguntas:
Tengo entendido que las dos formas de ''retrasar'' el reloj son a) Moverse y b) ser atraído por gravedad...
bien... quiero saber en primera instancia cual sería la equivalencia matemática entre estos dos factores...es decir... frente a un observador en la tierra, una nave moviéndose a x velocidad ''retrasa'' el reloj x tiempo, o lo mismo que frente a un observador en la tierra alguien sea atraído por una cuerpo de x masa... tengo más preguntas pero hoy estoy escaso de tiempo. Por favor ayúdenme!

[guibix]

Re: Ayuda para mi novela

Hola Seba Plaul.

El fenómeno del que hablas se llama "dilatación temporal" y como bien dices depende de la velocidad relativa y/o de la diferencia de potencial gravitatorio (que no es lo mismo que la fuerza de gravedad, pero está relacionado).

Si asumimos que la Tierra no tiene ni una velocidad ni una gravedad suficientes para apreciar esos efectos, entonces podemos despreciar su velocidad y gravedad.

Lo primero que hay que entender es que estos efectos dependen completamente de la situación del observador y puede ser un efecto recíproco (en el caso de la velocidad). Si un observador A ve otro observador B a cierta velocidad con sus efectos relativistas, entonces el observador B verá que es el observador A el que se mueve a esa misma velocidad en sentido opuesto y con los mismos efectos relativistas. En otras palabras: si A observa que el tiempo de B se dilata, entonces B verá la misma dilatación sobre A. Ten en cuenta que para cualquier observador, su tiempo propio nunca se ve afectado por ningún efecto relativista. De la misma manera todos los observadores se ven a si mismo en reposo y es todo lo demás lo que puede moverse respecto a él. Uno nunca se mueve respecto a si mismo.

La fórmula para conocer la dilatación temporal en función de la velocidad observada es:

$$\Delta t_0=\Delta t \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$$

donde $\Delta t$ es incremento de tiempo que se mide el observador en su propio reloj, $\Delta t_0$ es el tiempo que el observador mide en el reloj del objeto que se mueve a velocidad $v$ y $c$ es la velocidad de la luz. Esto es así siempre que la velocidad sea constante. Fíjate que si $v$ se acerca a $c$ el tiempo observado tiende a 0.

Para dilatación temporal debida al potencial gravitatorio tenemos que recurrir a la función que determina ése potencial. Para un astro de masa $M$ idealizado en un solo punto, el potencial $V$ viene definido por

$$V=-\frac{GM}{r}$$

Siendo $G$ la constante universal de gravitación y $r$ el radio que hay desde el punto observado y el centro de gravedad del astro.

Si un observador se encuentra fuera del campo gravitatorio (esto sería en un punto en el infinito) y observa un objeto/observador dentro del campo gravitatorio, entonces la fórmula para la dilatación temporal es

$$\Delta t_0=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{2GM}{rc^2}}$$

Aquí también podemos ver que para un radio suficientemente pequeño la dilatación temporal tiende a 0, éste sería el radio de un agujero negro de masa $M$ y se define como el radio de Schwarzschild $r_0$

$$r_0=\frac{2GM}{c^2}$$

Ésta formula y la anterior solo son válidas para campos gravitatorios de simetría esférica y no sirve para el campo bajo la superficie del astro, ni para distribuciones heterogéneas de masa. Es decir, se considera la masa como concentrada en un punto. Pero con ella se puede aproximar la mayoría de casos. Combinando las dos últimas expresiones se obtiene

$$\Delta t_0=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{r_0}{r}}$$

Otra cosa a tener en cuenta es que, en caso de la gravedad, el efecto no es recíproco: el observador en el campo verá pasar el tiempo del observador fuera del campo más rápidamente.

Por ahora no me extiendo más que la cosa se complica. Espero que te sirva y no dudes en preguntar cualquier cosa que no veas clara.

Por otra parte, a mi personalmente, me gustaría saber algunas cosas de tu novela: ambientación, tecnología, trasfondo, etc. No hace falta hacer "spoilers", pero me pica la curiosidad .

Saludos y hasta la próxima.

[Seba Plaul]

Re: Ayuda para mi novela

Muchas gracias por la ayuda. Con gusto te puedo comentar cosas de mi novela, mejor dicho, la idea general de la misma, pero no por aquí, si tenes facebook o mail, bienvenido sea.
Volviendo a mi duda, podrías ayudarme siendo un poco más específico con la respuesta? yo lo que quiero saber es lo siguiente.
tenemos un hombre aquí en la tierra y otros dos en las afueras de la estratosfera, uno decide alejarse de la tierra utilizando velocidad y el otro lo hace dejándose atraer mediante gravedad. Entonces, cual sería la equivalencia entre las ecuaciones para qué, frente al mismo tiempo transcurrido en la tierra, los otros dos tengan el mismo retraso. la respuesta tendría que tener este formato (si es que es posible):
un cuerpo de x masa que es atraído por otro de x masa a x distancia, al cabo de x tiempo (tiempo medido por el que se quedó en la tierra) sufre un retraso de x tiempo con respecto al terrestre. es equivalente a que una nave de x masa a x velocidad durante x tiempo (terrestre). gracias nuevamente

[darioe]

Re: Ayuda para mi novela

No soy más que un aficionado, pero pienso que:
En las cercanías de la tierra el retraso del tiempo debido a la atracción de la gravedad de la misma es despreciable y el factor principal que determinará dilatación de tiempo es la velocidad de lo que se mueve. Por ejemplo un satélite a 200 km de altura se moverá a 27400 km por hora para mantenerse en órbita.

$At = At0 * \sqrt{1/(1-{v}^{2}/{c}^{2 })} \approx At0$

(Eso es que casi no hay dilatación)

Quedaría plantear la velocidad de un cuerpo que se cae desde miles de kilometros de distancia hacia la tierra.
(Me hace acordar a un post que inicié hace un tiempo)

[guibix]

Re: Ayuda para mi novela

Buenas de nuevo,

Si te fijas bien con las ecuaciones 1 y 3 responden a tu pregunta.

La primera te dice el tiempo $\Delta t_0$ que transcurre para un objeto a velocidad $v$ medido desde un sistema de referencia en reposo (la Tierra por ejemplo). Si pones en $\Delta t$ el tiempo transcurrido en la Tierra, $v$ con el valor de la velocidad deseado y el valor de la velocidad de la luz, tienes todos los elementos para encontrar ése $\Delta t_0$ que buscas.

Para la ecuación 3 tenemos lo mismo, si pones un radio $r$ que es la distancia al objeto de masa $M$, la constante universal de la gravedad $G$ y el tiempo $\Delta t$ medido en la Tierra (suponiendo que el campo no afecta a la Tierra), encontrarás el tiempo del objeto $\Delta t_0$.

Ahora bien, yo te he presentado las ecuaciones del tiempo propio del objeto en función del tiempo del observador y la velocidad por un lado, y de la masa, distancia y el tiempo del observador por el otro. Si lo que quieres es una expresión que relacione una velocidad en función de la masa y del radio, solo tienes que crear un sistema para las dos ecuaciones. Como quieres un mismo tiempo propio para los dos casos, entonces los lados derechos de las dos igualdades de 1 y 3 son iguales entre si

$$\Delta t \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{2GM}{rc^2}},$$

los tiempos medidos en la Tierra también son el mismo tiempo, por lo que los $\Delta t$ se cancelan. Y saltándome los pasos aíslo la $v$

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{rc^2}}.$$

Aquí tienes una ecuación que te dice a que velocidad debe ir un objeto para tener la misma dilatación temporal que otro objeto que se encuentra a una distancia $r$ de un objeto de masa $M.$

Si lo quieres al revés es un poco más difícil ya que la gravedad depende de dos variables (masa y radio) y la velocidad es una sola variable. Para hallar un solo resultado debes elegir un radio o una masa y aislar la otra:

$$r=\frac{2GM}{v^2c^2},$$

$$M=\frac{rv^2c^2}{2G}.$$

¿Es esto lo que buscabas?

Salud!