El campo gravitatorio uniforme

[alshain]

Hace ya un tiempo que he constatado que el campo gravitatorio uniforme de la relatividad general es más complejo de lo que uno podría pensar basándose sólo en la intuición. He visto publicadiones donde se confunde el tipo de movimiento que produce para objetos estacionarios y los de caída libre, y donde se confunden sus propiedades con el campo newtoniano. Pero principalmente para aclarar estas cosas a mí mismo, he preparado un sencillo artículo donde pretendo derivar un par de resultados básicos. La intención es derivar los resultados más relevantes sin referir a otros documentos. El artículo no está acabado y tiene partes donde escribo entre corchetes cosas que pienso que aún habría que hacer. Me gustaría mucho recibir comentarios, tanto sobre errores, como sobre cosas que se consideran relevantes y que faltan ahí.

Un saludo.

[alshain]

Introducción

La piedra angular sobre la que se asienta la relatividad general, el principio de equivalencia, postula que un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme es físicamente equivalente a un observador uniformemente acelerado. El análisis y la comprensión del campo gravitatorio uniforme es por tanto una parte esencial para entender la relatividad general. Este campo es estructuramente el más sencillo, pero la intuición que se tiene de él, derivada de la gravitación newtoniana, puede dar lugar a confusiones. De hecho, incluso en la literatura especializada se encuentran algunos errores al respecto, probablemente debidos a que algunos autores se dejaron llevar por una prematura intuición. Este artículo pretende derivar un par de resultados estándar y sencillos sobre el campo gravitatorio uniforme en la relatividad general y la gravitación newtoniana. La intención del artículo es meramente didáctica.

En este artículo vamos a proceder de la siguiente forma. Primero partiremos del campo gravitatorio newtoniano, el ejercido por una lámina infinita de densidad uniforme. En un primer paso asumiremos que no existe la relatividad general y consideraremos la gravitación descrita en términos newtonianos en el marco de la relatividad especial. Es decir, consideraremos la gravitación como una fuerza en el espacio-tiempo plano. De aquí obtendremos que tal campo da lugar a un movimiento hiperbólico sobre el cuerpo que actúa.

Luego pasaremos a analizar el problema desde el punto de vista de la relatividad general. Aquí ya no vale hablar de fuerzas. Debido al principio de equivalencia el campo gravitatorio uniforme es descrito de igual forma que en un sistema uniformemente acelerado. Mostraremos la equivalencia entre un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme (el de Rindler) y un observador uniformemente acelerado en movimiento hiperbólico. La gravitación en un campo gravitatorio uniforme es debida a los símbolos de Christoffel no nulos al estar en un sistema uniformemente acelerado.

En el marco de la relatividad general las geodésicas en un campo gravitatorio uniforme son líneas rectas en un sistema cartesiano ("sistema de Minkowski") inercial. Esto es así porque realmente estamos en el "espacio-tiempo de Minkowski". La equivalencia entre un campo gravitatorio uniforme y un sistema uniformemente acelerado significa que el campo gravitatorio uniforme es un espacio-tiempo plano, sin curvatura alguna. Esto es, trataremos con la solución de Minkowski (el espacio-tiempo plano de la relatividad especial) a las ecuaciones de Einstein. Es importante notar que en realidad no vamos a buscar otra solución a las ecuaciones de Einstein. Lo que buscamos son sistemas coordenados diferentes al de Minkowski "inercial" para describir el espacio-tiempo de Minkowski. Son las propiedades de estos sistemas lo que nos interesa.

Es lo mismo transformar una recta en el sistema de Minkowski por medio de una transformación de coordenadas al sistema uniformemence acelerado ("sistema de Rindler"), que obtener la ecuación geodésica en el sistema de Rindler. Esto es debido a que estamos en un mismo espacio-tiempo y sólo modificamos el sistema coordenado desde el cual describimos esas trayectorias. Esto lo muestraremos también en el artículo, aunque no de forma muy estricta.

También veremos que la noción del campo gravitatorio newtoniano no corresponde con el sistema de Rindler en la relatividad general. Para que exista una equivalencia entre ambas descripciones (el campo gravitatorio uniforme descrito por el sistema de Rindler y el campo gravitatorio uniforme newtoniano actuando en la relatividad especial) deben darse ciertas condiciones que se pueden verán en el artículo. En cualquier caso, si entre ambas descripciones hay que elegir una "correcta" entonces hay que quedarse con la de la relatividad general. Pero precisamente otra cosa interesante es que en la relatividad general la noción de campo gravitatorio uniforme no es única, y que su definición está ligada a ciertas premisas muy concretas (rigidez de Born).

¿Qué ocurre con "otros campos gravitatorios uniformes"? Pues hay varias posibilidades. Investigar esto, en concreto su relación con el modelo newtoniano y el de la cuadrifuerza en la relatividad especial, creo que sería un tema muy interesante. Nada nuevo supongo, pero que personalmente la verdad no he visto en detalle en la literatura, ya que siempre se toma "obviamente" al campo gravitatorio uniforme como el de Rindler. Una determinada noción de reposo creo que es la clave del asunto aquí como veremos.

El campo gravitatorio uniforme newtoniano

La noción intuitiva del campo gravitatorio uniforme nos proviene de la gravitación newtoniana. En ella, consideramos un campo gravitatorio uniforme creando una aceleración constante en todo el espacio. Tal campo es resultado de la atracción gravitatoria que ejerce una pared infinita de densidad uniforme $\rho$ [1]



Un anillo de anchura infinitesimal y radio $R$ tiene una masa igual a $G \rho ( \pi (R + dr)^2 - \pi R^2 )$. Por tanto, su contribución a la componente vertical de la fuerza gravitatoria newtoniana sobre una masa $m$ localizada a una altura $h$ (y a una distancia $\sqrt{h^2 + R^2}$ del anillo) es

$\displaystyle dF = \frac{Gm\rho}{h^2 + R^2} \left( \pi (R + dR)^2 - \pi R^2 \right) \left(\frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}} \right)$

Despreciando el término en $dR^2$ se tiene

$\displaystyle dF = 2\pi G m \rho h \frac{R}{\left(h^2 + R^2\right)^{3/2}}dR$

Integrado para todos los valores del radio desde cero hasta infinito resulta en

$\displaystyle dF = 2\pi G m \rho h \int_0^{\infty} \frac{R}{\left(h^2 + R^2\right)^{3/2}}dR = 2 \pi G \rho m$

En definitiva, sobre una masa $m$ la pared ejerce una fuerza independiente de la altura a la cual tal masa está localizada. Aplicando la segunda ley de Newton en el marco de la mecánica newtoniana no relativista, la ecuación de movimiento para tal masa cayendo hacia la pared en la dirección vertical $Z$ es

$a_Z = 2 \pi G \rho = g$

El campo gravitatorio uniforme newtoniano en la relatividad especial

Consideremos ahora un campo gravitatorio como en anterior, con una fuerza gravitatoria newtoniana constante, ejercida en un marco relativista. Denominemos $(T, X, Y, Z)$ a un sistema coordenado cartesiano en un espacio-tiempo de Minkowski. Partiendo de la definición de cuadrivelocidad

$U = \gamma (u_0, \textbf{v}) = \gamma (1, \textbf{v})$

y de la cuadrifuerza en un espacio-tiempo plano

$\displaystyle F = \gamma (f_0, \textbf{f}) = m \frac{dU}{d\tau} = m \frac{d(\gamma (1, \textbf{v}))}{dT} \frac{dT}{d\tau}$

se puede reformular (recordando que $\gamma = dT/d\tau$) la segunda ley de newton para la parte espacial de 3-vectores ($\textbf{f} = d\textbf{p}/dT$)

$\displaystyle \textbf{f} = m \frac{d (\gamma \textbf{v})}{dT} = \gamma m \textbf{a} + \gamma^3 m (\textbf{v} \cdot \textbf{a}) \textbf{v}$

Sabemos que el campo gravitatorio newtoniano sólo tiene una componente en la dirección $Z$, que vale $mg$ por lo que

$m g = \gamma m a_Z + \gamma^3 m (v_X a_X + v_Y a_Y + v_Z a_Z) v_Z$
$0 = \gamma m a_X + \gamma^3 m (v_X a_X + v_Y a_Y + v_Z a_Z) v_X$
$0 = \gamma m a_Y + \gamma^3 m (v_X a_X + v_Y a_Y + v_Z a_Z) v_Y$

Es decir, en este marco considerado la caída de un cuerpo depende de su velocidad transversal a la dirección $Z$. Nótese que esto no viola el principio de equivalencia, ya que este implica que todas las masas con condiciones iniciales idénticas espacio-temporales van a caer igual. El efecto de la velocidad transversal es colocar a la masa en una geodésica espacio-temporal diferente que la lleva por otro camino espacio-temporal de caída. Para simplificar la situación concentrémonos en el caso de movimiento con velocidad en la dirección $Z$ únicamente. La única ecuación relevante es por tanto

$m g = \gamma m a_Z + \gamma^3 m v^2_Z a_Z$

Asumiendo $m$ como la masa invariante en reposo del objeto en cuestión tenemos

$a_Z = g ( 1 - v^2_Z)^{3/2}$

y

$\displaystyle a_Z = \frac{g}{\gamma^3}$

Este es el movimiento de una masa sobre la cual actúa una fuerza constante. A este movimiento se lo denomina también movimiento hiperbólico, como veremos a continuación. Una fuerza constante sobre un objeto da por tanto lugar a un movimiento hiperbólico de este.

La aceleración propia

Primero hay que hacer un alto para definir apropiadamente el concepto de aceleración propia. Esta es la variación de la velocidad respecto del tiempo propio en el marco comóvil con el objeto. De la definición de cuadriaceleración en un espacio-tiempo plano y en nuestro caso unidimensional simplificado

$\displaystyle A = \frac{dU}{d\tau} = ( \gamma^4 a_Z v_Z, \gamma^2 a_Z + \gamma^4 (v^2_Z a_Z))$

colocándonos en un sistema comovil con el objeto y imponiendo por tanto $v_Z = 0$ ($\gamma = 1$) para su velocidad en tal sistema, se tiene

$\displaystyle A = \frac{dU}{d\tau} = (0, a_Z)$

que es la aceleración propia $\alpha = a_Z$, expresada no obstante en las coordenadas $(T, X, Y, Z)$ y no comóviles con el objeto. Para reescribirlo consideramos que

$\displaystyle \frac{dv_Z}{dT} \frac{dT}{d\tau} = \frac{dv_Z}{du_Z} \frac{du_Z}{d\tau}$

y por tanto

$\displaystyle \frac{dv_Z}{dT} \gamma \frac{du_Z}{dv_Z} = \frac{du_Z}{d\tau}$

donde $u_Z$ es la velocidad del sistema comóvil con el objeto. El factor que falta resultan de la ley de adición de velocidades $v_Z = (u_Z + v_Z)/(1 + v_Z u_Z)$

$\displaystyle \frac{du_Z}{dv_Z} = \frac{1}{\gamma^2}$

Finalmente

$\alpha = \gamma^3 a_Z$

Para el caso del campo gravitatorio uniforme descrito anteriormente vemos ahora que la ecuación de movimiento corresponde a un movimiento con aceleración propia constante tal que

$\alpha = g$

El movimiento hiperbólico

Para expresar el movimiento con aceleración propia constante $\alpha = g$ en términos de $(T, X, Y, Z)$ partimos otra vez de la segunda ley de Newton para la parte espacial

$\displaystyle m g = m \frac{d(\gamma v_Z)}{dT}$

con $v_Z = dZ/dT$, que resolvemos como

$g T = \gamma v_Z$

$\displaystyle \frac{dZ}{dT} = \frac{g T}{\sqrt{1 + g^2 T^2}}$

esto es

$\displaystyle Z = \frac{g T + 1}{g}$
$Z^2 - T^2 = g^2$

Esto es una hipérbola en el plano $(T, Z)$, de ahí el nombre de movimiento hiperbólico.



Queremos encontrar ahora un sistema coordenado nuevo $(t, x, y, z)$ comóvil con el objeto en movimiento hiperbólico. Este sistema resulta ser [2]

$\displaystyle t = \frac{1}{g} \text{arctanh} (T/Z)$
$x = X$
$y = Y$
$z = \sqrt{Z^2-T^2}$

Para un objeto con $z = const.$ (y también $x = const.$ e $y = const.$) se se cumple

$Z^2 - T^2 = const.$

Es decir, en las coodenadas $(T, X, Y, Z)$ el objeto es visto con movimiento hiperbólico. La transformación inversa resulta ser

$T = z \sinh (gt)$
$X = x$
$Y = y$
$Z = z \cosh (gt)$

A este nuevo sistema coordenado se lo conoce con el nombre de sistema de Rindler. Veamos ahora qué forma tiene el elemento de línea de Minkowski $ds^2 = - dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2$ en este nuevo sistema coordenado. Como se tiene que

$dT = dz \sinh (gt) + z g dt \cosh (gt)$
$dX = dx$
$dY = dy$
$dZ = dz \cosh (gt) + z g dt \sinh (gt)$

usando las propiedades de las funciones hiperbólicas

$ds^2 = - dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2 = - (z g)^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Propiedades del movimiento hiperbólico

En $T = 0$ y $t = 0$ se tiene $Z = z$. Consideremos una barra de longitud $L$ colocada inicialmente en el eje $Z$. ¿Se mantendrá su longitud si es uniformemente acelerada? Hay varias formas de mostrar que sí se mantendrá, siempre y cuando la definición de aceleración uniforme y movimiento hiperbólico corresponda con la dada previamente y el elemento de línea mencionado sea aplicable (y globalmente válido).

La forma más trivial, aunque a la vez conceptualmente más sofisticada, es notar que existe una isometría en el sistema de Rindler en la dirección temporal. La distancia entre dos puntos estacionarios, de $z$ constante, se mantendrá por tanto constante a medida que avanza $t$. Es decir, existe un vector temporal de Killing (véase por ejemplo en apéndice C.3 de [3]). Esto es equivalente a que la derivada temporal del elemento de línea o la métrica es cero, cosa que de hecho es así para el elemento de línea en el sistema de Rindler. La situación es similar al movimiento inercial en el espacio de Minkowski. Tal movimiento observa una métrica o elemento de línea en la forma usual de Minkowski, la cual da lugar también a una isometría en la dirección temporal. Por tanto, ahí también se conservan las distancias cuando observadas desde el mismo sistema coordenado. A esta propiedad del movimiento uniformemente acelerado tal y como es definido aquí se la denomina rigidez de Born.

Importante es notar por otro lado que los observadores estacionarios que mantienen una distancia constante en diferentes puntos del sistema de Rindler no tienen la misma aceleración. Para mostrarlo calculemos la cuadriaceleración en el sistema de Rindler:

$\displaystyle A^{\lambda} = \frac{dU{^\lambda}}{d\tau} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}U^{\mu} U^{\nu}$

Como se trata de un objeto estacionario en el sistema de Rindler su cuadrivelocidad será $U = (u_0, 0, 0, 0)$. En concreto, será también $U \cdot U = -1$ y por tanto $U = (1/z, 0, 0, 0)$. Con ello la expresión para los símbolos de Christoffel queda

$\displaystyle \Gamma^{\lambda}_{00} = \frac{1}{2} g^{\lambda \lambda} (g_{\lambda 0, 0} + g_{\lambda \beta, 0} - g_{\alpha \beta, 0}) = \frac{1}{2} g^{33} g_{00, \lambda}$

y con $g^{33} = 1$

y el único símbolo de Christoffel no nulo en esta expresión es

$\Gamma^3_{00} = \frac{1}{2} g^{33} g_{00, 3} = g^2 z$

Insertando en la expresión anterior con $a_Z = A^3$

$\displaystyle a_Z = g^2 z \frac{1}{z^2} = \frac{g^2}{z}$

En definitiva, la rigidez de Born requiere de una aceleración diferente en puntos diferentes.



El campo gravitatorio uniforme de Rindler en la relatividad general

Como hemos mencionado en la introducción, la equivalencia entre un campo gravitatorio uniforme y un sistema uniformemente acelerado significa que el campo gravitatorio uniforme es un espacio-tiempo plano, sin curvatura alguna. Esto es, estamos tratando constantemente con la solución de Minkowski (el espacio-tiempo plano de la relatividad especial) a las ecuaciones de Einstein. Es importante notar que en realidad no vamos a buscar otra solución a las ecuaciones de Einstein. Lo que buscamos son sistemas coordenados diferentes al de Minkowski "inercial" para describir el espacio-tiempo de Minkowski. Son las propiedades de estos sistemas lo que nos interesa. Llegar a esto es posible o bien partiendo del elemento de línea de Minkowski y luego realizando una transformación de coordenadas, o bien analizando las propiedades del campo gravitatorio uniforme diréctamente como en la derivación de Rohrlich que vamos a seguir.

Para obtener un campo gravitatorio uniforme en la relatividad general procedamos de la siguiente forma [4]. Partamos primero de la expresión más general posible para una métrica estática

$ds^2 = - g_{tt} dt^2 + g_{ij}(z) dx^i dx^j$

en la cual ningún coeficiente depende del tiempo. Dado que el campo es homogeneo en las coordenadas $x, y$ los coeficientes van a depender sólo de $z$. Un cambio de coordenadas adecuado nos permite diagonalizar la métrica

$ds^2 = - D_t dt^2 + D_x dx^2 + D_y dy^2 + D_z dz^2$

La definición de los símbolos de Christoffel es

$\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} g^{\mu} (g_{\mu \alpha, \beta} + g_{\mu \beta, \alpha} - g_{\alpha \beta, \mu})$

y para la métrica mencionada resultan en

$\displaystyle \Gamma^t_{tz} = \frac{1}{2} \frac{\dot D_t}{D_t}$
$\displaystyle \Gamma^t_{tz} = \frac{1}{2} \frac{\dot D_x}{D_x}$
$\displaystyle \Gamma^x_{xx} = \frac{1}{2} \frac{\dot D_t}{D_t}$
$\displaystyle \Gamma^z_{xx} = - \frac{1}{2} \frac{\dot D_x}{D_z}$
$\displaystyle \Gamma^z_{zz} = \frac{1}{2} \frac{\dot D_z}{D_z}$
$\displaystyle \Gamma^z_{tt} = \frac{1}{2} \frac{\dot D_t}{D_z}$

Ahora, la condición de tener curvatura nula implica que se han de anular todos los componentes del tensor de curvatura de Riemann.

La condición de curvatura nula viene dada de forma natural por el principio de equivalencia. El principio de equivalencia exige que un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme ha de ser equivalente a un observador uniformemente acelerado. Es decir, el observador en un campo gravitatorio uniforme ha de poder eliminar el efecto del campo gravitatorio por medio de una transformación de coordenadas. Esto sólo es posible si la curvatura es nula, es decir, si se anulan todos los componentes del tensor de curvatura de Riemann.

Esto impone las dos siguientes condiciones [X esto habría que calcularlo X], donde la prima significa derivada respecto de $z$ e $i = t, x, y$:

$\dot D_t \dot D_x = \dot D_t \dot D_y = \dot D_x \dot D_y = 0$
$\displaystyle 2 \ddot D_i - \frac{\dot D^2_i}{D_i} - \frac{\dot D_z \dot D_i}{D_z} = 0$

Esto significa que dos de $D_t$, $D_x$, $D_y$ son constantes. Para investigar esto tomemos un ejemplo de una partícula no-relativista en el límite newtoniano. Su ecuación geodésica es:

$\displaystyle \frac{d^2 x^{\mu}}{d\tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 0$

Al ser no relativista podemos aproximar el tiempo propio por $t$. Además, supongamos una situación en la que la partícula está inicialmente sin velocidad. En tal caso su cuadrivelocidad es $u = (1, 0, 0, 0)$. La ecuación geodésica para la componente $z$ del movimiento queda:

$\displaystyle \frac{d^2 x^{\mu}}{dt} + \Gamma^{\mu}_{00} = \frac{d^2 x^{\mu}}{dt} + \frac{D^{\prime}_t}{2D_z} = 0$

De esta ecuación se desprende que $D^_t$ ha de depender de $z$, ya que de otra forma en el límite newtoniano una partícula en reposo no aceleraría nunca. Como dos de $D_t$, $D_x$, $D_y$ son constantes esto significa que $D_x$ y $D_y$ son constantes y se pueden reabsorber en la definición de $D_t$. La métrica queda:

$ds^2 = - D_t(z) dt^2 + dx^2 + dy^2 + D_z(z) dz^2$

Imponiendo la condición de curvatura nula mencionada anteriormente

$\displaystyle 2 \frac{\ddot D_t}{\dot D_t} - \frac{\dot D_t}{D_t} - \frac{\dot D_z}{D_z} = 0$

que resulta en

$ds^2 = - D_t(z) dt^2 + dx^2 + dy^2 + \left( \sqrt{D_z(z)}^{\prime}} \right)^2 dz^2$

[X imponer el límite newtoniano X]

Tomemos el campo más sencillo acorde con esa métrica y supongamos que $D_z(z)}^{\prime} = const.$ por lo que $D_z = Az + B$. Esta es precisamente la forma de la métrica mencionada anteriormente para un observador comóvil con un sistema uniformemente acelerado. Recordemos el sistema de Rindler:

$ds^2 = - (gz)^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Con un cambio de coordenadas

$t = t$
$gz = 1 + gz$

se obtiene el sistema de Möller

$ds^2 = - (1 + gz)^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Los símbolos de Christoffel correspondientes son:

$\displaystyle \Gamma^3_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} g^{33} (g_{3 \alpha, \beta} + g_{3 \beta, \alpha} - g_{\alpha \beta, 3}) = \frac{1}{2} g^{33} g_{\alpha \beta, 3}$
$g_{3 \alpha, \beta} = g_{3 \beta, \alpha}$
$\Gamma^3_{00} = g(1 + gz)$
$\displaystyle \Gamma^0_{30} = \Gamma^0_{03} = \frac{2}{(1 + gz)^2}$

La ecuación geodésica para un objeto en caída libre expresada en coordenadas $(t, x, y, z)$ es

$\displaystyle \frac{d^2 z}{d \tau^2} = - \Gamma^3_{00} \left( \frac{dt}{d \tau} \right)^2 = g(1 + gz) \left( \frac{dt}{d \tau} \right)^2$

con

$v^2 = v^2_x + v^2_y + v^2_z$
$\displaystyle \left( \frac{dt}{d \tau} \right)^2 = \frac{1}{(1 + gz)^2 - v^2}$

Para nuestro caso simplificado de movimiento unidimensional $v_x = v_X = 0$ y $v_y = v_Y = 0$ por lo que $v = v_z$ y

$\displaystyle \frac{d^2 z}{d \tau^2} = - \frac{g (1 + gz)}{(1 + gz)^2 - v^2_z}$

y

$\displaystyle \frac{d^2 z}{dt^2} = - g (1 + gz)$

Esta ecuación de movimiento expresada en las coordenadas $(T, X, Y, Z)$ da lugar a un movimiento inercial, rectilíneo y uniforme. Podemos verificar esto pasando al sistema de Rindler en el cual $z = (1 + gz)$ y para el cual ya tenemos las transformaciones de coordenadas puestas arriba. En tal caso:

$\displaystyle \frac{d^2 z}{dt^2} = - g z$

y notando que

$\displaystyle \frac{d^2 z}{dt^2} = \left( \frac{dT}{dt} \right)^2 \frac{d^2z}{dT^2}$
$\displaystyle \frac{dT}{dt} = g Z$
$\displaystyle \frac{d^2z}{dT^2} = \frac{Z^2}{(Z^2 + T^2)^{3/2}}$

se tiene

$\displaystyle g^2 Z^2 \frac{Z^2}{(Z^2 + T^2)^{3/2}} = - g z$

que con $z = \sqrt{Z^2 + T^2}$ es

$Z = \pm \, T/2$

es decir, un movimiento inercial, rectilineo y uniforme.

Con lo mencionado anteriormente podemos derivar otras propiedades de este nuevo espacio-tiempo, que en concordancia con la literatura lo denominaremos espacio-tiempo de Rindler.

Primero hay que notar que dos observadores estacionarios en el espacio-tiempo de Rindler están soportados por fuerzas que dan lugar a aceleraciones diferentes (recordemos: dos observadores uniformemente acelerados manteniendo la misma distancia $z$ no miden la misma aceleración propia).

La transformación que convierte al elemento de línea de Rindler a la forma de Minkowski (y anula los símbolos de Christoffel) es igual a la expresión paramétrica de la trayectoria hiperbólica expresada en $(T, X, Y, Z)$ en función de los parámetros $t, z$. Esta es una trayectoria hiperbólica en el espacio-tiempo de coordenadas $(T, X Y, Z)$, correspondiente con un objeto con aceleración uniforme medida en el sistema instantaneamente comóvil con él (el sistema de Rindler).

Consideremos por tanto que estamos en un sistema inercial en el espacio-tiempo de Minkowski descrito por medio de un sistema coordenado cartesiano $(T, X, Y, Z)$. Consideremos una partícula en movimiento hiperbólico - en una línea de mundo hiperbólica - respecto de nosotros. Ahora hagamos una transformación de coordenadas de forma que la métrica de Minkowski se convierta en la métrica de Rindler. Es decir, nos ponemos en un sistema de referencia en el cual describimos el elemento de línea con la forma de Rindler. Esta es la transformación de coordenadas que hemos mencionado arriba ya. Consecuentemente, convertimos el movimiento de la partícula respecto de nosotros al nuevo sistema coordenado. En el nuevo sistema de referencia $(t, x, y, z)$ la partícula estará estacionaria respecto de nosotros.

De igual forma, podemos considerar primero una partícula estacionaria en un sistema de Rindler. Ahora en vez de pensar en un sistema uniformemente acelerado como antes podemos pensar ya en un campo gravitatorio uniforme. Cambiamos el sistema de referencia a un sistema coordenado de cartesiano correspondiente con el observador inercial de Minkowski. Este sistema es un sistema en caída libre ya que los símbolos de Christoffel en el nuevo sistema se anulan. Pues bien, el movimiento de la partícula estacionaria será visto como movimiento hiperbólico desde este nuevo sistema de referencia en caída libre. Si por otro lado nos quedamos estacionarios y vemos caer libremente una partícula, el movimiento será el dado por la ecuación de movimiento presentada arriba en esta sección.

Otros campos gravitatorios uniformes en la relatividad general

Si ponemos una serie de objetos en el eje $Z$ y los sometemos a aceleración uniforme, van a trazar hipérbolas en el plano $(T, Z)$. Hemos visto que para que las distancias entre estos objetos se mantengan constantes cuando son medidas en los sistemas comóviles con ellos, entonces las aceleraciones de los diferentes objetos no pueden ser iguales. La obtención del sistema de Rindler y con él del espacio-tiempo de Rindler como implementación de un determinado campo gravitatorio obedece por tanto a una muy determinada definición de reposo.

¿Qué ocurre si en vez de imponer tal condición preferimos imponer la idea o condición de que todos los objetos tengan la misma aceleración? En tal caso vamos a tener hipérbolas desplazadas la una respecto de la otra. Para la hipérbola pasando por el orígen:

$Z^2 - T^2 = 1$
$Z = \sqrt{1 + T^2}$

Si las hipérbolas han de estar meramente desplazadas la una respecto de la otra, podemos introducir una coordenada $z$ (no confundirla con la $z$ del sistema de Rindler porque no es la misma) tal que parametrize las diferentes hipérbolas

$Z = z + \sqrt{1 + T^2}$



De la expresión anterior se tiene:

$\displaystyle dZ = dz + \frac{t}{\sqrt{1 + T^2}} dt$

imponiendo ademas que $x = X$, $y = Y$ y $t = T$ y sustituyendo en el elemento de línea de Minkowski, se tiene

$\displaystyle ds^2 = - dt^2 + dx^2 + dy^2 + \left( dz + \frac{t}{\sqrt{1 + T^2}} dt \right)^2$
$\displaystyle ds^2 = - \frac{1}{1 + t^2}dt^2 + \frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}}dtdz + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Hay que notar que esta expresión siempre puede ser puesta en la forma diagonal y por último en la forma general mencionada anteriormente para un campo gravitatorio uniforme sin curvatura. Para ello se puede proceder por ejemplo como [5] en el principio del capítulo 5. Al fin y al cabo todo campo gravitatorio uniforme carece de curvatura y puede ser transformado por medio de una transformación de coordenadas al espacio-tiempo plano y con ello todos ellos entre si. Este campo en particular tiene no obstante la diferencia fundamental que la derivada temporal de la métrica respecto del tiempo, en este sistema coordenado, no es nula. No existen isometrías temporales aquí y la distancia de una barra en aceleración uniforme definida de esta forma no es medida constante por los observadores comóviles a ella.

[X habría que calcular propiedades de un espacio-tiempo así X]

Referencias

[1] An Infinite Wall, http://www.mathpages.com/home/kmath530/kmath530.htm
[2] Rindler Coordinates, http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_space
[3] R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984
[4] M. Vallisneri, Relativity and Acceleration, Università degli studi di Parma
[5] S. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, gr-qc/9712019

[[Beto]]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Hola, se ve interesante, pero ¿no preferirias que lo ubiquemos en el subforo de colaboraciones? ... digo como es un pequeño artículo iría a la web y como desde hace un par de meses también se pueden comentar los contenidos de la web en el foro no habría problema.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Yo no puedo entrar en ese subforo. No tengo problema si quieres que el artículo se quede luego en la web en algún lugar si se considera interesante para ello, pero primero me gustaría recibir comentarios y discutirlo. Cuando lo vea discutido y me sienta algo más seguro de él haré un .pdf.

Un saludo.

[carroza]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Hola. Gracias por el articulo. Resulta muy útil y pedagógico.

Algun comentario, a vuelapluma:

1)


Parece que aqui estás igualando un trivector con la derivada de un cuatrivector, no?
¿La expresión correcta no sería
${\bf f} = m {d (\gamma {\bf v}) \over dT}$

2) Podia ser útil mencionar que en la definición de fuerza que aqui se utiliza,
${\bf f} = {d {\bf p} \over dT}$.

3) Podria ser útil derivar este caso a partir de la solución de Schwarzchild en el límite de masas y distancias grandes, para un intervalo pequeño del espacio, en el que pueda considerarse la gravedad constante.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Gracias carroza, corregiré el punto 1) y mencionaré el 2).

[[Beto]]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Yo no puedo entrar en ese subforo. No tengo problema si quieres que el artículo se quede luego en la web en algún lugar si se considera interesante para ello, pero primero me gustaría recibir comentarios y discutirlo. Cuando lo vea discutido y me sienta algo más seguro de él haré un .pdf.

Un saludo.

Bueno para eso tienes que unirte al grupo de colaboradores, y ahí puedes entrar a ese subforo, eso se hace en el panel de control de usuario. En ese subforo se lo publica y luego se lo discute, y cuando se lo considera correjido y todo eso se lo pasa a la web.

Un saludo.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Otra cosa que sería interesante mostrar, y que choca también con la imagen del campo gravitatorio uniforme de la gravitación newtoniana, es que el observador de Rindler (estacionario en el campo) no puede describir de forma completa una trayectoria de caída libre, inercial y no acelerada, en él. Esto es porque que existe un horizonte causal y la definición de las coordenadas de Rindler vale sólo para un sector del espacio-tiempo, dentro del horizonte.

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

No creo que sea tan sorprendente. Simplemente es consecuencia de una mala elección de coordenadas que ni siquiera cubre todo el espaciotiempo. Con una extensión analítica se ve que el espaciotiempo de Rindler es geodésicamente completo y que no ocurre nada.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Efectivamente, un comentario oportuno. Al fin y al cabo, y siendo estrictos, estamos hablando todo el rato del espacio-tiempo de Minkowski de la relatividad especial. El espacio-tiempo de Rindler es el mismo que el de Minkowski, en el sentido que es la misma solución a las ecuaciones de Einstein, pero observado desde un sistema uniformemente acelerado y alcanzable por medio de la transformación de coordenadas mencionada arriba.

El sistema de Rindler tiene la característica de que los observadores acelerados se ven manteniendo la misma distancia entre si (rigidez de Born). La cuestión creo que interesante es: si encuentro un sistema coordenado que describe mi campo gravitatorio uniforme de forma completa y cubriento todo el espacio-tiempo, entonces ¿se mantienen esas propiedades? si no, ¿en qué sentido son las nuevas propiedades aceptables para definir apropiadamente un campo gravitatorio uniforme en la relatividad general?

Un saludo.

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Efectivamente, un comentario oportuno. Al fin y al cabo, y siendo estrictos, estamos hablando todo el rato del espacio-tiempo de Minkowski de la relatividad especial. El espacio-tiempo de Rindler es el mismo que el de Minkowski, en el sentido que es la misma solución a las ecuaciones de Einstein, pero observado desde un sistema uniformemente acelerado y alcanzable por medio de la transformación de coordenadas mencionada arriba.

El sistema de Rindler tiene la característica de que los observadores acelerados se ven manteniendo la misma distancia entre si (rigidez de Born). La cuestión creo que interesante es: si encuentro un sistema coordenado que describe mi campo gravitatorio uniforme de forma completa y cubriento todo el espacio-tiempo, entonces ¿se mantienen esas propiedades? si no, ¿en qué sentido son las nuevas propiedades aceptables para definir apropiadamente un campo gravitatorio uniforme en la relatividad general?

Un saludo.

No se si te he entendido, pero el describir un espacio tiempo se debe coger la extensión analítica máxima, en la cual, si existe una singularidad es una signularidad "real" (en algún sentido como que no sea geodésicamente completo, o algún riemmann se hace infinito).

Haciendo la extensión analítica del espaciotiempo de Rindler se recupera Minkowsky, por tanto en realidad estamos hablando de un espaciotiempo plano sin gravedad.

Yo no he visto ningún modelo que describa un campo gravitatorio uniforme en todo el espaciotiempo, de hecho no sé si es lícito considerar que los campos no se anulen en el infinito (distribuciones acotadas de masa).

En cualquier caso, según veo así a simple vista, deberías resolver las ecuaciones de Einstein con T = 0 y tomando simetría cilíndrica y la métrica más general en estas coordenadas, aunque no sé si esto es factible.

En el caso de coordenadas esféricas, tú puedes hayar la métrica más general en dichas coordenadas, y por el teorema de Birkoff este espaciotiempo esféricamente simétrico debe ser estático y viceversa. Lo cual permite hacer un análisis explícito de la métrica. No sé si ocurrirá algo parecido en simetría cilíndrica.

De hecho, como defines un campo gravitatorio uniforme en RG?

Al margen yo te aconsejaría utilizar los Killing y las cantidades conservadas para no tener que calcular tantos símbolos de Chris, como he visto ojeando tu post.

[Entro]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Ciertamente un campo uniforme en relatividad general no debe de ser nada facil de describir. Pero supongo que si exiges que Weyl se anule será una buena manera de empezar, Weyl controla los efectos de marea y la distorsión geodésica. Y según entiendo aquí no habría tal distorsión.

Muy posiblemente lo que planteas sería un caso extremo del ejemplo de Einstein. Tendríamos un universo plano repleto de ascensores o cohetes todos acelerando igual. Por lo tanto, ahí no habría gravedad estrictamente hablando...

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Ciertamente un campo uniforme en relatividad general no debe de ser nada facil de describir. Pero supongo que si exiges que Weyl se anule será una buena manera de empezar, Weyl controla los efectos de marea y la distorsión geodésica. Y según entiendo aquí no habría tal distorsión.

Muy posiblemente lo que planteas sería un caso extremo del ejemplo de Einstein. Tendríamos un universo plano repleto de ascensores o cohetes todos acelerando igual. Por lo tanto, ahí no habría gravedad estrictamente hablando...

Si por distorsión geodéisca te refieres a desviación geodésica, la dependecia es sobre el tensor de Riemman, el cual no se tiene por qué anular cuando Weyl se anula...creo recordar.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

De hecho, como defines un campo gravitatorio uniforme en RG?

Exacto, he ahí la cuestión. El campo gravitatorio uniforme es un espacio-tiempo plano sin curvatura, aunque no estoy de acuerdo con eso de "un espaciotiempo plano sin gravedad". La gravedad no sólo es manifestación de la curvatura, como hemos debatido ya aquí.

Efectivamente al pasar a coordenadas inerciales y recuperar el espacio-tiempo de Minkowski completo la caracterización de "campo gravitatorio uniforme" desaparece. Seguramente ninguna de las definiciones posibles cubra todo el espacio-tiempo y en todos aparezcan horizontes debido a la aceleración constante necesaria en uno u otro sentido.

La definición usual de campo gravitatorio uniforme en la literatura es el campo de Rindler. Pero existen otros, como el último que he escrito. Si no me confunde la intuición el último descrito tiene un horizonte diferente para cada observador, creo, cosa que también sería interesante de mostrar.

Todos se pueden obtener en el espacio-tiempo de Minkowski con un cambio de coordenadas hacia un observador acelerado. En mi opinión las diferentes posibilidades en la definición de "acelerado" aparecen con definiciones diferentes de lo que significa "estar en reposo".

Muy posiblemente lo que planteas sería un caso extremo del ejemplo de Einstein. Tendríamos un universo plano repleto de ascensores o cohetes todos acelerando igual. Por lo tanto, ahí no habría gravedad estrictamente hablando...

Exacto. La pregunta es ¿cómo aceleran esos ascensores y cómo se observan los unos respecto de los otros? ¿qué llevó a Einstein y a la tradición después de él a tomar como paradigma de "campo gravitatorio uniforme" al campo de Rindler? y ¿cómo encaja tal campo con la tradición newtoniana? Estas preguntas y otras son las que me parecen tan interesantes en este contexto.

[Adosgel]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Un campo gravitatorio uniforme no produce mareas, pero sí produce presión y temperatura sy incluimos el resto de campos, ya que su tensor sí cuenta para estos. Esta sería la diferencia en mi opinión, con un espaciotiempo plano. Existiría pues para la observación una inflacción negativa global no localizable que obligaría las interacciones de otros campos.

Pero claro, no se darían partículas materiales sin gradientes que las definan, y estos no se darían en este espaciotiempo. Así que vuelta a empezar.... ¿qué es lo que se observaría en un espaciotiempo de propiedades de campo gravitatorio uniforme?.

Nota: creo que es importante el entender que un campo gravitatorio uniforme no puede tener gradiente de campo, toda pretensión de dar un gradiente comun y paralelo en todos sus puntos anularía el campo como campo espacial tridimensional, porque representaría la reducción métrica en el tiempo en una sola dirección, osea dimensión.
Y toda pretensión de crear gradientes de distintas direcciones y sentidos, define la localización espaciotemporal en mayor o menor medida de la fuente del campo, lo que hace un campo no uniforme.

Saludos.