1r ciclo Problema de relatividad-cosmología protón

[BACANALATOR]

Hola a todos!

Alguien podría ayudarme un poco con este problema, como abordarlo?

Os lo pongo aquí, muchas gracias por adelantado.

Nuestra galaxia mide de extremo a extremo cerca de 10^5 años-luz y las partículas conocidas con mayor energía poseen una energía de unos 10^19 eV. ¿Cuánto tiempo tardará un protón que posea esta energía en atravesar la galaxia si el tiempo se mide en el sistema de reposo de :

A)La galaxia.
B)La partícula.

Saludos

[arivasm]

Re: Problema de relatividad-cosmología protón

Con la energía y la masa en reposo del protón determinas $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, pues $E=\gamma m c^2$. Con él puedes obtener la velocidad del protón en un SR ligado a la galaxia y entonces el tiempo $\tau$ medido en dicho sistema. Para obtener el tiempo $\tau_0$ en el SR ligado al protón bastará con que tomes en consideración la ecuación para la dilatación temporal $\tau = \gamma \tau_0$

[Charli]

Re: Problema de relatividad-cosmología protón

[FONT=Verdana]Por el primer postulado de la teoría de Einstein (el Principio de Relatividad) tan cierto es decir que el protón se mueve relativamente con respecto a la galaxía como que la galaxía se mueve relativamente con respecto al protón.[/FONT]
[FONT=Verdana]Aplicando la fórmula relativista de la dilatación temporal que utiliza arivasm se obtienen estos dos resultados contradictorios (según se aplique para uno u otro SR):[/FONT]
[FONT=Verdana]1) Para el protón transcurre menos tiempo que para la galaxia, de modo que el protón “envejece” menos que la galaxia.[/FONT]
[FONT=Verdana]2) Para la galaxia transcurre menos tiempo que para el protón, de modo que es la galaxia la que debe envejecer menos que el protón.[/FONT]

[arivasm]

Re: Problema de relatividad-cosmología protón

Lo que dice Charli no es correcto. Olvida que el tamaño de la galaxia en el SR del protón será diferente que el que tiene en el SR ligado a la galaxia. Por otra parte, la energía que se da para el protón es la que corresponde al SR ligado a la galaxia. En el SR ligado al protón sería, por supuesto, $mc^2$.

De todos modos, nada impide resolver el problema, una vez conocida la velocidad relativa entre el protón y la galaxia, determinando primero la longitud (contraída) de la galaxia en el SR del protón, que sería $L=L_{gal}/\gamma$, y después obtener el tiempo que se mide en dicho SR para el recorrido completo de la galaxia por el punto en que se encuentra el protón, que sería $\dst\tau_0=\frac L v=\frac{L_{gal}}{\gamma v}=\frac{\tau}{\gamma}$, que es, como ves, el mismo resultado que con el enfoque anterior.

[arivasm]

Re: Problema de relatividad-cosmología protón

[FONT=Verdana]si consideras que es la galaxia la que se mueve relativamente (a velocidad constante v) con respecto al protón y resuelves el problema desde el SR de la galaxia...[/FONT]

Evidentemente, en el SR de la galaxia ésta no se mueve. Si dices "la galaxia es la que se mueve con respecto al protón" entonces es que estás tomando el SR fijo al protón.

[guibix]

Re: Problema de relatividad-cosmología protón

[FONT=Arial]Esto es lo que normalmente se ha llamado “la paradoja de los relojes” y que, en mi opinión, nunca ha sido resuelta por la escuela relativista.[/FONT]

Hola Charli.

Parece que tiene algunos conceptos incompletos de la Teoría de la Relatividad Especial (TRE).

Si miramos el protón desde el SRI de la galaxia, vemos el reloj del protón ir más lento. Y si medimos el tiempo de la galaxia desde el SRI del protón, mediremos el reloj de la galaxia ir más lentamente. No se rompe ninguna simetría y por lo tanto sigue siendo imposible determinar quién se mueve más que quién. Por eso se le llama Relatividad.

Esto NO es un contradicción. Lo parce porqué la dilatación temporal y la contracción espacial no son suficientes para explicarlo. Para entenderlo hace falta el concepto de simultaneidad relativa.

Si pones dos relojes sincronizados con el SRI de la galaxia, uno al inicio del recorrido del protón y uno a su llegada. Entonces para el SRI del protón, los dos relojes van más lentos pero el reloj de la meta no se ve sincronizado con el de la salida, está mucho más abanzado. Entonces el protón tardará menos tiempo en recorrer la galaxia porqué la ve contraída. Pero al llegar a su destino, verá que el reloj de la meta marca el tiempo que ha tardado el viaje para el SRI de la galaxia. O sea que todo cuadra. Es algo la TRE resuelve perfectamente. Y normalmente con añadir relojes al problema se puede ver como toda aparente contradicción desaparece.

Cuando se estudia esto en la carrera, se pueden ver infinidad de problemas que son aparentes paradojas para el ojo inexperto, pero que la teoría resuelve de manera que las paradojas desaparecen y toda la simetría se conserva. Incluso la famosa Paradoja de los Gemelos (en donde sí se rompe la simetría) está más que explicada sin salir de la TRE.

Saludos.

[arivasm]

Re: Problema de relatividad-cosmología protón

Lo explicaré con los números de este ejercicio.

Sistema de referencia fijo a la galaxia: en dicho sistema el protón posee una energía de $10^{19}\ \rm eV$, como su energía en reposo es de 938 MeV, eso implica que $\gamma=\notcien{1,066}{10}$ y entonces $v\approx c=\notcien{3}{8}\ \rm m/s$. En dicho sistema el protón tarda en recorrer los $10^5$ años-luz, es decir, $\notcien{9,461}{16}\ \rm m$ un tiempo de $\notcien{9,461}{16}/\notcien{3}{8}=\notcien{3,154}{8}\ \rm s$.

De acuerdo con la transformación de Lorentz en el sistema de referencia del protón el tiempo transcurrido es $\notcien{3,154}{8}/\gamma=0,0296\ \rm s$.

Sistema de referencia fijo al protón: Puesto que la galaxia se mueve con $\gamma=\notcien{1,066}{10}$ y entonces $v\approx c=\notcien{3}{8}\ \rm m/s$ su longitud aparecerá contraída hasta un valor de $\notcien{9,461}{16}/\gamma=\notcien{8,877}{6}\ \rm m$.

Por tanto, en dicho sistema de referencia el tiempo que tardará la galaxia entera en pasar por el punto donde está el protón será $\notcien{8,877}{6}/\notcien{3}{8}=\notcien{3,154}{8}\ \rm s$

[FONT=Arial]Esto es lo que normalmente se ha llamado “la paradoja de los relojes” y que, en mi opinión, nunca ha sido resuelta por la escuela relativista.[/FONT]

Si a lo que usted se refiere es a la llamada paradoja de los gemelos, simplemente se equivoca. Puede leer al respecto de la solución relativista en innumerables lugares, como por ejemplo en esta entrada de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoj...vidad_especial

Terminaré aclarando que éste es un foro en el que, entre otras finalidades, se pretende ayudar a estudiantes a comprender conceptos de Física. Si lo que usted desea es argumentar en contra de la Teoría de la Relatividad los hilos como éste no son el lugar adecuado.