1r ciclo Problema - Electrón en campo eléctrico

[Diferencial]

Hola a todos, me surgen pequeñas dudas a la hora de resolver el siguiente problema:

Tenemos un electrón oscilando en un campo eléctrico generado por un gas ionizado. El efecto de estos iones se puede describir mediante un potencial unidimensional $V(x)=mc^2\eta |x|$.
1- Obtener la ecuación de movimiento del electrón.
2- Obtener la energía.
3- Usando la energía como integral primera, obtener la ecuación de movimiento a través de una integral. Calcular el periodo de oscilación del electrón.

No he tenido problema resolviendo los dos primeros apartados.
El primero se resuelve fácilmente utilizando la expresión

$\dfrac{d \pi}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial V}{\partial \dot{x}} \right) - \dfrac{\partial V}{\partial x}$,

la cual se deduce a partir de la ecuación de Euler-Lagrange y $\pi$ es el momento cinemático de la partícula, $\pi \equiv m \gamma v$. Se obtiene como resultado que $\dot{\pi}=\mp m c^2 \eta$.

El segundo apartado se resuelve obteniendo el lagrangiano del sistema y haciendo uso de la expresión

$E=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x} - L$

de forma que la energía se reduce a $E=mc^2(\gamma + \eta |x|)$.

Mi duda viene en el último apartado. ¿Lo que me están pidiendo es que exprese la ecuación anterior de la energía en función de la velocidad (sustituyendo gamma por $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$) y que a continuación plantee la integral correspondiente para obtener $x(t)$? ¿El periodo de oscilación se obtendría haciendo la segunda derivada del potencial y encontrando "la constante elástica"?

Gracias a todos.

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Duda solucionada, gracias por si alguien lo ha intentado.
Si deseáis saber cómo se resuelve el último apartado pedídmelo por privado

[guibix]

Re: Problema - Electrón en campo eléctrico

Si deseáis saber cómo se resuelve el último apartado pedídmelo por privado

Estaría bien que pusieras lo que has hecho. Así podrá ser útil, si en un futuro alguien le interesa, sin tener que pedírtelo ni esperar a que le respondas.

Gracias y un saludo

[Diferencial]

Re: Problema - Electrón en campo eléctrico

Por petición de guibix y oscarmuinhos voy a resolver el último apartado.

Puesto que la energía se mantiene constante, podemos expresarla en términos de su elongación máxima, a,

$E=mc^2(\gamma + \eta |x|)=mc^2(\eta a + 1)$ .

De esto obtenemos la relación

$\gamma + \eta |x| = \eta a + 1$ .

Consideremos x > 0:

La ecuación anterior se convierte en

$\gamma + \eta x = \eta a + 1$ .

Si expresamos $\gamma$ en función de la velocidad, despejando obtenemos finalmente

$\dot{x}=\pm \dfrac{c \sqrt{\eta^2x^2-2\eta (1+a \eta)x + a \eta (2 + a \eta)}}{1+a \eta - \eta x}$

Puesto que $\dot{x} \equiv \frac{dx}{dt}$, entonces podemos plantear la integral

$\pm \dst \int_{x_0}^{x} \dfrac{1+ a \eta - \eta x}{c \sqrt{\eta^2 x^2 - 2 \eta (1+a \eta ) x + a \eta (2 + a \eta )}} dx = \int_{t_0}^{t} dt$

Resolviendo ésta hallamos la ecuación horaria

$\dfrac{\mp \sqrt{\eta(a-x)(2+a \eta - \eta x)} \pm \sqrt{\eta(a-x_0)(2+a \eta - \eta x_0)}}{c \eta} = t - t_0$

donde el primer par de signos se corresponde a velocidades positivas y el segundo a velocidades negativas.

Consideremos x > 0:

La ecuación se convierte en

$\gamma - \eta x = \eta a + 1$ .

Procedemos de la misma forma que anteriormente, obtienendo la solución


$\dfrac{\pm \sqrt{\eta(a+x)(2+a \eta + \eta x)} \mp \sqrt{\eta(a+x_0)(2+a \eta + \eta x_0)}}{c \eta} = t - t_0$ .

Finalmente, el periodo se obtiene estudiando una de las dos soluciones en el primer cuarto de periodo, considerando

$x(t=0) = 0 \ \text{ y } \ x(t=T/4) = a$

Sustituyendo, por ejemplo, en la primera solución (x positivas) obtendríamos

$\dfrac{T}{4} = \dfrac{\sqrt{\eta a (2 + a \eta)}}{c \eta}$

Y por último

$T = \dfrac{4\sqrt{\eta a (2 + a \eta)}}{c \eta}$ .

Disculpad los posibles errores a la hora de escribir las ecuaciones.