2o ciclo vectores de killing y FLRW

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Hola chicos,si alguien entiende mas o menos por donde van los tiros en este enunciado estaría muy agradecido porque no entiendo como relacionar los vectores de killing y la función de la geodésica :


considerando la métrica plana FLRW g=-dt²+a(t)²(dx²+dy²+dz²) y la geodésica r(s)=(t(s),x(s),y(s),z(s)) usar los vectores de killing
[FONT=sans-serif] L1=[/FONT]_x y L2=_y para demostrar que es consistente asumir que la geodesica tiene y(s)=0 y x(s)=0

Simplemente si teneis mas o menos una idea de como empezar porque estoy perdidísimo..
Un saludo!

[Rama]

Re: vectores de killing y FLRW

Hola, primero tengo unas dudas con lo que dices. Si la metrica FRW no depende de x,y,z lo cual es evidente ya que es el caso de universo plano, entonces debería tener 3 vectores de Killing inmediatos que son L1=x, L2=y pero también L3=z, sin embargo solo pones los primeros dos...Bueno, suponiendo que sólo quieres usar L1 y L2 el cálculo es el siguiente. Primero, dado que los vectores de Killing generan las isometrías, es decir, para cualquier métrica g (con sus respectivos índices covariantes claro) se cumple x(g)=0, y y(g)=0 entonces se conserva el momento en las direcciones x,y por lo tanto las derivadas de estos momentos, con respecto al parámetro s, son cero. Por otra parte, hay que calcular las geodésicas del modelo FRW que tienes (es laborioso pero directo). En estas ecuaciones geodésicas (que son cuatro) vas a tener 3 ecuaciones asociadas a las derivadas de los momentos de las coordenadas x,y,z y la ecuacion asociada al tiempo t(s). En estas 4 ecuaciones, es fácil ver que si aplicas las condiciones encontradas anteriormente, es decir, que las derivadas de los momentos son cero (tomando en cuenta claro, que el momento es la derivada de la coordenada con respecto al parámetro s) implica del conjunto de 3 ecuaciones que las derivadas dx/ds,dy/ds,dz/ds son cero, a menos que dt/ds sea cero, pero de la otra ecuacion restante si dt/ds es cero, implica a su vez que dx/ds,dy/ds,dz/ds son cero, por lo que a final de cuentas las 4 son consistentes con dx/ds,dy/ds,dz/ds iguales a cero. Entonces, la solución general a las geodésicas es t(s)=As+B con A y B constantes arbitrarias y x(s)=D,y(s)=E, z(s)=F con D, E, y F constantes arbitrarias que claramente puedes tomar D=0 y E=0 por ejemplo, si quieres. Espero, que te sirva la idea.

Saludos