Comportamiento de la gravedad segun Einstein

[Weip]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Me gustaría poder ver la demostración matemática con tranquilidad, así que ¿saben donde puedo ver tal demostración?

La verdad es que hay poca documentación en internet porque en el caso de la gravedad, el cálculo no tiene interés apenas. Como en el mundo real todo son esferas macizas, el resultado siempre es el mismo. Y cuando no hay que aplicar Relatividad. En el campo eléctrico sí es más interesante, porque puedes tener muchas formas diferentes para estudiar (cilindros cargados por ejemplo).

Creo que acabaremos antes si te pongo aquí la demostración. Empecemos:

El campo gravitatorio $\vec{g}$ cumple el teorema de Gauss (el porqué ya es demasiado difícil de explicar aquí):

$\dst\int_S \vec{g} \cdot d\vec{S}=-4\pi Gm$

Ahora elegimos lo que se llama una superfície gaussiana. Básicamente es una superfície inventada por nosotros que encierra un determinado volumen (con una masa encerrada) de tal forma que en todo los puntos de la superfície la gravedad tiene el mismo valor. En el caso que nos ocupa tenemos un planeta esférico, por lo que escogemos la superfície de una esfera como superfície gaussiana. Nosotros queremos calcular el campo en el interior del planeta, con lo que situamos nuestra esfera imaginaria dentro del planeta, encerrando una masa arbitraria $m$ (la masa del planeta será $M$). Esta esfera tiene radio $r$, mientras que el planeta tendrá radio $R$. Entonces tenemos que $d\vec{S}=\vec{n}dS$, con $dS$ un diferencial de superfície gaussiana, con lo que $S$ será el área total (por este tipo de vectores preguntabas el otro día).

Con esta elección, $d\vec{S}$ está definido en todos los puntos de la superfície y está dirigido hacia el interior de la esfera (es un vector normal a un trozo infinitesimal de superfície pero dirigido hacia dentro, si te es más visual). Con todo esto, empecemos el cálculo. Los vectores $\vec{g}$ y $d\vec{S}$ están dirigidos hacia el centro del planeta, con lo que:

$\dst\int_S \vec{g} \cdot d\vec{S}=\dst\int_S gdS\cos 0=\dst\int_S gdS$

Hemos elegido nuestra superfície gaussiana de forma que el campo fuera constante en todos los puntos. Por lo tanto:

$\dst\int_S gdS=g \dst\int_S dS=gS$

Aplicando el teorema de Gauss que he enunciado anteriormente:

$gS=-4 \pi Gm$

$g=-\dst\frac{4 \pi Gm}{S}$

El área de nuestra esfera de radio $r$ será $4 \pi r^2$. Sustituyendo y simplificando:

$g=-\dst\frac{Gm}{r^2}$

Ahora podemos establecer las siguientes relaciones entre las masas y la densidad $\rho$:

$m=\dst\frac{4}{3} \pi r^3 \rho$
$M=\dst\frac{4}{3} \pi R^3 \rho$

Si sustituimos en nuestra expresión y simplificamos todos los términos (no lo detallaré, tan sólo hay que saber manipular expresiones) encontramos que la gravedad en el interior del planeta es:

$g=-G \dst\frac{M}{R^3}r$

Y en el centro del planeta, $r=0$ con lo que $g=0$.

Ahora unos comentarios acerca del teorema. La elección de la superfície gaussiana es sumamente importante. Si la hubiéramos elegido fuera del planeta (para calcular la gravedad exterior) el campo sería el dado por Newton originalmente. Y solo serviría para puntos del exterior del planeta. Decir también que la superfície gaussiana puede tener la forma que quieras y no es requisito que la gravedad sea igual en todos los puntos de la superfície, pero entonces el problema se complica muchísimo. Ya que podemos elegir la forma que queramos, mejor elegir una que nos facilite la vida.

Otro comentario es que a la integral:

$\dst\int_S \vec{g} \cdot d\vec{S}$

Se le llama flujo de campo gravitatorio y se denota por $\phi$. Intuitivamente, lo puedes ver como la cantidad de líneas de campo que atraviesan una determinada superfície.


Finalmente y como curiosidad, los campo eléctrico y magnético también cumplen el teorema, pero el lado derecho toma entonces otra forma. De hecho, el teorema aplicado al campo eléctrico y magnético son las primera y segunda ecuaciones de Maxwell en forma integral, respectivamente.

Y hasta aquí la demostración. Como digo hay poca bibliografía acerca de este teorema para la gravedad, el cálculo siempre es el mismo así que no hay misterio.

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Yo es que no tengo el nivel en física suficiente, espero adquirirlo en unos meses y por ello no lo he calculado por cálculo, he tratado de visualizarlo mediante analogías, en este caso fue la imagen del tejido.
Y Weip gracias por confirmar una duda que tenía, cuando me refería que era menos empinada no dije que era nulo porque no estaba seguro, tenía la impresión pero no estaba seguro.
Me gustaría poder ver la demostración matemática con tranquilidad, así que ¿saben donde puedo ver tal demostración?

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Las ecuaciones matemáticas se inventaron para algo. Para poder hacer análisis cualitativos es necesario haber resuelto antes numéricamente muchas ecuaciones, no es tan fácil. En cualquier caso las afirmaciones que yo he hecho aquí se obtienen fácilmente mediante calculo matemático, lo que ocurre es que es necesario tener un buen nivel en mates para entenderlos. Si nos liamos a resolver ecuaciones con integrales y teoremas del análisis pues imagino que alguno se va a quedar descolgado. Pero estas cosas en teoría clásica de campos (electromagnetismo, gravitación etc.) son muy elementales y cualquiera con algo de práctica los podría hacer usando tan solo la cabeza. Ocurre claro está que a nivel de divulgación estas cosas resultan a veces sorprendentes, pero trabajando con los principios y leyes de la teoría, y con unos conocimientos suficientes de matemáticas resultan tan básicas que el hecho de que alguien las cuestione suele dejar un cierto regusto desagradable. No estoy tratando de ridiculizar a nadie, y estoy dispuesto a aclararos todas las dudas que se os planteen y que pueda, pero si como respuesta recibo el que se cuestionen mis observaciones, sin tener argumentos suficientes para hacerlo de forma clara pues no vamos a llegar muy lejos.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

la curva es más empinada (por así decirlo) en la corteza que en el centro la cual es mucho menos empinado

No es que esté menos empinado, es que el campo es nulo en el centro (lo puedes visualizar como que el tejido está plano). Por otro lado, tampoco intentaría forzar las analogías. Todas fallan en algún punto, así que es fácil llegar a conclusiones erróneas. Lo digo por si acaso, que uno pensando en estas cosas al final acaba hecho un lío.

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Ya entendí por qué el máximo es en la corteza, aunque me ha costado verlo por mi cuenta sin usar cálculo y métodos matemáticos, si no me equivoco esto ocurre porque cuando uno curva el tejido, la curva es más empinada (por así decirlo) en la corteza que en el centro la cual es mucho menos empinado, entonces debido a ello se adquiere mayor velocidad donde mayor curvatura haya.
Pero he aquí mi duda, un agujero negro que tiende a infinito ¿Dónde sería su máxima?

[SerMuFer91]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Si si lo acabo de leer, no me habia percatado antes. Como ya he dicho, solo soy un aficionado a estos temas sin conocimientos demasiado complejos. Desconozco la densidad del interior de la tierra. Lo siento.

Gracias por responder, pero como suele pasar, la respuesta a una pregunta genera muchas mas preguntas jajaja. Seguiré investigando al respecto con la informacion que me habeis proporcionado.

Muchisimas gracias a todos.

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

¿Has leído mi último mensaje SerMuFer91?

- - - Actualizado - - -

En cualquier caso un análisis cualitativo, no cuantitativo, del campo gravitatorio en el interior de la tierra nos dice que dicho campo en un punto arbitrario solo depende de la masa situada a mayor profundidad que el punto considerado y por lo tanto podemos concluir que en cualquier punto del interior de la tierra el campo gravitatorio estará dirigido hacia su centro, excepción hecha del centro del planeta donde será nulo.

Salu2, Jabato.

[SerMuFer91]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Gracias Weip por el enlace, me ha quedado claro con tu explicacion el por qué se encuentra el los puntos maximos de superficie, sin embargo todos esos calculos se escapan a mi conocimento. Entonces respecto a mi anteior pregunta, ¿seria atraido por la superficie o por el centro? No me ha quedado claro.

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Totalmente correcto Weip. Aunque esa gráfica supone una densidad constante y en el caso de la tierra la densidad es mayor en el centro que en la superficie, pero el resultado sería parecido, en el interior de la tierra el campo iría disminuyendo a medida que nos acercamos al centro, hasta anularse, aunque no disminuiría de forma lineal pero la gráfica seguiría teniendo un máximo en la superficie r=R y se anularía en el centro r=0. No hay más que aplicar el teorema de Gauss para realizar el cálculo, que en este caso es muy fácil.

Disculpa SerMuFer91 si no contesto a tu pregunta, aunque lo haré si me dices cual es la distribución de densidad en interior de la tierra, ya que no la conozco. Se que la densidad varía con el radio y por lo tanto la masa se distribuye en forma de capas concéntricas de densidad uniforme, pero no conozco los valores de la densidad en función de la distancia al centro, ¿los conoces tu?

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Pienso que es contradictorio en cuanto que Malevolex ha dicho "el campo gravitatorio de un planeta, en general de una esfera maciza cualquiera, es máximo en los puntos de su superficie. A medida que nos alejamos de dicha superficie, tanto si es hacia el exterior del planeta o hacia el interior el campo gravitatorio va disminuyendo." con la nocion de que el centro de gravedad de un planeta se encuentra en el centro del mismo. Desconozco cual de estas afirmaciones son ciertas pero pienso que son contradictorias entre si.

Por supuesto que no creo todo lo que me dice un documental, suelo contrastar una informacion desde diferentes fuentes. Lo que si que tengo claro es que no me fio un pelo de lo que diga una agencia gubernamental sea la NASA o la NSA.

Y no, no se integrar. Desgraciadamente terminé mis estudios sobre física y matemáticas al acabar la ESO. Solo soy un tipo curioso con poca o nada de idea jajaja.

Intentaré explicártelo. La ley de gravitación universal que hiciste en el colegio sirve para puntos exteriores a la esfera. Para puntos interiores, la cosa cambia. Haciendo el cálculo sale como es la gravedad en el interior, y juntando en un diagrama la gravedad interior y exterior se puede ver un máximo en la superfície de la esfera. Te enseño la gráfica. Es para el campo eléctrico, pero también sirve el gravitatorio. Las gráficas coinciden por matemáticas, es que no he encontrado la del campo gravitatorio, pero es la misma. Fíjate el máximo en R.

[SerMuFer91]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Perdon, quien dijo ese comentario citado fue Jabato, no Malevolex.

- - - Actualizado - - -

Javato, cierto es que en el centro de la tierra la gravedad es nula ya que se contrarrestan las fuerzas, pero si me pongo en mitad de camino entre la superficie y el centro, ¿seria atraido por la superficie o por el centro?

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Ah, pues más a mi favor si son 44 minutos.

La afirmación de que el campo gravitatorio en el centro de la tierra es nulo la he dicho yo, no malvelox, y es totalmente cierta, no hay nada de contradictorio en ella. En realidad será probablemente muy pequeño, dadas las irregularidades que presenta el planeta, pero la teoría dice que debería ser nulo. Es lógico ya que en dicho punto se compensan los efectos de la atracción que ejercen las distintas partes de la esfera, dada su simetría.

Salu2, Jabato.

[SerMuFer91]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Pienso que es contradictorio en cuanto que Malevolex ha dicho "el campo gravitatorio de un planeta, en general de una esfera maciza cualquiera, es máximo en los puntos de su superficie. A medida que nos alejamos de dicha superficie, tanto si es hacia el exterior del planeta o hacia el interior el campo gravitatorio va disminuyendo." con la nocion de que el centro de gravedad de un planeta se encuentra en el centro del mismo. Desconozco cual de estas afirmaciones son ciertas pero pienso que son contradictorias entre si.

Por supuesto que no creo todo lo que me dice un documental, suelo contrastar una informacion desde diferentes fuentes. Lo que si que tengo claro es que no me fio un pelo de lo que diga una agencia gubernamental sea la NASA o la NSA.

Y no, no se integrar. Desgraciadamente terminé mis estudios sobre física y matemáticas al acabar la ESO. Solo soy un tipo curioso con poca o nada de idea jajaja.

[Weip]

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Una pequeña corrección:

44 min

Sí, soy un titismiquis xD.

Re: Comportamiento de la gravedad segun Einstein

Bueno, tendría que hacer algunos números para poder confirmar tu afirmación, pero piensa que la teoría clásica, la de Newton, solo se diferencia de la relativista, la de Einstein, para velocidades muy grandes próximas a la de la luz, y para campos gravitatorios muy intensos. En condiciones habituales a las que existen en el entorno de la superficie terrestre, o incluso en su interior, y a velocidades no excesivamente grandes, realmente ambas teorías afirman prácticamente lo mismo.

El campo gravitatorio en la tierra no es nada excepcional, 9,81m/seg^2 (recuerda que en su interior es incluso menor), y la velocidad de la que hablas, recorrer 12.600 km en 44 min, no parece que sea demasiado grande comparada con la velocidad de la luz, 300.000 km/seg, así que podemos suponer que en este caso los resultados de ambas teorías se van a diferenciar en muy poco.

Salu2, Jabato.