Avanzado Invariante Lorentz del 4-potencial vector

[aleix]

Sea el potencial escalar

$\phi=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{1-v^2}}\frac{1}{\sqrt{\frac{(x-vt)^2}{1-v^2}+y^2+z^2}}$

y el potencial vector

$A_x=\frac{qv}{4\pi\epsilon_0\sqrt{1-v^2}}\frac{1}{\sqrt{\frac{(x-vt)^2}{1-v^2}+y^2+z^2}}$

con $A_y=A_z=0$ para una carga q con velocidad constante (v,0,0) a lo largo del eje x. (Con c=1) Si construyo el 4-producto escalar

$\phi^2-A^2$

obtengo

$\phi^2-A_x^2=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{\frac{(x-vt)^2}{1-v^2}+y^2+z^2}}$

o bien

$\phi^2-A_x^2=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r'}$

donde r' es la distancia desde el punto donde se evalúa el campo hasta la posición de la carga multiplicada por un factor que tiene en cuenta el retraso por la finitud de velocidad de propagación del campo.

Mi pregunta es, ¿$\phi^2-A^2$ no debería ser un invariante Lorentz? Para ello, haría falta que r' lo fuera, pero no lo es porque en cada sistema de referencia es distinto.

[aleix]

Re: Invariante Lorentz del 4-potencial vector

Ya me he dado cuenta de mi propio error. El caso es que r' sí que es invariante Lorentz. O dicho de otra forma

$\frac{(x-vt)^2}{1-v^2}=\frac{(x'-v't')^2}{1-v'^2}$

siempre que

$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2}}$
$t'=\frac{t-ux}{\sqrt{1-u^2}}$

(transf. de Lorentz)

y además

$v'=\frac{v-u}{1-uv}$

(suma relativista de velocidades).