Otras carreras Energía total, cinética, potencial, mecánica, trabajo y conservación, relatividad reestringida

[alexpglez]

Hola, quería saber cómo se calcula el trabajo, la energía potencial y la energía mecánica. Voy a exponer lo que he ido viendo hasta ahora para poder explicar mis dudas.
El vector posición es:

$$x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)=(ct;\vec r)$$

O con índices abajo:

$$x_{\mu}=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(-ct;\vec r)$$

Llamando al módulo, en este caso diferencial de un intervalo de espacio-tiempo.

$$\dd s^2=-\dd x_{\mu}\dd x^{\mu}=cdt^2-\dd r^2$$

El tiempo propio:

$$\dd \tau=\frac{1}{c}\dd s=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=dt\gamma ^{-1}$$

$$\gamma=(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}$$

La velocidad:

$$v^{\mu}=\frac{\dd x^{\mu}}{\dd \tau}=(\gamma c; \gamma \vec v)$$

Su módulo:
Momento, que por la relación de la energía, llamamos T a la energía cinética + en reposo, $T=\gamma m c^2$ y llamando $\vec p=\gamma m \vec v$:

$$p^{\mu}=mv^{\mu}=(\gamma mc; \gamma m \vec v)=(\frac{T}{c}; \vec p)$$

La Ecuación de Newton (corregida con el nuevo momento espacial definido antes) era: $\vec F=\frac{\dd \vec p}{\dd t}$. De donde sacamos la (cuadri) fuerza.

$$F^{\mu}=\frac{\dd p^{\mu}}{\dd \tau}=(\gamma \frac{P}{c};\gamma \vec F)$$

Las ecuaciones $\mu=1,2,3$ convirtiéndose en la de Newton (corregida), y $\mu=0$ a la fórmula para la energía:

$$\gamma \frac{1}{c} \frac{\dd T}{\dd t}=\gamma \frac{1}{c} \frac{\dd W}{\dd t} \;\; \Leftrightarrow \;\; \Delta_{1,2} T=W_{1,2}$$

Pero sí algunas fuerzas son conservativas, se puede definir su energía potencial y la ecuación se escribirá como:

$$\Delta E=\Delta(T+V)=W$$

Así sería¿?
Ahora vienen mis dudas, W seguiría siendo una integral curvilínea en un espacio 3D¿? Y cuál sería la relación ahora con este vector fuerza¿?
Para fuerzas conservativas, pienso que parece tener forma de cuadrigradiente.
Supongo que se podrá mejor escribir con derivadas parciales la potencia, es decir $P=\frac{\partial W}{\partial t}$, y así poder escribir la cuadrifuerza:

$$F^{\mu}=(-\gamma \frac{1}{c}\frac{\partial U}{\partial t}; -\gamma \vec \nabla U)=-\gamma \partial^{\mu} U$$

Entonces la fórmula para el trabajo teniendo el vector cuadrifuerza sería, despejando -U o W de la expresión anterior sería algo así como:

$$W=\int_C \gamma ^{-1} F_{\mu} \dd x^{\mu}$$

¿?

Y para hallar la relación entre momento y energía, como estos son parte temporal y espacial, hay que calcular el módulo del cuadrimomento:

$$-p_{\mu}p^{\mu}=\frac{T^2}{c^2}-p^2=-m^2v_{\mu}v^{\mu}=m^2\gamma ^2(c^2-v^2)=m^2c^2$$

$$T^2=m^2c^4+p^2c^2$$

Una pregunta guay para otra duda que tengo es que significa, significado físico, que el módulo del cuadrivector velocidad, pero ya la preguntaré en otro hilo.
Entonces con potenciales, la relación finalmente quedaría:

$$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}+V$$

Mi pregunta acerca de la energía, que creo que ya me la he resuelto, la expresión la da la ecuación de corregida Newton en la componente 0, ecuación 5, y si algunos potenciales son constantes y en vez de escribirse como trabajos, como energía potencial, se hace como hice en 5 y 5.1 no¿?

Un saludo, gracias por adelantado

[guibix]

Re: Energía total, cinética, potencial, mecánica, trabajo y conservación, relatividad reestringida

Buenas,

Solo una puntualización, ya que no tengo tiempo para más.

Si hablamos del potencial de un campo, entonces hay que definir el campo como función de las cuatro coordenadas (el valor del campo en cada posición e instante). Luego se pueden aplicar las Transformaciones de Lorentz sobre el campo. Eso es que cada punto cambia sus coordenadas pero no su valor de energía potencial.

Si hablamos de energía potencial interna de una partícula (como la energía química), entonces el valor de dicha energía potencial es un término más de la energía en reposo y debe sumarse a la contribución de la masa.

Saludos.