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Hola a todo el mundo.
Hace un tiempo, abordando algunos aspectos de la TRE, descubrí por casualidad los “números complejos split” y su aplicación en la teoría. Todo ello provino de la aplicación de la “base diagonal” para describir una métrica isomorfa a la de Minkowski. Esto es usar las trayectorias de la luz como base y el tiempo y el espacio aparecen como combinaciones lineales de la base. Lo que pasó en realidad es que después de liarme con hipérbolas tipo se me ocurrió que las hipérbolas tipo (que ya conocía desde niño!!) tenían que ser isomorfas a las primeras, por lo que al menos tenían que poder describir la TRE.
De los complejos split tengo dudas pero no es el lugar apropiado, ya que son dudas puramente matemáticas. Abriré un hilo si lo creo conveniente. Por ahora me centro en la base diagonal que es donde veo implicaciones más físicas.
Hice todo el desarrollo en dos dimensiones (básicamente traducir ecuaciones entre métricas). No voy a trascribir todo el desarrollo pero sí por encima para remarcar los puntos importantes. Voy a dar por supuesto que habrá gente que sabe de qué hablo y no voy a entrar en demasiados detalles explicativos ni demostraciones para no extenderme demasiado.
Empecemos con la definición del sistema de coordenadas cartesiano que se construyen sobre las trayectorias diagonales de la luz del cono de luz de un SRI dado. Usando unidades para , la relación entre y las coordenadas es
y
La métrica para una trayectoria de tiempo propio viene dada por
Que puede expresarse como
Lo curioso de usar estas coordenadas, es que por su relación con las coordenadas las rotaciones hiperbólicas con y se trascriben como exponenciales puras, al cancelarse las sumas de exponenciales que las definen:
No voy a demostrarlo, pero si reducimos la métrica a
el factor de proporcionalidad entre y (que es la raíz de la pendiente de la trayectoria) es precisamente esta exponencial pura:
por lo tanto
Eso simplifica bastante las expresiones para las Transformaciones de Lorentz (TL), puesto que el equivalente del factor gamma para esta métrica se reduce a la exponencial o a la raíz de la pendiente. Aparece una simetría entre coordenadas que no se da en O sea que lo que normalmente sería pasa a ser ó
Las trayectorias en función del tiempo propio de SRs “uniformemente” acelerados con aceleración pueden expresarse como
y sus transformaciones de coordenadas en forma matricial se expresan como
Cuando alguna relación entre magnitudes se simplifica matemáticamente frente a algún enfoque, el enfoque puede tener alguna implicación fundamental. Aunque esto no significa que tenga que ser así. Pero además de la simplicidad en los cálculos, tengo otros motivos para pensar que hay algo más.
Para empezar está el concepto relativista de medida y sincronización de relojes. Fundamentalmente solo podemos saber cuando ocurre algo en algún sitio y momento, a partir del momento en que la luz del evento llega a nosotros. Luego podemos reconstruir nuestro pasado a lo largo del espacio y el tiempo. Con eso quiero decir que cuando efectuamos una medida (relativista) lo hacemos en coordenadas de base diagonal y luego aplicamos el cálculo para reconstruirlo en Para ilustrarlo imaginemos la manera más simple de para medir sucesos: con una luz y un reloj.
Si emitimos un pulso de luz en que rebota en un objeto y la luz vuelve a nosotros en podemos pensar que simplemente hemos medido dos puntos de nuestro tiempo propio y sus direcciones, y así es. Pero de alguna manera lo que medimos es la intersección entre las dos coordenadas del evento con nuestra línea temporal. Es más, si solo recibimos la luz de un evento (sin haberla emitido nosotros), no podemos saber ni la distancia ni el momento en que ocurrió (solo la dirección). Tenemos que recurrir a métodos indirectos para conocer estos datos. Esto es precisamente que solo conocemos una coordenada de y no la otra.
Podemos construir un SRI con reglas y relojes para tomar medidas “directas” de espacio y tiempo pero todo el SRI se habrá construido y sincronizado en base a las intersecciones de la luz.
Por otra parte, jugando un poco con la dinámica (en 2D), encontré una cantidad que se conserva. Si la energía se conserva y el momento lineal también, cualquier operación entre ellos es una cantidad que se conserva. Sé que es algo trivial y arbitrario pero cuando se suma o restan estas cantidades expresadas en coordenadas y en función del ángulo hiperbólico o la pendiente, vuelve a aparecer lo mismo
por lo tanto
Es lógico, ya que hemos hecho las mismas operaciones de arriba y por lo tanto tiene que aparecer el mismo factor como ocurre con gamma. Luego, este valor adquiere un cierto significado físico pues es el equivalente en esta métrica del factor gamma, en el sentido que es la proporción en que cambian las coordenadas de espacio y tiempo entre SRIs. Con la diferencia que nos queda en función del ángulo hiperbólico (o pendiente). Pero es que además es la raíz de la pendiente, es simétrica entre espacio y tiempo, es una exponencial pura, es suma y resta de las componentes de una cuadri-velocidad y es proporción para el efecto Doppler (algo que no mencioné)... No sé, quizás esté dando vueltas hacia ninguna parte pero admito que no puedo evitar pensar que tanta simetría, elegancia y simplicidad tiene que ser algo más que un mero reflejo fantasma.
Entiendo que el cambio de base de cualquier espacio no puede dar más información que el espacio original, solo que si sus expresiones son más simples, puede que sea una expresión más fundamental.
También debo admitir que hay problemas al extenderlo a más dimensiones espaciales en la forma cartesiana y la forma polar es la única que parece funcionar sin complicarse mucho, claro que se debe a que medimos tiempos y direcciones, no ejes cartesianos. Aunque no sé muy bien si esto significa algo o no.
El único razonamiento que puede justificar la base diagonal como algo más “fundamental” en algún nivel, es que es la velocidad de la luz la referencia que permite medir y diferenciar espacio y tiempo. Por lo tanto la descripción de espacio y tiempo es una combinación lineal de esto. Aunque claro, lo único que realmente medimos de esta manera son los tiempos propios de nuestro SRI en que recibimos o emitimos luz y sus direcciones.
De alguna forma, al nivel fundamental está íntimamente relacionado con el concepto de la medida. Pero tampoco veo por ninguna parte ninguna mención de ello.
Bien. El tema es que no encuentro mucha información sobre esto. Y en la mayoría de casos no se le da mucha importancia, solo se trata como hecho anecdótico.
¿Existe algún enfoque en TRE/G o en teorías relativistas en el que esto tenga alguna relevancia fundamental o sólo se trata de una curiosidad matemática que puede ser útil en determinados casos?
¿O todos los isomorfismos del grupo de Poincaré son igualmente fundamentales y la base diagonal solo es un caso más?
¿Qué me estoy dejando o qué más debería aprender de esto para entenderlo bien?
Y por supuesto también agradecería cualquier fuente que profundice sobre el tema.
Gracias por vuestra paciencia y un saludo!!
Hace un tiempo, abordando algunos aspectos de la TRE, descubrí por casualidad los “números complejos split” y su aplicación en la teoría. Todo ello provino de la aplicación de la “base diagonal” para describir una métrica isomorfa a la de Minkowski. Esto es usar las trayectorias de la luz como base y el tiempo y el espacio aparecen como combinaciones lineales de la base. Lo que pasó en realidad es que después de liarme con hipérbolas tipo se me ocurrió que las hipérbolas tipo (que ya conocía desde niño!!) tenían que ser isomorfas a las primeras, por lo que al menos tenían que poder describir la TRE.
De los complejos split tengo dudas pero no es el lugar apropiado, ya que son dudas puramente matemáticas. Abriré un hilo si lo creo conveniente. Por ahora me centro en la base diagonal que es donde veo implicaciones más físicas.
Hice todo el desarrollo en dos dimensiones (básicamente traducir ecuaciones entre métricas). No voy a trascribir todo el desarrollo pero sí por encima para remarcar los puntos importantes. Voy a dar por supuesto que habrá gente que sabe de qué hablo y no voy a entrar en demasiados detalles explicativos ni demostraciones para no extenderme demasiado.
Empecemos con la definición del sistema de coordenadas cartesiano que se construyen sobre las trayectorias diagonales de la luz del cono de luz de un SRI dado. Usando unidades para , la relación entre y las coordenadas es
y
La métrica para una trayectoria de tiempo propio viene dada por
Que puede expresarse como
Lo curioso de usar estas coordenadas, es que por su relación con las coordenadas las rotaciones hiperbólicas con y se trascriben como exponenciales puras, al cancelarse las sumas de exponenciales que las definen:
No voy a demostrarlo, pero si reducimos la métrica a
el factor de proporcionalidad entre y (que es la raíz de la pendiente de la trayectoria) es precisamente esta exponencial pura:
por lo tanto
Eso simplifica bastante las expresiones para las Transformaciones de Lorentz (TL), puesto que el equivalente del factor gamma para esta métrica se reduce a la exponencial o a la raíz de la pendiente. Aparece una simetría entre coordenadas que no se da en O sea que lo que normalmente sería pasa a ser ó
Las trayectorias en función del tiempo propio de SRs “uniformemente” acelerados con aceleración pueden expresarse como
y sus transformaciones de coordenadas en forma matricial se expresan como
Cuando alguna relación entre magnitudes se simplifica matemáticamente frente a algún enfoque, el enfoque puede tener alguna implicación fundamental. Aunque esto no significa que tenga que ser así. Pero además de la simplicidad en los cálculos, tengo otros motivos para pensar que hay algo más.
Para empezar está el concepto relativista de medida y sincronización de relojes. Fundamentalmente solo podemos saber cuando ocurre algo en algún sitio y momento, a partir del momento en que la luz del evento llega a nosotros. Luego podemos reconstruir nuestro pasado a lo largo del espacio y el tiempo. Con eso quiero decir que cuando efectuamos una medida (relativista) lo hacemos en coordenadas de base diagonal y luego aplicamos el cálculo para reconstruirlo en Para ilustrarlo imaginemos la manera más simple de para medir sucesos: con una luz y un reloj.
Si emitimos un pulso de luz en que rebota en un objeto y la luz vuelve a nosotros en podemos pensar que simplemente hemos medido dos puntos de nuestro tiempo propio y sus direcciones, y así es. Pero de alguna manera lo que medimos es la intersección entre las dos coordenadas del evento con nuestra línea temporal. Es más, si solo recibimos la luz de un evento (sin haberla emitido nosotros), no podemos saber ni la distancia ni el momento en que ocurrió (solo la dirección). Tenemos que recurrir a métodos indirectos para conocer estos datos. Esto es precisamente que solo conocemos una coordenada de y no la otra.
Podemos construir un SRI con reglas y relojes para tomar medidas “directas” de espacio y tiempo pero todo el SRI se habrá construido y sincronizado en base a las intersecciones de la luz.
Por otra parte, jugando un poco con la dinámica (en 2D), encontré una cantidad que se conserva. Si la energía se conserva y el momento lineal también, cualquier operación entre ellos es una cantidad que se conserva. Sé que es algo trivial y arbitrario pero cuando se suma o restan estas cantidades expresadas en coordenadas y en función del ángulo hiperbólico o la pendiente, vuelve a aparecer lo mismo
por lo tanto
Es lógico, ya que hemos hecho las mismas operaciones de arriba y por lo tanto tiene que aparecer el mismo factor como ocurre con gamma. Luego, este valor adquiere un cierto significado físico pues es el equivalente en esta métrica del factor gamma, en el sentido que es la proporción en que cambian las coordenadas de espacio y tiempo entre SRIs. Con la diferencia que nos queda en función del ángulo hiperbólico (o pendiente). Pero es que además es la raíz de la pendiente, es simétrica entre espacio y tiempo, es una exponencial pura, es suma y resta de las componentes de una cuadri-velocidad y es proporción para el efecto Doppler (algo que no mencioné)... No sé, quizás esté dando vueltas hacia ninguna parte pero admito que no puedo evitar pensar que tanta simetría, elegancia y simplicidad tiene que ser algo más que un mero reflejo fantasma.
Entiendo que el cambio de base de cualquier espacio no puede dar más información que el espacio original, solo que si sus expresiones son más simples, puede que sea una expresión más fundamental.
También debo admitir que hay problemas al extenderlo a más dimensiones espaciales en la forma cartesiana y la forma polar es la única que parece funcionar sin complicarse mucho, claro que se debe a que medimos tiempos y direcciones, no ejes cartesianos. Aunque no sé muy bien si esto significa algo o no.
El único razonamiento que puede justificar la base diagonal como algo más “fundamental” en algún nivel, es que es la velocidad de la luz la referencia que permite medir y diferenciar espacio y tiempo. Por lo tanto la descripción de espacio y tiempo es una combinación lineal de esto. Aunque claro, lo único que realmente medimos de esta manera son los tiempos propios de nuestro SRI en que recibimos o emitimos luz y sus direcciones.
De alguna forma, al nivel fundamental está íntimamente relacionado con el concepto de la medida. Pero tampoco veo por ninguna parte ninguna mención de ello.
Bien. El tema es que no encuentro mucha información sobre esto. Y en la mayoría de casos no se le da mucha importancia, solo se trata como hecho anecdótico.
¿Existe algún enfoque en TRE/G o en teorías relativistas en el que esto tenga alguna relevancia fundamental o sólo se trata de una curiosidad matemática que puede ser útil en determinados casos?
¿O todos los isomorfismos del grupo de Poincaré son igualmente fundamentales y la base diagonal solo es un caso más?
¿Qué me estoy dejando o qué más debería aprender de esto para entenderlo bien?
Y por supuesto también agradecería cualquier fuente que profundice sobre el tema.
Gracias por vuestra paciencia y un saludo!!