Signos de Interacción de la Materia Oscura Consigo Misma

[carroza]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Hola.

Una gota de agua, a temperatura de 273K, en el espacio, con movimiento radial hacia el sol cae necesariamente sobre el sol.

Un conjunto gaseoso de moléculas de agua, con la agitación térmica correspodiente a 273K, en el espacio, no caen en su inmensa mayoria sobre el sol, aunque su centro de masas, en el instante inicial, se mueva radialmente hacia el sol.

Saludos

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica] Hola,[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Para no alejar la cuestión de fondo, supongamos entonces un gas de materia oscura, o sea, un gas formado por partículas que solo interactúan gravitacionalmente, y sigamos en la argumentación newtoniana y no relativista como en un par de posts anteriores. No entraré en la cuestión de si un polvo o fluido tiene velocidad definida o no, simplemente supongamos una nube extensa con una cierta densidad en equilibrio. Podemos suponer que estamos en un sistema de referencia donde el algúna parte de lanube el fluido es estacionario, o sea, no tiene corrientes netas. Entonces supongamos que en un momento se forma una fluctuación térmica de tamaño R (consideremos una fluctuación esférica de radio R y con masa m). En un gas normal, esta fluctuación es rápidamente eliminada debido a que si el radio es tal que la densidad aumenta, o sea si disminuye el radio de la fluctuación con respecto al resto del gas, la presión aumentará respecto del resto del gas, y la diferencia de presiones harán que la densidad vuelva a disminuir y seguir en equilibrio. [/FONT]
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[FONT=Helvetica] Ahora hagamos el mismo ejercicio para la materia autogravitante. En varios posts atrás, traté de formailzar el problema en términos de la estadística de Maxwell clásica, teniendo en cuenta el potencial gravitatorio de una masa uniforme de fluido, $V_{int}$. Si volvemos a esa formula, pero reescribiendo la constante de Newton $G_N$, para seguirle mejor la pista, teniamos que:[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$V_{int} = \frac{G_N m}{2R^3} r^2 - \frac{3 G_N m}{2R}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]donde r es la distancia de la partícula del gas en cuestión al centro de la fluctuación, y el segundo término en el lado derecho es la constante necesaria para imponer continuidad en el potencial fuera de la fluctuación. Esta expresión viene de resolver la ecuación[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\vec\nabla\cdot \vec g = - 4\pi G_N \rho$ [/FONT]
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[FONT=Helvetica]y de asumir que la densidad toma algún valor uniforme sobre una pequeña fluctuación de radio R. En cierto modo, esto es una primera hipotesis de campo medio, ya que estudiaremos la estadística de partículas independientes en un campo gravitacional promedio que proviene de la interacción con el resto de partículas. [/FONT]
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[FONT=Helvetica]Ahora la energía libre de Helmholz $F=F(T,V,N)$ (donde V es el volumen de la fluctuación (o sea, $V=\frac{4\pi}{3}R^3$ solo dependerá del radio R)), y N el número de particulas en la fluctuación (si $m_0$ es la masa de las particulas individuales entonces $m=Nm_0$). Esta función F se calcula mediante la función de partición de cada partícula $Z_0$, y su expresión es,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$F = -kT \ln \left(Z_0^N\right)$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]donde k es la constante de Boltzman y T la temperatura. La función de partición $Z_0$ se calcula como,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$Z_0 = \int\,d^3\vec r \,d^3\vec p [ \exp\left(-\frac{E(\vec r,\vec p)}{kT}\right),$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]donde E es la energía monoparticular en términos del vector de posición y del momento,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$E = \frac{p^2}{2m_0} + m_0 V_{int}(r,R)$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Los límites de integración corresponden al espacio de fases disponible. En la integración al volumen debemos considerar el volumen ocupado por la fluctuación, pero sin riesgo de cometer mucho error podemos integrar a todo el espacio ya que el potencial crece con $r^2$, y por tanto la exponencial negativa de este término suprime fuertemente la contribución para $r>> R$. De este modo es fácil calcular estas integrales ya que una partícula en un potencial gravitatorio debido a una densidad constante es equivalente a un potencial de oscilador armónico, como se puede ver en la expresión de $V_{int}$ más arriba. La frecuencia de este oscilador es,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\omega = \sqrt{\frac{G_N m}{R^3}}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]y ahora es fácil encontrar la función de partición, que vale:[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$Z_0 = \left(\frac{2\pi k T}{\omega}\right)^{3N} \,\exp\left(\frac{3N^2G_N m_0^2}{2k T R}\right)$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]donde hay que recordar que $\omega$ depende de R.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]La energía libre de Helmholz es entonces,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$F = -3N kT \ln(kT) -\frac{3}{2}NkT \ln\left(\frac{R^3}{G_N m}\right) - \frac{3N^2G_N m_0^2}{2R}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Y con esto podemos calcular la presión,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} = - \frac{1}{4\pi R^2} \left(\frac{\partial F}{\partial R}\right)_{T,N}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]y por tanto obtenemos finalmente que,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$P = \frac{9NkT}{8\pi R^3} - \frac{3N^2 G_N m_0^2}{8\pi R^4}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Esta presión es positiva y se comporta de forma normal a densidades bajas (R grande), pero a densidades altas la presión disminuye al disminuir R, y esto es un comportamiento inestable ya que si se produce una fluctuación suficientemente densa, la presión disminuye en esta, y la diferencia de presión entre la fluctuación y su entorno ace que esta se comprima más. De hecho hay un radio por debajo del cual la presión es negativa, concretamente a[/FONT]
[FONT=Helvetica]$R_0 = \frac{NG_N m_0^2}{3kT}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Aunque el comportamiento crítico ya comienza desde un radio crítico máximo,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$R_c = \frac{4NG_N m_0^2}{9kT}$ [/FONT]
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[FONT=Helvetica] A mayor temperatura el radio tiende a ser menor, y la fluctuación es más improbable ya que la densidad de dicha fluctuación necesita ser mayor. Sin embargo a temperaturas bajas, la fluctuación es más probable, y el sistema colapsará.[/FONT]
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[FONT=Helvetica] El comportamiento de colapso es debido al término adicional que surge en la energía libre debido al potencial gravitatorio que se neciesita para hacer el potencial continuo en el borde de la fluctuación. Esta energía extra puede compararse con una tensión superficial o también un calor de vaporización. El hecho de que esta energía aumente (disminuye en valor negativo, pero aumenta en términos absolutos) cuando disminuye el radio es un comportamiento diferente al caso de las gotas de agua. En nuestro caso la presión de vapor disminuye al disminuir el radio, mientras que en el caso de las gotas de líquidos , la presión de vapor aumenta con radios menores, y este es la explicación por qué en los cirros que contienen pequeñas gotas en suspensión llega un momento donde la presión a las que están sometidas, es menor que la presión de vaporización de las gotas más pequeññas, favoreciendo el crecimiento de las grandes, que ya no se pueden mantener en suspensión y caen por efecto de la gravedad en forma de lluvia.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

[Fortuna]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica] Hola,[/FONT]

[FONT=Helvetica] Para no alejar la cuestión de fondo, supongamos entonces un gas de materia oscura, o sea, un gas formado por partículas que solo interactúan gravitacionalmente, y sigamos en la argumentación newtoniana y no relativista ... [/FONT]

[FONT=Helvetica]La energía libre de Helmholz es entonces,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$F = -3N kT \ln(kT) -\frac{3}{2}NkT \ln\left(\frac{R^3}{G_N m}\right) - \frac{3N^2G_N m_0^2}{2R}$[/FONT]

[FONT=Helvetica]Y con esto podemos calcular la presión,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} = - \frac{1}{4\pi R^2} \left(\frac{\partial F}{\partial R}\right)_{T,N}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]y por tanto obtenemos finalmente que,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$P = \frac{9NkT}{8\pi R^3} - \frac{3N^2 G_N m_0^2}{8\pi R^4}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Esta presión es positiva...[/FONT]
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Hola, no entiendo como puede haber presión, pues en principio, si sólo hay interacción gravitatoria entre las partículas constituyentes, no hay nada que impida que dos partículas se penetren mutuamente. Es decir, si colocamos una partícula de materia oscura sometida al campo gravitatorio medio generado por las otras, esta partícula no "siente" ninguna presión.

Si suponemos P=0 en la última expresión, lo que se obtiene es una expresión de la temperatura con respecto a la distancia del centro de la perturbación.

$T=\frac{NG_{N}m_{0}^{2}}{3kR}$.

Pero no sé si tiene mucho sentido esta expresión, pues R lo has definido como el tamaño de una perturbación térmica.

Bueno, si. Si R es el tamaño de la nube oscura y suponemos que hay equilibrio térmico en toda la nube, nos da la temperatura de la nube en función de la masa total y el tamaño de la nube.

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica]Hola Fortuna,[/FONT]
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[FONT=Helvetica] La presion la puedes ver como el trabajo realizado por unidad de variación de volumen, y para realizar trabaj necesitas de alguna interacción. La materia oscura si interactúa gravitacionalmente y por tanto tiene sentido físico. En un gas ideal no se imponen interacción alguna entre las moleculas, pero para que tenga sentido físico la presión en el gas ideal debemos al menos imponer que si interactuan con las paredes que lo contienen. También se necesita la interacción para tener un proceso de termalización, y en el gas ideal esto lo logramos con la idea de una especie de interacción puntual (choques de esferas sólidass) que hacen que al curzarse dos moleculas intercambien energía y momento. El cambio de momento por choques entr las moleculas o con las paredes, es lo que provoca la presión en el gas ideal. En la materia oscura existe la interacción gravitatoria, y las partículas cambiarán su trayectoria al curzarse a cierta distancia (como lo pueden hacer los astros al pasar cerca de un objeto masivo), este intercambio de momento provoca la termalización y la presión . De hecho si te fijas, en las estimaciones que hice, hay un termino de presión que es justamente el de un gas ideal, pero además hay otro termino adicional que tiende a inestabilizar el sistema.[/FONT]
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[FONT=Helvetica] En las ecuaciones R no es la posición de las partículas sino el tamaño de la fluctuación (que in principio podemos asumir pequeña comparada con toda la nube). Esta pequeñez es, en parte, para mantener la hipotesis de que la densidad en dicha fluctuación podría considerarse como constante. Pero si llevas la hipotesis más lejos y la impones sobre toda la nube, entonces la suposición de equilibrio con el vacio implica que la presión debe ser cero, y ello te lleva a un radio R_0 que está por debajo del crítico R_c, y por tanto el gas se comporta de manera anormal, es decir con una compresibilidad negativa, y el sistema necesariamente colapsa. Pero asumir densidad constante para toda la nube es dificil de mantener.[/FONT]
[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

- - - Actualizado - - -

[FONT=Helvetica]Una posible explicación heuristica del resultado de la compresibilidad negativa de materia autogravitante podría ser la siguiente:[/FONT]
[FONT=Helvetica] si realizamos trabajo sobre el sistema disminuyendo su volumen:[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$W = - P \Delta V$[/FONT]
[FONT=Helvetica]este trabajo se invertirá en aumentar su energía cinética (debido a que el volumen disminuye “adiabaticamente”), pero al disminuir la distancia media entre las particulas, la energía potencial gravitatorio del sistema disminuye, o sea:[/FONT]
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$W = \Delta K + \Delta U$[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Esto mismo se ve en la expresión de la presión que estimé unos posts más arriba, donde el primer término es asociado a la energía cinética como se refleja en su dependencia con la temperatura, mientras que el segundo es un termino puramente potencial. Entonces, para densidades bajas, el aumento de energía cinética domina sobre la variación negativa de potencial, pero esto deja de ser cierto cuando la densidad es relativamente alta, y de ahí que este trabajo puede llegar a ser incluso negativo, lo cual lleva a una presión negativa (un argumento similar se sigue con la compresibilidad)..[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Saludos[/FONT]

[Abelino Legizamil]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Hola Justinux,
Me parece muy interesante tu planteamiento, el cual demuestra que efetivamente la materia oscura autogravitante puede colapsar sin necesidad de un mecanismo extra de radiación.
Me imagino que tu estimación implica que para el colapso se deben dar condiciones de densidad particulares, pero es posible el colapso.

Saludos

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]El sentido que tiene la ecuación que escribí sobre el radio crítico es respecto al tamaño relativo de las fluctuaciones inestables. , El valor de N que aparece en la ecuación viene determinada por la densidad del fluido . y la escala D a la cual tiene lugar la fluctuación. ( $N\sim \rho_f D^3$ donde $\rho_f$ es la densidad del fluido) . [/FONT]
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[FONT=Helvetica]Las fluctuaciones que apartan al sistema del equilibrio (es decir, la siguiente corrección a la termodinamica del equilibrio) aumentan su intensidad al disminuir la escala (o equivalentemente N). Si no recuerdo mal la intensidad relativa de las fluctuaciones de las variables termodinámicas intensivas son proporcionales a alguna potencia negativa de la escala o el número de partículas consideradas. Por ejemplo las fluctuaciones en la presión cumplen una ley similar a,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\frac{\Delta P}{P} \sim \frac{1}{N^\alpha} \sim \frac{1}{D^{3\alpha}}$[/FONT]
[FONT=Helvetica]para algún $\alpha$ positivo. De este modo, en el límite termodinámico ($N\to \infty$ las fluctuaciones están suprimidas, y efectivamente hay equilibrio termodinámico. Sin embargo, en el caso que nos atañe a una cierta densidad y temperatura, , existe una escala $D\sim R_0$ para la cual esta ley no se cumple, como se puede comprobar fácilmente de la expresión para P. Más concretamente esta escala vendría a ser del orden de,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$D \sim \sqrt{\frac{kt}{G_N m_0 \rho_f}}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Esta escala nos determina el tamaño de las estructuras colapsantes en la nube .[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

[carroza]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Hola, Justinux.

Tu derivación es interesante. No obstante tengo un problema. Estas cosniderando la estabilidad de la nube de materia oscura suponiendo siempre que la temperatura es constante.

De hecho, la expresión que pones de la presión como la derivada de la energía libre con respecto al volumen es válida suponiendo que la temperatura no cambia. Si la temperatura puede modificarse, la expresión que nos da la variación de la energía libre es
$dF = -S dT - P dV$.

Ahora la pergunta es: En la evolución de una nube de materia oscura, ¿Se conserva la temperatura?

Yo diría que no. Se conserva la energía total de la nube, no la temperatura. Si la nube tiene una temperatura baja, entonces puede empezar a comprimirse, pero entonces aumenta tanto la presión como la temperatura. Todo el trabajo de compresión de las fuerzas gravitatorias se emplea en aumento de la energía interna, es decir, en aumento de la temperatura.

Otra cosa es que la materia oscura tuviera un mecanismo de intercambio de energía con el exterior, de manera que pudieramos considerar que la materia oscura está en equilibrio térmico, por ejemplo, con la radiación de fondo del universo, es decir, a 2.73 K. Pero como es materia oscura, no tiene ese mecanismo de intercambio. Por tanto, creo que no colapsa.

PS: He usado tu formula de la distancia de equilibrio, para ver cual sería esa distancia para un objeto de materia oscura, con la misma masa que el sol, suponiendo que la materia oscura esta hecha de particulas con la masa del protón, y que su temperatura es 2.73 K. Me sale un radio de unos 10 ^15 m, o sea, un millon de veces mayor que el radio del sol. No se, me parece que es demasiado grande.

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica]Hola Carroza,[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Lo que hice fue una mera estimación, pero sobre la cuestión de la tempeeratura debo decir lo siguiente: la derivación de la expresión de la presión a partir de la energía libre de Helmholz se hace a temperatura constante ya que así está definida la relación funcional. Lo que se obtiene de esta relación es una ecuación de estado, del mismo tipo que PV = NRT en los gases ideales. En estricto rigor no estoy haciendo ninguna suposición de las condiciones o el proceso que sigue la materia oscura. Esto es una carácteristica intrinseca del sistema, tanto como lo es la compresibilidad, o sea,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\kappa = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{N,T}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]y esta es negativa para ciertos valores de los parámetros termodinámicos, bien sea de presión, de densidad y/o de temperatura. Ello indica que bajo esas condiciones el sistema es inestable (la positividad de la compresibilidad se sigue de los postulados de la termodinámica del equilibrio).[/FONT]
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[FONT=Helvetica] En todo caso tienes razón en que para comprimirse o expandisr el sistema debe interactuar (se debe realizar o este realiza trabajo sobre el medio), pero esto lo hace con la propia interacción gravitatoria. Ahora bien los tiempos en que se llevan a cabo estos procesos vienen determinados por dicha interaccion. Estos tiempos no los he estimado, pero deben ser grandes, quizas de orden cosmológico (una primera tentativa sería construir un tiempo con los parámetros del sistema (sin la intervención de c ya que estamos en el caso no relativista)). Es quizas por este hecho, que el colapso de la energía oscura sea una cuestión más teórica que otra cosa, pero no conozco dichos tiempos, y me imagino que alguno de los parámetros son absolutamente desconocidos. [/FONT]
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[FONT=Helvetica] Respecto de las dimensiones que has obtenido, no me extraña, ya que la propia interacción gravitatoria no es tan fuerte. Yo desconozco las distancias astrofísicas, pero habría que comparar esa distancia con el tamaño de una galaxia como la vía Láctea, donde se supone que existe una estructura de materia oscura que la rodea.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

[Abelino Legizamil]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Buenas Noches
Estoy de acuerdo con Carroza. Si el sistema es poco interactuante, la energía interna no debería cambiar sensiblemente y por tanto con el razonamiento de Carroza uno debería esperar que el sistema no pueda colapsar por si sólo.

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Hola,
Un par de apuntes:
1.- En la expresión que escribe carroza,
$dF = -S dT -PdV$
entiendo que le falta un término,
$dF = -S dT - P dV + \mu dN$
donde $\mu$ es el potencial químico. Entendiendo que F es función de T, de V y de N, esto significa que -S, -P y $\mu$ son las derivadas parciales de F respecto de T, de V y de N respectivamente (es decir manteniendo sin variar el resto de variables, tal y como se define una derivada parcial). Por tanto, no estaba suponiendo ninguna hiptesis sobre el proceso, solo estaba definiendo la presión en términos de la dervada parcial de la función F=F(T,V,N).
2.- Respecto de la pregunta de abelinoleguizamil, y la pega que pone carroza respecto a la conservación de la energía, es fácil calcular la energía interna del modelo simple que propuse, sabiendo la función de partición tenemos que:

$U = -\frac{\partial \ln Z_0^N}{\partial\beta} = 3N k T - \frac{3G_N N^2 m_0^2}{2R}$

donde $\beta=\frac{1}{kT}$. En esta expresión se ve claramente donde está la inestabilidad: Aunque asumamos un proceso donde se conserve la energía interna, el sistema puede adquirir un tamaño (R) cada vez más pequeño a costa de aumentar indefinidamente la temperatura.

Por tanto, yo concluiría que aún cuando el sistema esté totalmente aislado, sigue siendo inestable.

Saludos

[carroza]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Hola, Justinux.

Tienes toda la razon, con respecto a la expresión de la presión. Podemos obtenerla como la derivada de F con respecto a V, a T y N constante.

Voy a aplicar lo mismo para calcular la entropía, que sería -dF/dT. Usando tu expresión, sale

$S = 3 Nk \log( kT R^{3/2}) + C$

donde C es una constante que no depende de T ni de R.

Como estamos de acuerdo en que se conserva la energía, entonces

$U = 3N kT - 3 G N^2 m_o^2/ (2 R)$.

Hay un radio máximo, que correspondería a T=0, dado por

$U = - 3G N^2 m_0^2 /(2 R_x)$.

En función de este, y del radio R, al temperatura viene dada por

$kT = (G N m_0^2/2) (1/R - 1/R_x)$

Sustituyendo esto en la expresión de la entropía sale

$S = 3 N k \log( R^{1/2} - R^{3/2}/R_x) + C'$.

Ahora, la situación de equilibrio termodinámico en un sistema aislado se da cuando la entropía es máxima. Y eso, si no me equivoco, ocurre cuando

$R = R_x/3$.

Sigue sin haber colapso.

Un saludo

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica]Hola Carroza,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Primeramente quisiera matirzar lo que dije: aún cuando considerasemos U constante, en la misma expresión de U se ve la inestabilidad. Esto no significa que la fluctuación que consideré al principio tenga que estar a U constante.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]El problema que nos atañe, es esencialmente no homogeneo, y por ello es que consideré una pequeña fluctuación del sistema, que a su vez está inmerso en el sistema mismo. El analisis que hice fue sobre la estabilidad de dichas fluctuaciones, usando la mecánica estadística, a una región pequeña que momentaneamente se puede considerer en equilibrio. Entonces calculé la presión de dicha fluctuación y comprobé que su compresibilidad es negativa, lo cual hace que el sistema sea inestable, y el equiibrio desaparece al considerar pequeñas fluctuaciones.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Me he guardado bien de no usar los postulados de la termodinámica del equilibrio,, pues aquí no se dan. El primer postulado que no se cumple es el de homogeneidad (en la expresión de la entropía como función de U, V y N, no se cumple que S sea una función homogenea respecto del reescalamiento de sus variables naturales, esto ya se ve desde el principioal haber una escala natural). Por otro lado, el principio que estás usando es: Dado un sistema aislado y cerrado en equilibrio, los parámetros termodinámicos que adopta el sistema una vez que se liberan restricciones internas serán aquellas que maximizan la entropía compatible con las nuevas restricciones, una vez que se alcance el equilibrio. [/FONT]
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[FONT=Helvetica]este principio contiene la hipotesis del equilibrio tanto en el estado inicial como el final, lo cual no se cumple en nuestro caso. [/FONT]

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[FONT=Helvetica]Aún así tu calculo lo entiendo del siguiente modo: si tomamos una fluctuación caracterizada con una energía media U y N partículas , el sistema tenderá a colapsar a una esfera de radio R_x/3 (siempre que la energía sea negativa). Este radio depende de N^2/(-U), es decir que será tanto menor cuanto mayor sea U en valor absoluto. De hecho si ahora tomamos una fluctuación que tenga un tamaño z veces la fluctuación primera (z<1) entonces esta fluctuación se dividirá a su vez en pequeñas fluctuacciones de radio $R_1 \sim\frac{z^2 N^2]][zU} = z R_0$. y la entropía volverá a aumentar. Este tipo de mecanismos implican prcesos fuera del equilibrio, puesto que la entropía va a ir aumentando conforme se vayan formando fluctuaciones de ciertos tamaños cada vez más pequeños.[/FONT]
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[FONT=Verdana]- - - Actualizado - - -[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Pd.- Un ejemplo. Supongamos que tenemos una esfera de densidad $\rho_0$ con una energía interna U, y número de partículas N, entonces tendrá un radio de equilibrio el radio que calculaste $R_0 = R_x/3$, y supongamos que la esfera se divide en dos iguales, con energías U/2, y N/2 partículas cada una, entonces sus radios de equilibrio serán iguales y valdrán, por lo dicho antes, $R_1 = R_0/2$, pero ahora las densidedades de laspartes por separado son, $\rho_1 = 4\rho_0$, aumentando siempre la entropía, indefinidament, y haciendose la materia cada vez más densa, o sea, colapsando..[/FONT]
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[FONT=Helvetica]En este caso la energía se conserva, la entropía aumenta indefinidamente y la densidad de la materia crece.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]
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[FONT=Verdana]- - - Actualizado - - -[/FONT]
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[carroza]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica]Pd.- Un ejemplo. Supongamos que tenemos una esfera de densidad $\rho_0$ con una energía interna U, y número de partículas N, entonces tendrá un radio de equilibrio el radio que calculaste $R_0 = R_x/3$, y supongamos que la esfera se divide en dos iguales, con energías U/2, y N/2 partículas cada una, entonces sus radios de equilibrio serán iguales y valdrán, por lo dicho antes, $R_1 = R_0/2$, pero ahora las densidedades de laspartes por separado son, $\rho_1 = 4\rho_0$, aumentando siempre la entropía, indefinidament, y haciendose la materia cada vez más densa, o sea, colapsando..[/FONT]
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[FONT=Helvetica]En este caso la energía se conserva, la entropía aumenta indefinidamente y la densidad de la materia crece.[/FONT]
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Justinux, creo que deberias hacer el cálculo para justificar lo que dices. Una esfera de materia oscura, dividiendose en dos espontaneamente, y produciendo un aumento de entropía, me parece tan poco probable como que un gas ideal, de volumen V, se separe espontaneamente en dos partes de volumen V/2.

[justinux]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

[FONT=Helvetica]Hola Carroza,[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Tienes razón. ayer hice el cálculo y me equivoqué en un factor N que no tuve en cuenta (te pido disculpas). La entropía para la situación de equilibrio es (si no me he vuelto a equivocar) es,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$S_0 \sim N\ln \frac{N^\frac{3}{2}}{|U|^\frac{1}{2}}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]ayer había puesto un factor N^2 multiplicando a |U| ). En este caso, tienes razón y lo que dije que la entropía aumentaba al dividirse la nube era incorrecto. Más bien sucede lo contrario, al unirse dos nubes aumenta la entropía (cosa que tampoco sucede en los gases ideales). En dicho caso si tenemos dos nubes de energías iguales U, y número de partículas N, la entropía al estar separadas es $2S_0$, sin embargo, al estar juntas es $2S_0 + 2N\ln2$[/FONT]
[FONT=Helvetica]lo cual da un aumento de entropia de $\Delta S = 2N\ln2$, y el radio de la nueva nube será el doble de las nubes iniciales [tex]2R_0]/tex] debido a que el radio de equilibrio va como $R_0\sim \frac{N^2}{U}$[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Quizas tengas finalmente razón, pero hay cosas que todavía no me convencen:[/FONT]
[FONT=Helvetica] 1) una expresión como la de arriba de la entropía que no cumple el postulado de homogeneidad, no es una relación admisible en Termostática (ver H Callen).[/FONT]
[FONT=Helvetica]2)el cálculo de la compresibilidad negativa es un efecto de inestabilidad, incluso en la termodinámica fuera del equiibrio.[/FONT]
[FONT=Helvetica]3 Un calculo sencillo del tamaño de las fluctuaciones en este modelo dan, en el límite termodinámico,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\frac{\delta U}{N} \sim N^{\frac{1}{6 G_N m_0^2 n^{\frac{1}{3}}}}$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde n es la densidad de partículas por unidad de volumen, y donde $\delta U$ la he calculado, comol a fluctuación estadística,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$(\delta U)^2 = \frac{1}{Z_0^N}\frac{\partial^2 Z_0^N}{\partial \beta^2} - \left(\frac{1}{Z_0^N} \frac{\partial Z_0^N}{\partial \beta}\right)^2$[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Así que en el límite termodinámico las flcutuaciones no se suprimen, más bien al contrario, lo cual es otra indicación de que el sistema no es estable.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]En cualquier caso, te agradezco mucho la discusión Carroza, y te vuelvo a pedir disculpas por el error que cometí. La verdad, es que me ha motivado mucho esta discusión, y espero seguirla discutiendo en el futuro, con nuevos argumentos. He aprendido mucho y por eso les quiero agradecer a los que han participado, en particular a ti carroza. No quedé del todo convencido. Quizas el modelo que propuse no es del todo adecuado y mis pegas puedan deberse a ello, pero en cuanto me aclare en relación a las cuestiones de inestabilidad que veo, retomaré la pelea (o contaré que al final tenías razón).[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Esto ultimo que digo, no es que no seguiré respondiendo al foro, de hecho me gustaría saber tu opinión, carroza, de los tres puntos que no terminan por convencerme. Quizas estos no son problemas importantes o tienen una explicación simple que yo no veo.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos [/FONT]
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[FONT=Helvetica]Pd. Gracias Aribasm, no me di cuenta, a ver si ahora quedó mejor[/FONT]

- - - Actualizado - - -

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Voy a insistir en el argumento de carroza, que creo no se puede aplicar tal como está planteado:[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Lo que tenemos, como dije en un primer lugar, un fluido de materia oscura donde aparecen fluctuaciones caracterizadas por una energía interna U, un número de partículas N, y un radio R. No estatmos tratando en modo alguno de una nube de radio R, etc, ya que el modelo no sirve para algo así ya que hemos supuesto densidad constante y dimensión suficientemente pequeña para que esta aproximación tenga sentido.[/FONT]
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[FONT=Helvetica] El sistema completo tendrá una cierta ecuación de estado que desconocemos, y si queremos siguir haciendo termodinámica del equilibrio aún en el caso de las fluctuaciones, debemos imponer condiciones de presión, y demás, con el medio que rodea a la fluctuación. Al calcular carroza el radio al cual la entropía se hace máxima, derivando esta(como función de la energía interna, R y N) respecto del radio e igualando a cero, lo que está haciendo es suponer que la fluctuación está a presión cero, ya que tal derivada no es otra cosa que P/T, y ahí no se está aplicando ningún principio de entropía máxima sino la imposición de presión 0. Además esta no es la situación que se quiere ver. La presión a la que tiene que igualar dicha derivada es a la presión del resto del fluido. Si imponenmos equilibrio de libre transferencia de partículas también debemos igualar la derivada de S con respecto a N al potencial químico circundante, etc De este modo el radio de equilibrio no será en modo alguno la expresión calculada por carroza, y este dependerá de la presión y el potencial químico del resto).[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Una simplificación del problema es asumir dos fluctuaciones dadas, en contacto o bien mecánico , o térmico o de intercambio de partículas (o cualquier combinación de las anteriores).[/FONT]
[FONT=Helvetica] La cuestíon es entoces si las dos fluctuaciones con densidades distintas, el sistema que evolucionará como: : [/FONT]
[FONT=Helvetica] 1.- favorecer aquella con menos densidad, eliminando la de mayor densidad?[/FONT]
[FONT=Helvetica]2.- favorecer la fluctuación de mayor densidad, eliminado la de baja densidad?[/FONT]
[FONT=Helvetica]3.- favorecer que ambas fluctuaciones tiendan a igualar sus densidades?[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Los casos 1 y 2 son situaciones inestables, mientras que la situación 3 es el típico de un sistema estable, llegandose al equilibrio termodinámico. Para ver esto de alguna forma aproximada podriamos considerar las entropias S_1 y S_2 de dos fluctuaciones (completas, o sea sin asumir que $R\sim N^2/|U|$) y considerar la entropia total,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$S_T = S_1(U_1,R_1,N_1) + S_2(U2,R_2,T_2)$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ver bajo qué condiciones S total crece, y ello nos dará la respuesta de hacia donde evoluciona el sistema (por lo menos dentro de toda la cantidad de aproximaciones que se han hecho).[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Una contradicción que me surge del razonamiento de carroza es el siguiente. Si dentro de la nube tomo una porción de fluido con N partículas y energía U, tendría un radio caracteristico donde esta porción está distribuida, y ello me da una densidad del orden de U^3/N^5, y esta depende de la porción que tome, lo cual implica que la densidad no puede ser uniforme en la nube, como en principio se había supuesto. Es por esto que es importante la condición de homogeneidad que cité en el post anterior.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos.[/FONT]

[carroza]

Re: ¿Hay fuerzas no gravitatorias en la Materia Oscura?

Hola, Justinux.

Gracias a ti por la discusion. Yo también he aprendido de la discusión, en especial termodinámica, que la tengo algo oxidada.

De las tres cuestiones que planteas, no me atrevo a opinar.

Yo también creo que este es un buen punto para cerrar el hilo. Se ha hecho un poco largo, y yo particularmente no tengo mucho más que aportar.

Si te animaría a que, en su momento, abrieras otro hilo, llamado, por ejemplo "¿Es estable una nube cohesionada por fuerzas gravitatorias?" Esto sería muy relevante para aprender sobre la formación de estrellas a partir de nubes de gas, y de paso, para entender cómo evoluciona que la materia oscura.

Un saludo