Duda sobre contracción de longitudes. ¿hay un centro de contracción?

[guibix]

Re: Duda sobre contracción de longitudes. ¿hay un centro de contracción?

No veo muy claras tus expresiones. Para tratar este tipo de problemas te recomiendo usar sistemas con aceleración propia constante mediante rotaciones hiperbólicas.

Me cito a mi mismo en otro post para que puedas usarlo en este problema:

Hay otra manera de describir la trayectoria de un objeto sometido a una fuerza constante y es en función del tiempo propio $\tau$ del objeto. Cualquier objeto en estas condiciones describe una hipérbola. Lo que se hace es elegir el SRI en donde la hipérbola esté centrada en el origen para simplificarlo matemáticamente.

En este caso en $t=0$ el objeto no pasará por el origen si no por una distancia $r$ que depende de la $k$ elegida.

Si elegimos la distancia $r,$ la trayectoria en función del tiempo propio viene dada por

$x=r\cosh\dfrac{c\tau}{r},$

$t=\dfrac r c \sinh\dfrac{c\tau}{r},$

La relación entre $k$ y $r$ es

$r=\dfrac {c^2} {k}.$

Por lo tanto, las trayectorias en función de $k$ son

$x=\dfrac {c^2} {k}\cosh\dfrac{k\tau}{c},$

$t=\dfrac c k \sinh\dfrac{k\tau}{c}.$

Por cierto, $k$ es la aceleración constante que se “siente” en el sistema de referencia acelerado.

Puedes usar dos $r$ distintos, uno para A y otro para B. Y podrás comprobar que para cualquier $t,$ la distancia entre las dos $x$ corresponde a la contracción espacial. Aunque en éste caso, las velocidades de la parte trasera y delantera no son iguales y esta medida corresponde a la cotracción correspondiente a la velocidad del punto central entre A y B.

Ah, para más información puedes usar también la expresión

$v=c \tanh\dfrac{k\tau}{c}.$

Saludos.

[EduardoGavilan2]

Re: Duda sobre contracción de longitudes. ¿hay un centro de contracción?

En el caso 1 los movimientos de A y B son simultáneos para O, lo que quiero decir es que si O mide las velocidades de A y de B en un momento dado (de O) obtendrá el mismo valor, por lo tanto la distancia entre A y B medida por O es siempre la misma, igual a la inicial, y efectivamente, como tu dices, la distancia entre A y B medida por A (o por B) no coincide con la medida por O.

La conclusión a la que quería llegar es que en el caso 1 la distancia entre A y B medida por O es siempre la misma, igual a la inicial, y esto es, creo yo, de pura lógica, si son naves idénticas, con instrucciones idénticas (dadas por O) entonces O verá en todo momento la misma distancia entre ambas, y lo del caso 2 era para contraponer un caso en el que dicha distancia no se mantiene.

[arivasm]

Re: Duda sobre contracción de longitudes. ¿hay un centro de contracción?

La conclusión a la que quería llegar es que en el caso 1 la distancia entre A y B medida por O es siempre la misma, igual a la inicial, y esto es, creo yo, de pura lógica, si son naves idénticas, con instrucciones idénticas (dadas por O) entonces O verá en todo momento la misma distancia entre ambas, y lo del caso 2 era para contraponer un caso en el que dicha distancia no se mantiene.

No es cierto: si la velocidad relativa entre A (o B) y O varía, también lo hará la distancia entre A y B medida desde O.

[guibix]

Re: Duda sobre contracción de longitudes. ¿hay un centro de contracción?

Aunque en éste caso, las velocidades de la parte trasera y delantera no son iguales y esta medida corresponde a la cotracción correspondiente a la velocidad del punto central entre A y B.

Tengo que aclarar que la contracción medida de esta manera tampoco corresponde a la de la velocidad del punto medio calculado con las Transformaciones de Lorentz. Corresponde a la contracción calculada a partir de la velocidad de cualquier punto entre A y B, en el límite en que la distancia entre A y B tiende a cero en comparación con $r.$

No es cierto: si la velocidad relativa entre A (o B) y O varía, también lo hará la distancia entre A y B medida desde O.

Si entiendo bien lo que quiere decir EduardoGavilan2 en el primer caso, si las funciones de aceleración de A y B observadas en O siguen la misma función $a(t)$ con un desplazamiento inicial $l_0$ entonces sí que mantendrán la misma distancia $l_0$ en cada momento $t$ del observador en O. Pues simplemente uno seguirá $x(t)$ y el otro $x(t)+l_0$ Si propone que la condición es precisamente que A y B conservan su distancia observada en O, pues eso es lo que tendrá que ocurrir.

También es cierto que ambos (A y B) marcarán un tiempo propio igual en cada instante $t$ en O.

Lo que también ocurre es que en los SRA, tanto en A como en B no medirán una distancia entre ellos constante. Tampoco medirán sus tiempos propios mutuamente sincronizados y tampoco mediran las mismas velocidades ni las mismas aceleraciones mutuas.

PD: Acabo de ver un error garrafal. Puse $a(t)$ dónde quería decir $x(t).$ Correjido. El $\Delta x$ lo cambio por $l_0$

[arivasm]

Re: Duda sobre contracción de longitudes. ¿hay un centro de contracción?

Acabo de releer el caso 1. Tiene razón guibix. La objeción buena es ésa.