Avanzado Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

[guibix]

Hola a todo el mundo.

A ver si alguien puede ayudarme con esto.

Tenemos que la masa de un agujero negro es proporcional a su radio. De la expresión del radio de Schwarzschild

$R_s=\dfrac{2GM}{c^2},$

obtenemos su masa en función del radio

$M=\dfrac{R_sc^2}{2G}.$

El volumen de una esfera de radio $R_s$ es

$V=\dfrac 4 3 \pi R_s^3,$

por lo que la densidad de un agujero negro en función de su radio es

$\rho=\dfrac M V =\dfrac{3c^2}{8G\pi R_s^2}.$

Si aislamos el radio nos queda


$R_s=c\sqrt{\dfrac{3}{8G\pi \rho}}$

No parece nada especial pero esto significa que para cualquier densidad dada, existe un radio para un agujero negro de dicha densidad. Si ponemos la densidad actual del Universo $\approx 9,9\cdot 10^{-27}kg/m^3,$ nos sale un radio de unos $1,27\cdot 10^{26}m$ que son unos 13 468 millones de años luz.

Entiendo que el Universo no se convierta en mega-agujeros negros porqué la media del pulso gravitacional en cualquier punto es isotrópico y por lo tanto nulo. No existe ningún punto singular hacia el que todo caiga y no pueden formarse singularidades.

Pero no deja de perturbarme la idea de que un agujero negro de dicho radio contiene la misma cantidad de materia que una esfera del mismo radio en nuestro universo. Y aunque no puedan formarse singularidades ni colapsos gravitacionales súper-masivos, esto tiene que afectar de alguna manera en la descripción de una región de dicho tamaño. Me refiero al principio holográfico: “la cantidad de información máxima que puede contener un volumen esférico es igual al número de áreas de Planck que ocupa la 2-esfera que encierra dicho volumen” (o algo así ).

Si queremos describir el universo con un radio superior al dicho, estamos tratando con un objeto más denso que un agujero negro del mismo tamaño. Claro que podemos describirlo en términos de un espacio-tiempo homogéneo tan grande como queramos pero en términos del principio holográfico existiría este límite de radio para poder describir holográficamente el contenido de un volumen de cierta densidad.

Además, usando solo el teorema de Gauss y sin necesidad del principio holográfico, la solución para un punto cualquiera en la superficie de una esfera imaginaria con este radio, con respecto al contenido del volumen de la esfera, es idéntica a la solución para un punto en la superficie de un agujero negro de Schwarzschild del mismo radio.

¿Esto es correcto o mi razonamiento falla en alguna parte?

¿De ser así, cómo se explica en términos del principio holográfico y/o del teorema de Gauss?

¿Se puede definir este radio como algún tipo de horizonte cosmológico?

Lo curioso es que ese radio es algo menos que la “longitud de Hubble”. No he calculado el error pero he usado los datos más ajustados que he encontrado y no creo que supere el 10%. Aunque solo he mirado la wiki y fuentes citadas el ella, y he encontrado discrepancias entre distintas fuentes sobre la densidad de energía del universo, la diferencia entre ellas no supera el 5%.

Si este radio fuera igual o superior a la longitud de Hubble, no habría razón para pensar que eso fuese un problema y más bien sería señal de que puede haber alguna relación profunda entre ambos. Pero si es inferior a la longitud de Hubble, parece que podría haber un problema al menos con respecto al principio holográfico.

¿Alguna idea de cómo aclararme con todo esto?

Gracias y saludos.

[BlasterHR]

Re: Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

Dices que un agujero negro puede tener la misma densidad que el propio universo (si no he entendido mal). Esto no debería ser posible, ya que dicho agujero negro está en el propio Universo, por lo cual, y ej mi opinión, no tendría sentido físico

[guibix]

Re: Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

Dices que un agujero negro puede tener la misma densidad que el propio universo (si no he entendido mal). Esto no debería ser posible, ya que dicho agujero negro está en el propio Universo, por lo cual, y ej mi opinión, no tendría sentido físico

Por eso pregunto. Quizás me equivoque. Pero si tomas la ecuación del radio de Schwarzschild y la del volumen de una esfera, lo juntas y llegas a

$R_s=c\sqrt{\dfrac{3}{8G\pi \rho}},$

pon la densidad que quieras a la derecha que te saldrá a la izquierda el radio de un agujero negro de dicha densidad.

- - - Actualizado - - -

He indagado un poco más y lo he aplicado a las ecuaciones de expansión

$H^2=\dfrac{G8\pi}{3}\rho-\dfrac{k}{a^2} =\dfrac{C_R}{a^4}+\dfrac{C_M}{a^3}+\Lambda-\dfrac{k}{a^2}.$

De la ecuación,

$R_s=c\sqrt{\dfrac{3}{8G\pi \rho}},$

substituimos los valores y lo podemos simplificar a

$R_s=c\sqrt{\dfrac{1}{H^2+\frac{k}{a^2}}}.$

Y para el caso de un espacio plano $k=0,$ nos queda

$R_s=\dfrac c H.$

Por lo que sí se trata de una longitud de Hubble y por ende un horizonte cosmológico. Aunque tengo entendido que $c/H_0$ como longitud de Hubble actual, es solo una extrapolación suponiendo que $H$ es constante.

¿Entonces, cómo es que llego al mismo resultado sin haberlo tratarlo como aproximación?

¿Y si es una aproximación, cómo obtengo las contribuciones de orden superior, pasarlo a diferencial e integrar? Es que no consigo ver que sea esto, ya que obtengo $H$ como variable y no como constante.

Si efectivamente este radio se trata de la longitud de Hubble, entonces sí que el principio holográfico parece cumplirse correctamente. Además, creo que puedo entender porqué algunas teorías intentan modelar el universo como algún tipo de agujero negro. No conozco mucho ni del Principio Holográfico ni de los modelos de Universo/Agujero negro. Pero parece que estos argumentos pueden reforzar ambas ideas.

¿Van por aquí los tiros?

¿Qué otros argumentos pueden contradecir todo esto?

[carroza]

Re: Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

Hola.

Algunos comentarios y objeciones, con idea no de resolver tu duda, sino de ayudarte a perfilarla mejor.

1. El radio de Swarzchild corresponde a una distribución singular de materia, toda concentrada en el centro, no a una distribución homogenea de materia, con densidad fija, extendida hasta el radio de Swarzchild.

2. Dentro de un agujero negro, no puedes tener (descrito desde el exterior), una distribución de masas estacionaria. Todas las geodésicas colapsarían en la singularidad del centro, por lo que no tendrías una densidad "constante", independiente del tiempo. No te valdría, por tanto, la métrica estacionaria de Swarzchild.

3. El teorema de Gauss vale para campos que hayan estrictamente como 1/r^2. No tiene por qué ser válido para la gravedad, cerca del radio de swarzchild.

4. Las soluciones de la gravedad general, para un universo homogéneo (misma densidad) e isótropo (mismo compostamiento en todas las direcciones), dan las soluciones conocidas de Friedmann. Esto son soluciones no estacionarias, en las que el universo se expande indefinidamente. Estas soluciones son muy diferentes a la de Swarchild, con una singularidad puntual.

5. Si quieres describir nuestro universo, está la energía oscura (o, equivalentemente, la constante cosmológica), que no aparece en el caso de la geometría de Swarchild.

6. Entiendo que te sorprende llegar al radio del universo visible, R=c/H, a partir de usar una fórmula en principio inadecuada (El radio de swarzchild de una singularidad). Yo diría que eso se debe a una cuestión de análisis dimensional. El único parámetro con dimensiones de distancia que puedes obtener en una teoría clásica de la gravitación es, precisamente c/H, donde H está relacionado con la densidad y la constante de gravitación por tu expresión anterior.


Bueno, que disfrutes perfilando tu razonamiento.

Un saludo

[Jaime Rudas]

Re: Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

$R_s=\dfrac c H.$

Por lo que sí se trata de una longitud de Hubble y por ende un horizonte cosmológico.

Cuidado: la longitud de Hubble no es un horizonte cosmológico.

¿Entonces, cómo es que llego al mismo resultado sin haberlo tratarlo como aproximación?

Alguna vez leí (creo que a Pedro J. Hernández) que este resultado no es casual, sino producto, si mal no recuerdo, de que la densidad del universo es muy cercana a la crítica. Cuando tenga tiempo,trataré de buscarlo y te comento.

[Visitante]

Re: Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

Si no me equivoco, la formula del radio de Schwarzschild y la segunda ecuacion
de Friedman estan relacionadas bajo ciertas condiciones y la primera, determina
la distancia a la que la velocidad de escape es igual a C en un agujero negro
de masa M y determina su horizonte de sucesos.

Por otra parte, el radio de Hubble determina la distancia a la que la velocidad de
expansion del Universo es superluminica. Y no representa ningun horizonte porque
podemos ver objetos mas allá del radio de Hubble. Y no es constante porque

$\dst{H=\frac{\frac{da}{dt}}{a}}$

y esto para el Modelo Standard no es constante.

Si tomamos:

$\dst{H_0^2=\frac{8}{3}\:\pi\: G\:\delta_{0c}}$

$\dst{M_u=\frac{4}{3}\:\pi\:R_u^3\:\delta_{0c}}$

$\dst{R_s=\frac{2GM_u}{c^2}}$

$\dst{H_0=\frac{c}{R_0}}$

Resulta:

$\dst{R_s=\frac{R_u^3}{R_0^2}}$

Y si hacemos:

$\dst{R_u = R_0}$

Resulta:

$\dst{R_s = R_0}$

Creo que has tomado la densidad critica actual de 9.9 x 10^-27 (Kg/m^3)
en funcion de la constante de Hubble actual. Y luego has vuelto a usar
un radio para calcular un volumen igual al radio de Hubble...Y por esto te sale
que el radio de Schwarzschild es igual al radio de Hubble...Y esto provoca
la confusion de que el Universo es una especie de agujero negro a la inversa...
(Como me ha pasado a mi...)
No se si te habré ayudado algo...
Un saludo.

[guibix]

Re: Densidad de agujeros negros y Principio Holográfico

Gracias por vuestras respuestas, creo que entre todos me habéis ayudado bastante a comprenderlo mejor. Cuando tenga tiempo atenderé algunos puntos que habéis mencionado.

Pero hay algo que aún me baila y es con respecto el Principio Holográfico (PH). Y es que la cantidad máxima de información que puede contener un volumen esférico es igual a la superficie de dicha esfera en áreas de Planck.

Entiendo que se pueda describir el universo en cuatro coordenadas tan grande como se quiera sin que todo esto afecte lo más mínimo. Pero si el PH se postula como principio fundamental, entonces este radio algo tiene de horizonte.

¿Cómo puede sobrevivir el PH al hecho de que podamos describir más información de la que predice?

Y ya puestos también me gustaría entender algo del PH:

¿Cómo diantre se puede describir un espacio-tiempo 3D+1, por pequeño que sea, con uno 2D+1?

Para explicarlo se usa la analogía de los hologramas convencionales. Pero éstos solo describen las superficies de los objetos y no describen todo el contenido del volumen (como es el caso del interior de los objetos.) También se usa el concepto de la estratificación de la materia en el horizonte de sucesos de un agujero negro. Pero tampoco queda claro como se pasa de 3D a 2D sin perder información.

Y eso me lleva a otra cuestión. Al parecer, hay indicios para pensar que la unidad fundamental de medida de espacio es el área. Algo tiene el área que lo hace especial y no acabo de entender el que. Sí, es cierto que el elemento métrico de casi cualquier métrica aparece en forma cuadrática de manera natural, ya que lo que se conserva son funciones de áreas. Pero no acabo de verle la clave a esto.

¿Alguna idea?

Gracias.