Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

La idea es clara. (Para el caso de las ecuaciones de Friedmann).

1.- El tensor de Einstein es igual al tensor EnergiaMomento.

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + \Lambda g_{\alpha \beta} = 8 \pi (T_{1,\alpha \beta}+T_{2,\alpha \beta}+...)}$

2.- El tensor de Einstein ´G´ depende completamente del tensor geometrico ´g´.
3.- El tensor ´g´ depende completamente de la metrica FLRW.
4.- Cuando desarrollamos el tensor geometrico y obtenemos el tensor de Riemann,
el tensor de Ricci y el escalar de Ricci e igualamos a la suma de tensores EnergiaMomento,
obtenemos las 2 ecuaciones de Friedmann.
Aqui la incognita es a(t) y $\dst{\varepsilon}$ o ´k´ es un dato.

Pero a la hora de ponerlo en practica y con numeros, esto se complica.

Veo que hay diferentes formas de la metrica FLRW en coordenadas esfericas con
$\dst{(t,r, \theta, \varphi)}$ con dimensiones diferentes.

Por ejemplo, la forma ´standart´:

$\dst{ds^2 = - dt^2 + \frac{a^2(t)}{(1- \varepsilon\: r^2)}dr^2 + a^2(t)\: r^2 d \theta^2 + a^2(t)\: r^2 sen^2 \theta\: <br /> d \varphi^2}$

$\dst{[t] = L^1 }$ (Tiempo en dimensiones de Longitud)
$\dst{[\varepsilon] = L^0 }$ ($\dst{\varepsilon}$ , adimensional)
$\dst{[r] = L^0 }$ (Radio, adimensional)
$\dst{[a] = L^1 }$ (Factor de escala en dimensiones de Longitud)

Y por ejemplo, la forma ´conforme´:

$\dst{ds^2 = - a^2( \tau)\: d\tau^2 + \frac{a^2( \tau)}{(\frac{1+k r^2}{4})^2} dr^2 + \frac{a^2( \tau)}{(\frac{1+k r^2}{4})^2}\: r^2 d \theta^2 + \frac{a^2( \tau)}{(\frac{1+k r^2}{4})^2}\: r^2 sen^2 \theta\: <br /> d \varphi^2}$

$\dst{[\tau] = L^1 }$ (Tiempo conforme en dimensiones de Longitud)
$\dst{[k] = L^{-2} }$
$\dst{[r] = L^1 }$ (Radio en dimensiones de longitud)
$\dst{[a] = L^0 }$ (Factor de escala, adimensional)

Tambien he visto otra forma ´isotropa´ y otra ´comovil´...y debe haber otra
forma en coordenadas $\dst{(t, x, y, z)}$

Cada forma de la metrica FLRW da lugar a un tensor geometrico diferente.
Y cada tensor geometrico debe dar lugar a un tensor G diferente...

Como yo tengo las ecuaciones de Friedmann bajo la forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst{[t] = T^1 }$ (Tiempo en tiempo)
$\dst{[a] = L^0 }$ (Factor de escala, adimensional)
$\dst{[ \delta_i\: G], [ \varepsilon] ,[\Lambda] = T^{-2} }$

A saber de que forma de la metrica FLRW se ha partido...

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Segun el blog de Armando Martinez Tellez, resulta que el tensor de Einstein

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R }$

se puede expresar asi:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} \Delta_{\alpha \beta} R }$

Delta es la Delta de Kronecker.
(No me pregunteis porque?, porque no se como llega a esta simplificacion...)
(Y no se si esto es una simplificacion general o solo se aplica cuando todos los
componentes de los tensores (G,g,T,R) son = 0, excepto los de la diagonal principal...)

E intuyo que:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + \Lambda g_{\alpha \beta} = 8 \pi (T_{1,\alpha \beta}+T_{2,\alpha \beta}+...)}$

se puede expresar asi:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} \Delta_{\alpha \beta} R + \Delta_{\alpha \beta}\Lambda = 8 \pi T_{\alpha \beta}}$

y en el tensor EnergiaMomento:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst{p\: g_{11} = p}$

$\dst{p\: g_{22} = p}$

$\dst{p\: g_{33} = p}$

Y entonces:


$\dst{G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2} R + \Lambda = - \delta}$

$\dst{G_{11} = R_{11} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p}$

$\dst{G_{22} = R_{22} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p}$

$\dst{G_{33} = R_{33} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p}$

y R_11 = R_22 = R_33

Y esto ya me cuadra mas con las 2 formulas de Friedmann.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst{\frac{\frac{d^2 a}{dt^2}}{a}= -\frac{4}{3} \pi ( \delta + 3 p)+ \frac{\Lambda }{3}}$

Y ahora solo nos falta saber cuanto vale R_00, R_11 y R.

Si?

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Creo que hallar los christofells y luego hallar los $G_{ii}$ me parece que va ser el siguiente paso acertado en el planteo, aunque me va a llevar tiempo calcularlos

solo tengo una duda, bastante simple o quiza me maree pero

se puede expresar asi:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} \Delta_{\alpha \beta} R + \Delta_{\alpha \beta}\Lambda = 8 \pi T_{\alpha \beta}}$

....

Y entonces:


$\dst{G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2} R + \Lambda = - \delta}$

$\dst{G_{11} = R_{11} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p}$

$\dst{G_{22} = R_{22} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p}$

$\dst{G_{33} = R_{33} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p}$

y R_11 = R_22 = R_33

para mi faltan los $8\pi$

$\dst{G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2} R + \Lambda = - \delta 8\pi}$

$\dst{G_{11} = R_{11} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p 8\pi}$

$\dst{G_{22} = R_{22} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p 8\pi}$

$\dst{G_{33} = R_{33} - \frac{1}{2} R + \Lambda = p 8\pi}$

Evidentemente el factor $\dfrac 13$ debe venir del calculo de $G_{ii}$ , los $R_{ii}$, y R , se debe hacer un factor comun y por ello afecta tanto a la constante cosmologica como al las componentes del tensor energia momento para luego mostrarlas de la manera que mas las conocemos osea pasando terminos de izquierda a derecha

si $R_{11} = R_{22} = R_{33}$ y si ademas sucediera $G_{11}= G_{22} = G_{33}$

las tres últimas ecuaciones son iguales y con sumarlas no explicaria el origen del tercio.

no estamos tan lejos creo

Saludos

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Esta ´matriz´, ´g´, que aparece en las ecuaciones:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + \Lambda g_{\alpha \beta} = 8 \pi T_{\alpha \beta}}$

y

$\dst{R = g^{\alpha \beta }\: R_{\alpha \beta }}$

y en el tensor EnergiaMomento:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Estoy seguro que vale: (Para este caso???)

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}$

Luego:

$\dst{R = R_{00} + 3 R_{11}}$

Pero:
No veo que relacion hay entre el tensor geometrico ´g´ que vale:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

según la metrica standard FLRW:

$\dst{ds^2 = - dt^2 + \frac{a^2(t)}{(1- \varepsilon\: r^2)}dr^2 + a^2(t)\: r^2 d \theta^2 + a^2(t)\: r^2 sen^2 \theta\: <br /> d \varphi^2}$

y esta ´matriz´, ´g´ que aparece en la ecuacion de Eisntein y que parece que vale:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}$

Espero que Richard publique la deduccion desde el tensor geometrico ´g´ hasta el
tensor de Ricci. Y yo voy a intentar deducir el tensor de Ricci a partir de las
ecuaciones de Friedmann.
(y Gracias. Si. Me faltaba el termino (8 pi) en mi mensaje anterior.)

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

A partir de las ecuaciones de Friedmann:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst{\frac{\frac{d^2 a}{dt^2}}{a}= -\frac{4}{3} \pi ( \delta + 3 p)+ \frac{\Lambda }{3}}$

Despejando, (8 pi Densidad) y (8 pi Presion), obtengo:

$\dst{- 8\:\pi\:\delta = -3 \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2} + \Lambda}$

$\dst{8\:\pi\:p = -2 \frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2} + \Lambda}$

y de:

$\dst{G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2} R + \Lambda = -8\:\pi\:\delta}$

$\dst{G_{11} = R_{11} - \frac{1}{2} R + \Lambda = 8\:\pi\:p}$

$\dst{R = R_{00} + 3\:R_{11}}$

Obtengo:

$\dst{R_{11} = \frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

$\dst{R_{00} = 3\:\frac{\ddot{a}}{a}}$

$\dst{R = 6\: \frac{\ddot{a}}{a}+ 6\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

No estoy seguro de todo esto. Porque, a pesar que el resultado de las ecuaciones cuadran,
hay unos terminos del tensor geometrico ´g´ en:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + \Lambda g_{\alpha \beta} = 8 \pi T_{\alpha \beta}}$

y

$\dst{R = g^{\alpha \beta }\: R_{\alpha \beta }}$

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que yo asumo que valen:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}$

Cuando deben valer:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

Y sospecho que estan ´ocultos´ en algun sitio y que por alguna razon se anulan para
este caso.
Y sospecho que el tensor de Ricci REAL vale: (En funcion del tensor de Ricci obtenido)

$\dst{R_{11} = (\frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}) g_{11}}$

$\dst{R_{22} = (\frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}) g_{22}}$

$\dst{R_{33} = (\frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}) g_{33}}$

Y que, el termino T_00 vale realmente:

$\dst{T_{00} = \delta \: g_{00}}$

Si?
Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Ya hice los cristofells , en cuanto pueda confecciono el riemann y luego sumare para hallar el ricci y comparar, el tema es estar trabajando con los mismos supuestos que hizo Friedmann
Lo que expones tiene sentido, pero por ahora no puedo asentir ni disentir.

Los valores que trae la metrica son los a y $\ddot{a}$ todos no se hacen 0 ni se compensan y estoy 99% seguro que la matriz $g=\delta_{ij}$ no es la que hay que usar ,sino la g_uv de Friedmann en todos los casos.



Edito

hasta ahora llevo calculados 64 Christofells 54 =0 y 10 no triviales

y de los 256 componentes del riemman 24 son no triviales

voy a ver si puedo mañana contraerlo y ver que queda.

Saludos

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Lo siento. Me ha equivocado en un signo y voy a modificar R_11, R_22, R_33
y el Tensor EnergiaMomento para que me cuadren la Ecuacion de Einstein,
el escalar de Ricci y que se deriven las 2 ecuaciones de Friedmann.

1.- R_00 vale:

$\dst{R_{00} = - 3\:\frac{\ddot{a}}{a}}$

2.- Si hago:

$\dst{R_{11} = (\frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}) g_{11}}$

$\dst{R_{22} = (\frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}) g_{22}}$

$\dst{R_{33} = (\frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}) g_{33}}$

$\dst{R = 6\: \frac{\ddot{a}}{a}+ 6\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

y

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

y

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} - \delta \cdot{} g_{00} & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

Entonces: (Si no me equivocado)

1.- Me cuadra el escalar de Ricci.

$\dst{R = g^{\alpha \beta }\: R_{\alpha \beta }}$

2.- Me cuadra la ecuacion de Einstein:

$\dst{G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + \Lambda g_{\alpha \beta} = 8 \pi T_{\alpha \beta}}$

3.- y de esto, derivan las 2 ecuaciones de Friedmann.

$\dst{ 8\:\pi\:\delta = 3 \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2} - \Lambda}$

$\dst{8\:\pi\:p = -2 \frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2} + \Lambda}$

Espero no haberme equivocado otra vez.
Realmente, el procedimiento bueno y complicado es el que está haciendo Richard.
Yo solo estoy dando ´palos de ciego´ para que todo me cuadre...
Un saludo.

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Esto no lo entiendo.

Haciendo un analisis dimensional de la ecuacion de Einstein:

Segun el blog de Armando Martinez Tellez.
´´Todos los componentes de un tensor están definidos en las mismas unidades´´

1.- En las mismas unidades (m,cm,Km,...) (Porque esto es evidente)
o dimensiones ([L^1], [L^2],...) ???

Porque:
Por ejemplo, la forma ´standard´ de la metrica FLRW:

$\dst{ds^2 = - dt^2 + \frac{a^2(t)}{(1- \varepsilon\: r^2)}dr^2 + a^2(t)\: r^2 d \theta^2 + a^2(t)\: r^2 sen^2 \theta\: <br /> d \varphi^2}$

$\dst{[t] = L^1 }$ (Tiempo en dimensiones de Longitud)

$\dst{[\varepsilon] = L^0 }$ ($\dst{\varepsilon}$, adimensional)

$\dst{[r] = L^0 }$ (Radio, adimensional)

$\dst{[a] = L^1 }$ (Factor de escala en dimensiones de Longitud)

El tensor geometrico ´g´:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

Tiene dimensiones:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} [L^0] & 0 & 0 & 0\\ 0 & [L^2] & 0 & 0 \\ 0 & 0 & [L^2] & 0 \\ 0 & 0 & 0 & [L^2] \end{bmatrix}}$

Luego:

El tensor ´g´ no es dimensionalmente homogeneo.

Y como el tensor ´g´ interviene en 3 de los 4 componentes de la Ecuacion de Einstein,
Ni el tensor de Ricci ni el tensor EnergiaMomento, ni el escalar de Ricci x el tensor
geometrico, ni la Constante Cosmologica x el tensor geometrico...pueden
ser dimensionalmente homogeneos. (A pesar que las ecuaciones que se derivan
(las ecuaciones de Friedmann) si son dimensionalmente correctas y la ecuacion
de la metrica standard FLRW tambien lo es).
(Densidad, Presion y Costante Cosmologica en dimensiones [L^-2]
y Masa en dimensiones [L^1].

Me estoy haciendo un lio?
Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Hola FVPI , estoy trabado en calculo del Ricci

me queda $R=6 \dfrac {\ddot a}{a}+6\dfrac {\epsilon}{a}$

cuando debe dar$R=6 \dfrac {\ddot a}{a}+6\dfrac {\epsilon}{a}+6\dfrac {\dot a^2}{a^2}$

el termino $6\dfrac {\dot a^2}{a^2}$ sale de una suma $3\dfrac {\dot a^2}{a^2}+3\dfrac {\dot a^2}{a^2}$ pero no puedo evitar( he calculado 4 veces las 64 derivadas del tensor metrico , calculado los 64 christofells, tambien sus 256 derivadas, para calcualr las 256 componentes del riemman para ir sumando y dar 16 componentes del ricci y cuando llego al escalar...

en mis cálculos tengo $3\dfrac {\dot a^2}{a^2}-3\dfrac {\dot a^2}{a^2}=0$

Por ello no estoy pasando todo el desarrollo pero cuando detecte en que me equivoco lo hare.


Te comento que es lo que creo que pasa en tu planteo

El tensor geometrico ´g´:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

es en realidad
$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

las dimensiones son

$\dst{[t] = t^1 }$ (Tiempo o $\dst{[ct] = L^1 }$ en dimensiones de Longitud)

$\dst{[\varepsilon] = L^-2 }$ ($\dst{\varepsilon}$, dimensional)

$\dst{[r] = L^1 }$ (Radio, dimensional)

$\dst{[a] = L^0 }$ (Factor de escala adimensional)

entonces te queda



$\dst{[g]=\begin{bmatrix} [L^2] & 0 & 0 & 0\\ 0 & [L^2] & 0 & 0 \\ 0 & 0 & [L^2] & 0 \\ 0 & 0 & 0 & [L^2] \end{bmatrix}}$

Luego:

El tensor ´g´ es dimensionalmente homogeneo.


el tensor de ricci tambien esta dividido por $c^2$ para que dimensionalmente cierre


Saludos.[/QUOTE]

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

De acuerdo. Ya entiendo.

El tensor geometrico ´g´ esta determinado por una ´metrica´.
Y la metrica depende del sistema de coordenadas escogido y de las
dimensiones del sistema de coordenadas.

Por ejemplo, en la metrica de Minkowski:

$\dst{ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2}$

con:

$\dst{[t] = T^1\;y\;\;[x] = [y] = [z] = L^1}$

y:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} - c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}$

ó:

$\dst{ds^2 = - dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2}$

con:

$\dst{[t] = L^1\;y\;\;[x] = [y] = [z] = L^1}$

y:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}$

ó:

$\dst{ds^2 = - dt^2 + dr^2 + r^2\:d \theta^2 + r^2\:sen^2 \theta\:d \varphi^2}$

con:

$\dst{[t] = L^1\;y\;\;[r] = L^1\;\;y\;\;[ \theta] = [ \varphi] = L^0}$

y:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2\;sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

Las 3 definiciones del tensor ´g´ son correctas, pero por si solos, no son dimensionalmente
homogeneos.
Serán homogeneos cuando les asocie la metrica.

Por ejemplo:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

Este no es dimensionalmente homogeneo.

Pero este si:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1\:dt^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)}\:dr^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2\:d\theta^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\:d \varphi^2\end{bmatrix}}$



Y creo que los terminos:

$\dst{A = \frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

$\dst{B = 3\:\frac{\ddot{a}}{a}}$

Y el escalar de Ricci:

$\dst{R = 6\: \frac{\ddot{a}}{a}+ 6\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

Son correctos y deben estar en el tensor de Ricci de alguna forma.
Pero yo creo que lo que nos pasa es que nos estamos liando con el tensor ´g´,
y en particular, con ese g_00 = -1.

Y yo, por mi parte, deberia aclarar si:

$\dst{T_{00} = \delta \;\;o\;\;T_{00} = - \delta\:\:\cdot{}g_{00}}$

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

He terminado, corregi el error y te adelanto que

Las 3 definiciones del tensor ´g´ son correctas, pero por si solos, no son dimensionalmente
homogeneos.
Serán homogeneos cuando les asocie la metrica.

Como las operaciones entre filas o columnas no se mezclan a causa de la linealidad, es igual a fines prácticos trabajar como si hubiera unidades homogeneas en cada fila o columna, y a la vez es mas sencillo obviar $c^2$ en los calculos y luego compensar donde las unidades no tengan consistencia.

Y creo que los terminos:

$\dst{A = \frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

$\dst{B = 3\:\frac{\ddot{a}}{a}}$

Y el escalar de Ricci:

$\dst{R = 6\: \frac{\ddot{a}}{a}+ 6\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

Son correctos y deben estar en el tensor de Ricci de alguna forma.
Pero yo creo que lo que nos pasa es que nos estamos liando con el tensor ´g´,
y en particular, con ese g_00 = -1.

es tal cual lo escribes y con las unidades queda

$R_{11}=R_{22}=R_{33}=\dst{A = \dfrac{\ddot{a}}{ac^2}+ 2\: \dfrac{\dot{a}^2 + \varepsilon c^2}{a^2c^2}}$

$R_{00}=\dst{B = 3\:\dfrac{\ddot{a}}{ac^2}}$

las demas$R_{ij}=0$

y sumando $B+3A$ tenes el escalar de Ricci

$R=\dfrac 6{a^2c^2}(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 + \varepsilon c^2)$

mañana empiezo a sumar el tensor de einstein y el energia momento, cuando lo tenga ordenadito lo posteo todo desde el comienzo.

Y yo, por mi parte, deberia aclarar si:

$\dst{T_{00} = \delta \;\;o\;\;T_{00} = - \delta\:\:\cdot{}g_{00}}$

Un saludo.

$\delta$ debe ser positiva , si bien esta en el subindice 0 solo es la metrica la que tiene la signatura (-+++)

Saludos

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Disculpa Richard. Con los datos del tensor de Ricci que escribes:

$\dst{R_{11} = R_{22} = R_{33} = \frac{\ddot{a}}{a}+ 2\: \frac{\dot{a}^2 + \varepsilon}{a^2}}$

$\dst{R_{00} = 3\:\frac{\ddot{a}}{a}}$

Solo vas a conseguir las ecuaciones de Friedmann si haces:

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}$

y

$\dst{T_{00} = - \delta}$

Esto es lo que yo hice para deducir el tensor de Ricci, en el post #18. Que me salio bien,
de milagro, para deducir los terminos A y B de mi mensaje anterior y el escalar de
Ricci. Pero luego hemos visto que esto no es asi, y que el tensor de Ricci debe valer:

$\dst{R_{ii} = B\:\:\cdot{}g_{ii}\;\;para\;i=0}$

$\dst{R_{ii} = A\:\:\cdot{}g_{ii}\;\;para\;i=1,2,3}$

y

$\dst{[g]=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 sen^2 \theta\end{bmatrix}}$

y

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} - \delta \cdot{} g_{00} & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

ó

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} \delta & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

Si queremos conseguir las ecuaciones de Friedmann.
Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Tienes razon

Las R_{ij} son distintas y mi post #24 es incorrecto solo son iguales esas componentes del Ricci luego de haberlas multiplicado por las componentes de la inversa de la metrica cuando hallas el escalar de Ricci de alli vino mi confusion esa multiplicacion parcial de componentes si es igual a A.

La metrica similar a la identidad que porpones no es correcta,y si lo es [g], el tema es el siguiente el tensor T de energia esta escrito en coordenadas de t,x,y,z y el riemman y el ricci lo obtuviste en Polares, entonces hay que transformarlo como a cualquier tensor de rango 2 por la matriz inversa de la trasformacion lineal del cambio de coordenadas y al obtener T' este es compatible en los subindices que estan multiplicados por $r^2$ y $r^2sin^2\theta$


- - - Actualizado - - -

La matriz inversa $[g^{uv}]$ si corresponde con la matriz de transformación del tensor de energía, pues es la que corresponde al espacio donde estamos trabajando , la idea intuitiva es siempre pensar en cartesianas a polares pero no es esa la matriz de transformación, así la doble transformación en ambos indices da $[M^{-1}]^2=[g^{uv}]$



Obtención de la ecuaciones de Friedmann a partir de la métrica FRLW


Sabemos que la métrica FLRW es

$\dst{ [g_{uv}]=\begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- k r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}}$

Y su inversa es

$\dst{ [g^{uv}]=\begin{bmatrix}\frac 1{-c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {(1- k r^2)} {a^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac 1{a^2 r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac 1{ a^2 r^2 \sin^2 \theta}\end{bmatrix}}$


El primer paso para obtener las ecuaciones de Friedmann consiste en hallar los componentes de la conexión de Levi Civita, osea los símbolos Christofells
Como dato necesitamos calcular las derivadas de las componentes de la métrica con respecto a las coordenadas del sistema de referencia.
Nombramos {0,1,2,3} a la serie de componentes {$t,r,\theta,\phi$}


$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_t}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2a\dot a}{(1- k r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2a\dot ar^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2a\dot a r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}}$

$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_r}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{ a^2k2r}{(1- k r^2)^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2a^2r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2a^2r \sin^2 \theta\end{bmatrix}}$

$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\theta}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2a^2r^2\sin \theta \cos\theta \end{bmatrix}}$

$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\phi}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$


El cálculo de los símbolos Christofells se hace mediante la fórmula

$$\Gamma_{ij}^m=\dfrac12 g^{km}\left (\partial_i g_{jk}+(\partial_j g_{ik}-(\partial_k g_{ij} \right )$$

Ej

$$\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{k0}\left (\partial_2 g_{2k}+(\partial_2 g_{1k}-(\partial_k g_{12} \right )=$$

$\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{00}\left (\partial_2 g_{20}+(\partial_2 g_{10}-(\partial_0 g_{12} \right )+$$\dfrac12 g^{10}\left (\partial_2 g_{21}+(\partial_2 g_{11}-(\partial_1 g_{12} \right )+$$\dfrac12 g^{20}\left (\partial_2 g_{22}+(\partial_2 g_{12}-(\partial_2 g_{12} \right )+$$\dfrac12 g^{30}\left (\partial_2 g_{23}+(\partial_2 g_{13}-(\partial_3 g_{12} \right )$


de donde

$\Gamma_{12}^0=0$

Los resultados de los 64 símbolos Christoffells son

$\Gamma^0_{00}=0$	$\Gamma^1_{00}=0$	$\Gamma^2_{00}=0$	$\Gamma^3_{00}=0$
$\Gamma^0_{01}=0$	$\Gamma^1_{01}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^2_{01}=0$	$\Gamma^3_{01}=0$
$\Gamma^0_{02}=0$	$\Gamma^1_{02}=0$	$\Gamma^2_{02}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^3_{02}=0$
$\Gamma^0_{03}=0$	$\Gamma^1_{03}=0$	$\Gamma^2_{03}=0$	$\Gamma^3_{03}=\dfrac {\dot a}{a}$
$\Gamma^0_{10}=0$	$\Gamma^1_{10}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^2_{10}=0$	$\Gamma^3_{10}=0$
$\Gamma^0_{11}=\dfrac{a\dot a}{c^2(1-kr^2)}$	$\Gamma^1_{11}=\dfrac{kr}{1-kr^2}$	$\Gamma^2_{11}=0$	$\Gamma^3_{11}=0$
$\Gamma^0_{12}=0$	$\Gamma^1_{12}=0$	$\Gamma^2_{12}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^3_{12}=0$
$\Gamma^0_{13}=0$	$\Gamma^1_{13}=0$	$\Gamma^2_{13}=0$	$\Gamma^3_{13}=\dfrac{1}{r}$
$\Gamma^0_{20}=0$	$\Gamma^1_{20}=0$	$\Gamma^2_{20}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^3_{20}=0$
$\Gamma^0_{21}=0$	$\Gamma^1_{21}=0$	$\Gamma^2_{21}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^3_{21}=0$
$\Gamma^0_{22}=\dfrac{a\dot ar^2}{c^2}$	$\Gamma^1_{22}=-r(1-kr^2)$	$\Gamma^2_{22}=0$	$\Gamma^3_{22}=0$
$\Gamma^0_{23}=0$	$\Gamma^1_{23}=0$	$\Gamma^2_{23}=0$	$\Gamma^3_{23}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta }$
$\Gamma^0_{30}=0$	$\Gamma^1_{30}=0$	$\Gamma^2_{30}=0$	$\Gamma^3_{30}=\dfrac {\dot a}{a}$
$\Gamma^0_{31}=0$	$\Gamma^1_{31}=0$	$\Gamma^2_{31}=0$	$\Gamma^3_{31}=\dfrac {1}{r}$
$\Gamma^0_{32}=0$	$\Gamma^1_{32}=0$	$\Gamma^2_{32}=0$	$\Gamma^3_{32}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta }$
$\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot ar^2\sin^2\theta}{c^2}$	$\Gamma^1_{33}= -(1-kr^2)r\sin^2\theta$	$\Gamma^2_{33}=-\sin\theta \cos\theta$	$\Gamma^3_{33}=0$

Luego de cada uno de los símbolos Christoffells tenemos que obtener la derivada parcial con respecto a cada componente del sistema de referencia, y utilizarlas para hallar las 256 componentes del tensor de Riemman que detallo

$\partial_0\Gamma^0_{00}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{00}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{00}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{00}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{01}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{01}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{01}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{01}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{02}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{02}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{02}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{02}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{03}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{03}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{03}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{03}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{10}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{10}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{10}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{10}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{11}=\dfrac{\dot a^2+\ddot aa}{c^2(1-kr^2)}$	$\partial_1\Gamma^0_{11}=\dfrac{a\dot a2kr}{c^2(1-kr^2)^2}$	$\partial_2\Gamma^0_{11}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{11}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{12}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{12}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{12}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{12}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{13}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{13}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{13}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{13}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{20}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{20}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{20}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{20}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{21}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{21}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{21}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{21}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{22}=\dfrac{(\dot a^2+\ddot aa)r^2}{c^2}$	$\partial_1\Gamma^0_{22}=\dfrac{a\dot a2r}{c^2}$	$\partial_2\Gamma^0_{22}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{22}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{23}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{23}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{23}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{23}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{30}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{30}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{30}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{30}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{31}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{31}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{31}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{31}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{32}=0$	$\partial_1\Gamma^0_{32}=0$	$\partial_2\Gamma^0_{32}=0$	$\partial_3\Gamma^0_{32}=0$
$\partial_0\Gamma^0_{33}=\dfrac{(\dot a^2+\ddot aa)r^2\sin^2\theta}{c^2}$	$\partial_1\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot a2r\sin^2\theta}{c^2}$	$\partial_2\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot ar^2\sin\theta\cos\theta}{c^2}$	$\partial_3\Gamma^0_{33}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{00}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{00}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{00}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{00}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{01}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^1_{01}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{01}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{01}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{02}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{02}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{02}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{02}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{03}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{03}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{03}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{03}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{10}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^1_{10}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{10}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{10}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{11}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{11}=\dfrac{2k^2r^2}{(1-k r^2)^2}+\dfrac{k}{1-kr^2}$	$\partial_2\Gamma^1_{11}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{11}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{12}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{12}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{12}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{12}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{13}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{13}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{13}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{13}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{20}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{20}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{20}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{20}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{21}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{21}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{21}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{21}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{22}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{22}=3kr^2-1$	$\partial_2\Gamma^1_{22}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{22}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{23}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{23}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{23}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{23}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{30}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{30}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{30}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{30}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{31}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{31}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{31}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{31}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{32}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{32}=0$	$\partial_2\Gamma^1_{32}=0$	$\partial_3\Gamma^1_{32}=0$
$\partial_0\Gamma^1_{33}=0$	$\partial_1\Gamma^1_{33}=(3kr^2-1)\sin^2\theta$	$\partial_2\Gamma^1_{33}=-(1-kr^2)2r\sin\theta\cos\theta$	$\partial_3\Gamma^1_{33}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{00}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{00}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{00}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{00}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{01}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{01}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{01}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{01}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{02}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^2_{02}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{02}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{02}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{03}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{03}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{03}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{03}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{10}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{10}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{10}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{10}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{11}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{11}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{11}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{11}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{12}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{12}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_2\Gamma^2_{12}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{12}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{13}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{13}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{13}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{13}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{20}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^2_{20}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{20}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{20}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{21}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{21}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_2\Gamma^2_{21}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{21}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{22}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{22}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{22}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{22}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{23}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{23}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{23}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{23}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{30}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{30}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{30}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{30}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{31}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{31}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{31}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{31}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{32}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{32}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{32}=0$	$\partial_3\Gamma^2_{32}=0$
$\partial_0\Gamma^2_{33}=0$	$\partial_1\Gamma^2_{33}=0$	$\partial_2\Gamma^2_{33}=\sin^2\theta-\cos^2\theta$	$\partial_3\Gamma^2_{33}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{00}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{00}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{00}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{00}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{01}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{01}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{01}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{01}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{02}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{02}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{02}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{02}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{03}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^3_{03}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{03}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{03}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{10}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{10}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{10}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{10}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{11}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{11}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{11}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{11}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{12}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{12}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{12}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{12}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{13}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{13}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_2\Gamma^3_{13}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{13}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{20}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{20}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{20}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{20}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{21}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{21}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{21}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{21}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{22}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{22}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{22}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{22}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{23}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{23}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{23}=\dfrac{-1}{\sin^2\theta}$	$\partial_3\Gamma^3_{23}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{30}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^3_{30}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{30}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{30}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{31}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{31}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_2\Gamma^3_{31}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{31}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{32}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{32}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{32}=\dfrac{-1}{\sin^2\theta}$	$\partial_3\Gamma^3_{32}=0$
$\partial_0\Gamma^3_{33}=0$	$\partial_1\Gamma^3_{33}=0$	$\partial_2\Gamma^3_{33}=0$	$\partial_3\Gamma^3_{33}=0$

Así con la fórmula calculamos cada de las 256 componentes del tensor de Riemann

$$R_{ijl}^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}<br /> -\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im}<br /> \Gamma^m_{jl}- \Gamma^k_{jm}<br /> \Gamma^m_{il}$$

Cuyos resultados son:

$R^0_{000}=0$	$R^1_{000}=0$	$R^2_{000}=0$	$R^3_{000}=0$
$R^0_{001}=0$	$R^1_{001}=\dfrac{\ddot a }{a}$	$R^2_{001}=0$	$R^3_{001}=0$
$R^0_{002}=0$	$R^1_{002}=0$	$R^2_{002}=\dfrac{\ddot a }{a}$	$R^3_{002}=0$
$R^0_{003}=0$	$R^1_{003}=0$	$R^2_{003}=0$	$R^3_{003}=\dfrac{\ddot a }{a}$
$R^0_{010}=0$	$R^1_{010}=\dfrac{ -\ddot a }{a}$	$R^2_{010}=0$	$R^3_{010}=0$
$R^0_{011}=0$	$R^1_{011}=0$	$R^2_{011}=0$	$R^3_{011}=0$
$R^0_{012}=0$	$R^1_{012}=0$	$R^2_{012}=0$	$R^3_{012}=0$
$R^0_{013}=0$	$R^1_{013}=0$	$R^2_{013}=0$	$R^3_{013}=0$
$R^0_{020}=0$	$R^1_{020}=0$	$R^2_{020}=\dfrac{ -\ddot a }{a}$	$R^3_{020}=0$
$R^0_{021}=0$	$R^1_{021}=0$	$R^2_{021}=0$	$R^3_{021}=0$
$R^0_{022}=0$	$R^1_{022}=0$	$R^2_{022}=0$	$R^3_{022}=0$
$R^0_{023}=0$	$R^1_{023}=0$	$R^2_{023}=0$	$R^3_{023}=0$
$R^0_{030}=0$	$R^1_{030}=0$	$R^2_{030}=0$	$R^3_{030}=\dfrac{ -\ddot a }{a}$
$R^0_{031}=0$	$R^1_{031}=0$	$R^2_{031}=0$	$R^3_{031}=0$
$R^0_{032}=0$	$R^1_{032}=0$	$R^2_{032}=0$	$R^3_{032}=0$
$R^0_{033}=0$	$R^1_{033}=0$	$R^2_{033}=0$	$R^3_{033}=0$
$R^0_{100}=0$	$R^1_{100}=0$	$R^2_{100}=0$	$R^3_{100}=0$
$R^0_{101}=\dfrac{\ddot a a}{c^2(1-kr^2)}$	$R^1_{101}=0$	$R^2_{101}=0$	$R^3_{101}=0$
$R^0_{102}=0$	$R^1_{102}=0$	$R^2_{102}=0$	$R^3_{102}=0$
$R^0_{103}=0$	$R^1_{103}=0$	$R^2_{103}=0$	$R^3_{103}=0$
$R^0_{110}=\dfrac{-\ddot a a}{c^2(1-kr^2)}$	$R^1_{110}=0$	$R^2_{110}=0$	$R^3_{110}=0$
$R^0_{111}=0$	$R^1_{111}=0$	$R^2_{111}=0$	$R^3_{111}=0$
$R^0_{112}=0$	$R^1_{112}=0$	$R^2_{112}=\dfrac{\dfrac{ -\dot a^2}{c^2} -k}{(1-kr^2)}$	$R^3_{112}=0$
$R^0_{113}=0$	$R^1_{113}=0$	$R^2_{113}=0$	$R^3_{113}=\dfrac{\dfrac{-\dot a^2}{c^2} -k }{(1-kr^2)}$
$R^0_{120}=0$	$R^1_{120}=0$	$R^2_{120}=0$	$R^3_{120}=0$
$R^0_{121}=0$	$R^1_{121}=0$	$R^2_{121}=\dfrac{\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +k}{(1-kr^2)}$	$R^3_{121}=0$
$R^0_{122}=0$	$R^1_{122}=0$	$R^2_{122}=0$	$R^3_{122}=0$
$R^0_{123}=0$	$R^1_{123}=0$	$R^2_{123}=0$	$R^3_{123}=0$
$R^0_{130}=0$	$R^1_{130}=0$	$R^2_{130}=0$	$R^3_{130}=0$
$R^0_{131}=0$	$R^1_{131}=0$	$R^2_{131}=0$	$R^3_{131}=\dfrac{ \dfrac{\dot a^2}{c^2} +k }{(1-kr^2)}$
$R^0_{132}=0$	$R^1_{132}=0$	$R^2_{132}=0$	$R^3_{132}=0$
$R^0_{133}=0$	$R^1_{133}=0$	$R^2_{133}=0$	$R^3_{133}=0$
$R^0_{200}=0$	$R^1_{200}=0$	$R^2_{200}=0$	$R^3_{200}=0$
$R^0_{201}=0$	$R^1_{201}=0$	$R^2_{201}=0$	$R^3_{201}=0$
$R^0_{202}=\dfrac{\ddot a ar^2}{c^2}$	$R^1_{202}=0$	$R^2_{202}=0$	$R^3_{202}=0$
$R^0_{203}=0$	$R^1_{203}=0$	$R^2_{203}=0$	$R^3_{203}=0$
$R^0_{210}=0$	$R^1_{210}=0$	$R^2_{210}=0$	$R^3_{210}=0$
$R^0_{211}=0$	$R^1_{211}=0$	$R^2_{211}=0$	$R^3_{211}=0$
$R^0_{212}=\dfrac{-a\dot a 2r}{c^2}$	$R^1_{212}=(k+\dfrac{\dot a^2}{c^2})r^2$	$R^2_{212}=0$	$R^3_{212}=0$
$R^0_{213}=0$	$R^1_{213}=0$	$R^2_{213}=0$	$R^3_{213}=0$
$R^0_{220}=\dfrac{-\ddot a ar^2}{c^2}$	$R^1_{220}=0$	$R^2_{220}=0$	$R^3_{220}=0$
$R^0_{221}=\dfrac{a\dot a 2r}{c^2}$	$R^1_{221}=(-k-\dfrac{\dot a^2}{c^2})r^2$	$R^2_{221}=0$	$R^3_{221}=0$
$R^0_{222}=0$	$R^1_{222}=0$	$R^2_{222}=0$	$R^3_{222}=0$
$R^0_{223}=0$	$R^1_{223}=0$	$R^2_{223}=0$	$R^3_{223}=\left(\dfrac{ -\dot a^2}{c^2} -k \right ) r^2$
$R^0_{230}=0$	$R^1_{230}=0$	$R^2_{230}=0$	$R^3_{230}=0$
$R^0_{231}=0$	$R^1_{231}=0$	$R^2_{231}=0$	$R^3_{231}=0$
$R^0_{232}=0$	$R^1_{232}=0$	$R^2_{232}=0$	$R^3_{232}=\left(\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +k\right ) r^2$
$R^0_{233}=0$	$R^1_{233}=0$	$R^2_{233}=0$	$R^3_{233}=0$
$R^0_{300}=0$	$R^1_{300}=0$	$R^2_{300}=0$	$R^3_{300}=0$
$R^0_{301}=0$	$R^1_{301}=0$	$R^2_{301}=0$	$R^3_{301}=0$
$R^0_{302}=0$	$R^1_{302}=0$	$R^2_{302}=0$	$R^3_{302}=0$
$R^0_{303}=\dfrac{\ddot a ar^2\sin^2 \theta}{c^2}$	$R^1_{303}=0$	$R^2_{303}=0$	$R^3_{303}=0$
$R^0_{310}=0$	$R^1_{310}=0$	$R^2_{310}=0$	$R^3_{310}=0$
$R^0_{311}=0$	$R^1_{311}=0$	$R^2_{311}=0$	$R^3_{311}=0$
$R^0_{312}=0$	$R^1_{312}=0$	$R^2_{312}=0$	$R^3_{312}=0$
$R^0_{313}=0$	$R^1_{313}=\left(k+\dfrac{\dot a^2}{c^2}\right ) r^2\sin^2 \theta$	$R^2_{313}=0$	$R^3_{313}=0$
$R^0_{320}=0$	$R^1_{320}=0$	$R^2_{320}=0$	$R^3_{320}=0$
$R^0_{321}=0$	$R^1_{321}=0$	$R^2_{321}=0$	$R^3_{321}=0$
$R^0_{322}=0$	$R^1_{322}=0$	$R^2_{322}=0$	$R^3_{322}=0$
$R^0_{323}=\dfrac{-a\dot a r^2\sin \theta \cos \theta}{c^2}$	$R^1_{323}=0$	$R^2_{323}=\left ( \dfrac{\dot a^2}{c^2} +k \right ) r^2\sin^2 \theta$	$R^3_{323}=0$
$R^0_{330}=\dfrac{-\ddot a ar^2\sin^2 \theta}{c^2}$	$R^1_{330}=0$	$R^2_{330}=0$	$R^3_{330}=0$
$R^0_{331}=0$	$R^1_{331}=\left(-k-\dfrac{\dot a^2}{c^2}\right )r^2\sin^2 \theta$	$R^2_{331}=0$	$R^3_{331}=0$
$R^0_{332}=\dfrac{a\dot a r^2\sin \theta\cos \theta}{c^2}$	$R^1_{332}=0$	[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]	$R^3_{332}=0$
$R^0_{333}=0$	$R^1_{333}=0$	$R^2_{333}=0$	$R^3_{333}=0$

Para aplicar las ecuaciones de Einstein y obtener las ecuaciones de Friedmann debe calcularse el Tensor de Ricci y el Escalar de Ricci

El tensor de Ricci surge de la contracción del tensor de Riemann, en su índice superior y el segundo inferior

$$R_{ij}=R^m_{imj}= R^0_{i0j}+ R^1_{i1j}+ R^2_{i2j}+ R^3_{i3j}<br />$$

Así sus componentes quedan

$R_{00}=\dfrac{-3\ddot a}{a}$	$R_{10}=0$	$R_{20}=0$	$R_{30}=0$
$R_{01}=0$	$R_{11}=\dfrac{\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2}$	$R_{21}=0$	$R_{31}=0$
$R_{02}=0$	$R_{12}=0$	$R_{22}=(\dfrac{\dot aa}{c^2} + 2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2$	$R_{32}=0$
$R_{03}=0$	$R_{13}=0$	$R_{23}=0$	$R_{33}=(\dfrac{\ddot aa}{c^2} +2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2\sin^2\theta$

Luego el escalar surge de contraer los dos indices restantes pero como son ambos inferior no se puede hacer sumación directa , se lo debe multiplicar por la matriz inversa de la métrica para obtener la contracción.

Así

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

de aquí simplificando se obtiene

$$R=\dfrac 6{a^2c^2}(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 + k c^2)$$

El tensor de energía momento

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} -\delta c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p& 0 \\ 0 & 0 & 0 & p<br /> \end{bmatrix}}$

Así escrito esta en función del las coordenadas (t,x,y,z) para llevarlo a las coordenadas polares debemos multiplicar este tensor por su matriz de transformación que adelantara sería $[M^{-1}]^2=[g^{uv}]$ aunque la deducción aún no la tengo clara es la única condición que hace posible el resultado esperado.

Entonces el tensor en coordenadas polares queda

$\dst{[{T}']=\begin{bmatrix} + \delta c^4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {pa^2}{1-kr^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {pa^2}r^2& 0 \\ 0 & 0 & 0 & {pa^2}r^2\sin\theta \end{bmatrix}}$

Utilizando la ecuación de Einstein

$$R_{ij} - \dfrac 12 g_{ij} R+ \Lambda g_{ij} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{ij}$$

Obtenemos 16 ecuaciones de las cuales 12 son triviales, del las 4 restantes tres son similares osea a base de simplificaciones de una se obtienen exactamente las otras y otra diferente.

Asi las no triviales son

$$R_{00} - \dfrac 12 g_{00} R+ \Lambda g_{00} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{00}$$

$$R_{11} - \dfrac 12 g_{11} R+ \Lambda g_{11} =\dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{11}$$

$$R_{22} - \dfrac 12 g_{22} R+ \Lambda g_{22} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{22}$$

$$R_{33} - \dfrac 12 g_{33} R+ \Lambda g_{33} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{33}$$

reemplazando

$$\dfrac{-3\ddot a}{a}-\dfrac 12 (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2})\cdot(-c^2) +\Lambda \cdot(-c^2)= \dfrac {8\pi G}{c^4} \cdot(c^4)\delta$$

$$\dst{\dfrac{ \dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2}- \dfrac 12 \frac{a^2}{1- k r^2} \cdot (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2}) + \Lambda \frac{a^2}{1- k r^2}= \dfrac {8\pi Ga^2p}{c^4(1- k r^2)}}$$

$$\dst{(\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2- \dfrac 12 a^2r^2 \cdot (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2})+ \Lambda a^2r^2 = \dfrac {8\pi Ga^2p}{c^4}r^2}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

se puede observar que las ecuaciones 2a, 2b y 2c determinan la misma relación de variables y debido a ello son solo dos las ecuaciones independientes se desprenden de este trabajo mediante la simplificación de las ecuaciones 1 y cualesquiera de las 2a , 2b, y 2c

$$\dst{ 8\:\pi\:G\:\delta = 3 \frac{\dot{a}^2}{a^2} + 3 \frac {k\:c^2}{a^2} - \Lambda}$$

$$\dst{\frac{8\:\pi\:G\:p}{c^2} = -2 \frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\dot{a}^2 }{a^2}-\frac{ k\:c^2}{a^2} + \Lambda\:c^2}$$

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Muchas gracias Richard. Has hecho un trabajo muy complicado, muy
laborioso y excelente. (Que yo no sabia hacer).

Solo he revisado desde el tensor de Ricci hasta el final.
Y creo que el tensor $\dst{[T^{\prime}]}$ que escribes,
debe ser en realidad, como yo ya apunté en mi mensaje anterior:

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} - \delta \cdot{} g_{00} & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

ó

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} \delta & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

Porque de la segunda ecuacion (1) que escribes, no se deduce la primera ecuacion
de Friedmann que escribes al final. (Se deduce: – 8 pi G densidad).

Y disculpa este comentario que no se si tengo derecho a hacer despues del trabajo
que has hecho:

El calculo de la ultima parte, desde el tensor de Ricci hasta el final, es mucho mas
facil si planteamos la ecuacion de Einstein asi:

$\dst{R_{00} = B\cdot{}g_{00}}$

$\dst{R_{11} = A\cdot{}g_{11}}$

$\dst{B\:g_{00} - \frac{1}{2}\:g_{00}\:R + \Lambda\:g_{00} = - 8 \pi \delta\:g_{00}}$

$\dst{A\:g_{11} - \frac{1}{2}\:g_{11}\:R + \Lambda\:g_{11} = 8 \pi p\:g_{11}}$

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Me has hecho ver una errata en el tensor T y de alli en adelante estaba equivocado

y ademas estuve mirando que este tensor T no era dimensionalmente homogéneo como lo he escrito , por lo tanto me voy a poner a hallar hasta el fondo de donde viene la cosa, pues las densidades y las presiones no tienen las misma unidades y asi que alli falta un factor de corrección ya sea c o lo que fuera me lo he puesto a averiguar

Edito

Finalmente creo que el tema es asi

Cuando hicimos el análisis dimensional lo importante era que la el componente de la matriz multiplicado por su variable sea de unidad homogénea, asi he corregido dimensional mente al tensor T para que luego de la transformación multiplicandolo por [g] como bien decías, hace el cambio de signo y da las unidades correctas a las ecuaciones.

asi de

$\dfrac{-3\ddot a}{a}-\dfrac 12 (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2})\cdot(-c^2) +\Lambda \cdot(-c^2)= \dfrac {8\pi G}{c^4} \cdot \delta c^4$

se llega a

$\dst{ 8\:\pi\:G\:\delta = 3 \frac{\dot{a}^2}{a^2} + 3\frac {k\:c^2}{a^2} - \Lambda}$

o la mas conocida

$\dst{\frac 83\:\pi\:G\:\delta = \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac {k\:c^2}{a^2} - \frac{\Lambda}3}$

que como siempre $c^2$ lo toman como 1 entonces

$\dst{\frac 83\:\pi\:G\:\delta = \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac {k}{a^2} - \frac{\Lambda}3}$

que es la que aparece en la mayoría de los libros.

También al cambia la dimensionalidad de la segunda ecuación y tuve que modificarla para que cobre sentido.

Y ahora que visto como es que llegan , me atrevo a decir que tanto en este desarrollo como en el Schwardchild , lo que primero hacen es escribir un Ansatz, de la métrica, osea una formula general y luego estudiar las relaciones entre las variables, y acomodan las constantes para que sean compatibles con las aproximaciones newtonianas.

Mas evidente queda la genialidad de la formula de la RG que permite hacer llegar a la relación de la geometría del espacio con la densidad de energía, yo use bastante tecnología para llegar al resultado y teniendo el diario de mañana en la mano, pero hace mas de 100 años no había mas que papel y mucho lápiz....

De todo el planteo , lo unico que veo como sacado de la galera es la transformación que hice de T a T' usando la métrica [g], para eliminar todos los factores comunes de $\dfrac 1{1-kr^2}$, $r^2$ , y $r^2\sin^2\theta$, pero vi que es necesario para cambiar de signo a la densidad de materia.


Espero que ahora clarifique, ya que he cometido muchos errores por falta de costumbre de operar y mas por no comprender completamente,.

Saludos

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Hola Richard.
He visto que desde la ecuacion de un fluido perfecto se deduce:

$\dst{T_{ab}= ( \delta + p) u_a u_b + p \cdot{}g_{ab}}$

Y que:

$\dst{u_{0}\cdot{}u_{0} = 1}$

Asi que, deben valer:

$\dst{u_{1}\cdot{}u_{1} = 0}$

$\dst{u_{2}\cdot{}u_{2} = 0}$

$\dst{u_{3}\cdot{}u_{3} = 0}$

Asi que el tensor EnergiaMomento debe valer:

$\dst{[T]=\begin{bmatrix} \delta & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Hola FVPI Yo partí para hacer las ultimas correciones de las mismas ecuaciones.

$\delta$ y $p$ no tienen las mismas unidades y sin embargo las suman sin constante por medio, es decir alli c forma parte de la ecuacion emparejando las unidades , del mismo modo hay que agregarla para que la suma de los terminos en filas y en columnas sean homogeneos luego de multiplicarlos por la variable $0,1,2,3$ o$(t,r,\theta,\phi)$, lo que pasa es que no tenemos mayormente conflictos al sumar filas o columnas de diferentes variables, ya que constan solo del termino de la diagonal.

Cuando pueda, edito el mensaje y lo coloco como lo he entendido.