2o ciclo Límite clásico de la RG

[Subconsciente]

Hola a tod@s,

según RG partimos de un funcional acción $S=\int{R+L_{materia}\sqrt{-g}}d^{4}x$ cuyo principio variacional respecto a la métrica o respecto a la métrica y la conexión genera las ecuaciones de Einstein (considerando que no hay torsión, que el tensor métrico es covariantemente constante y que el término de superficie es despreciable), de manera que para el caso en el cual tenemos un tensor de energía-impulso nulo y una masa en un espacio-tiempo esféricamente simétrico y estático se cumple el teorema de Birkhoff.

Sin embargo, a la hora de hallar el límite clásico de dicha teoría para este caso se hace algo en mi opinión bastante extraño. En primer lugar, para dicho caso límite del general, donde antes habíamos dicho que el tensor de energía-impulso es 0, ahora decimos que es el de un fluido perfecto de presión nula y, por tanto, distinto de 0 (esto ya de primeras a mí me choca bastante), de forma que se toma un límite para la componente $R_{tt}$ que conduce a la componente {t t} de las ecuaciones de Einstein directamente a la ecuación de Poisson. Pero, aparte de eso, ¿qué pasa con las otras componentes de las ecuaciones de Einstein? En un sistema de referencia comóvil, las otras componentes del tensor de energía-impulso se anulan, por lo que el caso general implica que se cumplan las ecuaciones de Einstein en el vacío para las componentes espaciales; sin embargo, en el citado límite, ni por asomo lo hacen ni son despreciables.

¿Alguna idea?

PD: Decir que estoy convencido de que esto es un fallo de la teoría y que, como tal, en realidad no reproduce correctamente el límite clásico (sólo genera, para una de las componentes, la ecuación de Poisson y además mediante un mecanismo que mete un tensor de energía-impulso de la nada donde antes no lo había, mientras que para las otras componentes directamente ni por ésas logra cuadrar el caso general al clásico y lo que se hace es mirar para otro lado y no fijarse en ellas).

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Decir que, además, cuando se toma el límite clásico se considera $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$ con $O(h^{2} \rightarrow 0)$ y que la componente $R_{tt}$ sería de la forma:

$R_{tt} \equiv \partial_{\lambda}\Gamma^{\lambda}\,_{t t}+(\Gamma^{\theta}\,_{r \theta}+\Gamma^{\phi}\,_{r \phi})\Gamma^{r}\,_{t t}-\Gamma^{\lambda}\,_{\sigma t}\Gamma^{\sigma}\,_{t \lambda}$ con $\Gamma^{\lambda}\,_{\sigma t}\Gamma^{\sigma}\,_{t \lambda} \approx O(h^{2} \rightarrow 0)$

Sin embargo, en dicho límite, se tiene $(\Gamma^{\theta}\,_{r \theta}+\Gamma^{\phi}\,_{r \phi})\Gamma^{r}\,_{t t} \approx O(h)$ (este factor se anularía con el factor $\partial_{\lambda}\Gamma^{\lambda}\,_{t t}$ y en dicho límite que yo estoy aplicando se tendría directamente $R_{tt} \approx 0$. Sin embargo, lo que se hace en la teoría es despreciar el factor $(\Gamma^{\theta}\,_{r \theta}+\Gamma^{\phi}\,_{r \phi})\Gamma^{r}\,_{t t}$ y de esa forma quedarse sólo con el primero, para cuadrar una ecuación de Poisson (después, eso sí, de añadir de repente un tensor de energía-impulso como el que dije antes, cuando inicialmente en el caso general tampoco estaba).

Por qué se desprecia ese factor si no es de $O(h^{2})$??