Divulgación Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

[Visitante]

Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.


Una pregunta.
Segun la metrica de Schwarzschild.
Tengo una masa Sag-A,central, un agujero negro de 4.3 millones de masas solares.
Y con un horizonte de sucesos a aprox. 13 millones de Km.
Y otra masa S0-2, una estrella de 19.5 masas solares. Orbitando alrededor
de la masa Sag-A con un perihelio de aprox. 17000 millones de Km y un
afelio de aprox. 132000 millones de Km. Y un periodo orbital de 15.56 años.
(Estos son los datos de observacion de la estrella S0-2 alrededor de
Sagitarius A)(También tenemos los datos de Posicion-Tiempo Global de S0-2)
Bien.
No tengo mas que buscar una curva de Potencial Efectivo en funcion de la
distancia y una horizontal de Potencial Total que se ajuste a los valores del perihelio
y el afelio de S0-2.
Una vez encontrada la curva de Potencial Efectivo y el Potencial Total aplico
las formulas de Conservacion de la Energia y de la Conservacion del
Momento Angular. Y esto me va a dar una tabla teorica:
Distancia-Angulo-Tiempo propio de S0-2.
Bien.
Ahora, dibujo la tabla y me va a dar la orbita de S0-2 en funcion del tiempo
propio de S0-2.
Esto será una orbita ´eliptica´ con una precesion del perihelio de X grados
por revolucion.
Y sé que hay una relación entre el tiempo propio de S0-2 y el tiempo global
de un observador situado a una gran distancia de Sag-A.
Y ahora voy a obtener otra tabla:
Distancia-Angulo-Tiempo global.
Y vuelvo a dibujar la orbita teorica en funcion del tiempo global.
(Pero esto no me va a modificar la orbita de S0-2 y si me va a modificar
el cumplimiento de la segunda Ley de Kepler).
Bien.
Me supongo que la orbita de S0-2 dibujada y el ultimo periodo orbital que
me salga deben coincidir con las observaciones.
Pero no estoy seguro.
Y la pregunta:
Sabemos seguro que la densidad de Energia de Sag-A afecta al tiempo propio
de S0-2 en relacion al tiempo global del ´observador´.
Pero NO sé si también afecta a la Distancia y al Angulo desde el punto
de vista del observador.
(Porque si la densidad de Energia de Sag-A afecta tambien a la Distancia
y Angulo, la orbita que me resulte NO me va a coincidir con las
observaciones).
En resumen: Una vez calculada la tabla teorica:
Distancia-Angulo-Tiempo propio de S0-2
Como la voy a ver desde una distancia de 26000 años luz???
(Y para acabar. Tampoco sé si el perihelio y el afelio de S0-2 es
aparente o real...)
(Y tambien me supongo que con un perihelio de S0-2 de 1300 veces el
radio del horizonte de Sag-A y un afelio de 10000 veces... la diferencia
entre el tiempo propio y el tiempo global debe ser pequeño pero no despreciable)
Gracias y un Saludo.

[justinux]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica] No soy experto en esto, y no se si tu pregunta es si la curvatura generada por el agujero negro modifica las dimensiones y angulos orbitales observados… [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Según entiendo la métrica de Schwarzchidl sería la descrita porun observador fijo (el agujero negro está situado en un punto fijo desde el punto de vista de este observador), y la trayectoria de la estrella orbitante es una geodésica en esta métrica (suponiendo la estrella se puede considerar como puntual). La ecuación de la geodésica se escribe más simple en terminos del tiempo propio del móvil, pero las coordenadas que estas usando (incluyendo el tiempo global) son las descritas por el observador fijo, y por tanto la orbita que estas calculando es la descrita por el observador en reposo respecto al agujero negro. . Solo estás cambiando el parámetro de la trayectoria.[/FONT]
[FONT=Helvetica]Los únicos efectos que podrían dar una diferencia entre la orbita observada y la calculada con la métrica de Schwarzchild, según mi opinión, serían:[/FONT]
[FONT=Helvetica]1.- El debido al movimiento del observador o del agujero negro respecto del fluido cosmológico, u otoros efectos cosmológicos, etc. [/FONT]
[FONT=Helvetica] 2.- El debido a la deflexión de la luz debido a la curvatura provocada por el agujero negro.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] desconozco si con los datos que das los dos efectos que menciono son sensibles o no para encontrar grandes diferencias entre la orbita que encuentras calculando la geodesica en la metrica de Schwarzchild y la observada. Quizas iba por aqui tu pregunta… ??[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Saludos[/FONT]

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Si. Me refiero a si de la misma forma que en las ecuaciones aparece
un Tiempo Propio, aparece un Radio y un Angulo que deben ser locales,
´propios´. Es decir, medidos desde la propia orbita de S0-2.
Y entonces, conserva la Energia, el Momento Angular y cumple
la 2 Ley de Kepler.
(1 metro a 10 veces el radio geometrico de Sag-A debe ser
mucho menor que 1 metro a 1000 veces...)
Luego, desde el punto de vista del observador situado
a gran distancia de Sag-A, la orbita de S0-2 debe estar deformada
con respecto a la orbita teorica en todos los aspectos...Radio, Angulo
y Tiempo.
Y.
1.- No creo que haya que realizar correcciones Cosmologicas porque
la distancia entre la Tierra y Sag-A es de solo 26000 años luz.
2.- Creo que la diferencia entre la Relatividad General sobre la Mecanica de
Newton, aquí, en este caso, es pequeña, porque estamos hablando de una
estrella que orbita entre 1300 y 10000 veces el radio del horizonte de
sucesos de Sag-A.
La unica diferencia entre los Potenciales Efectivos de Newton y de la RG
se encuentra en un sumando extra. Y este, es una funcion cubica inversa
del radio. Asi que, para valores un poco grandes del radio, el sumando extra
se hace despreciable...
Pero hay que tener en cuenta que en el caso de la orbita de Mercurio, el Sol
produce efectos medibles en su orbita. Y esta se encuentra a
aprox. 30000000 de veces el radio geometrico del Sol.
Y en cuanto a la desviacion de los fotones por efecto de la gravedad, hay que
tener en cuenta que a aprox. a 400000 veces el radio geometrico del Sol,
su desviacion es, si no recuerdo mal, del orden de segundos de arco.
3.- Yo creo que los errores de medicion de la orbita de S0-2 son mucho mayores
que los efectos de la RG que podamos medir desde la Tierra.

Pero, sigo sin saber como corregir los valores teoricos de la tabla:
Radio, Angulo, Tiempo propio. (En cuanto al radio y al angulo)
para un observador suficientemente alejado de Sag-A.
(Vamos a suponer que hay otra estrella teorica a 10 veces el radio geometrico de Sag-A.
Y ya para acabar de complicar las cosas, vamos a suponer que hay un observador-estrella
teorico a solo 2.01 veces el radio geometrico de Sag-A. O sea, a poco mas del
horizonte de sucesos de Sag-A...)
Me equivoco?
Un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Hola.

Yo no soy experto en el tema. No obstante, contando que SO-2 está a una distancia de miles de veces del radio de swarzchild de Sag-A, las expresiones de una gravedad newtoniana con pequeñas correcciones relativistas (las mismas utilizadas para describir la precesion del perihelio de la orbita de mercurio), deben ser válidas para la orbita de SO-2.

No creo que necesites hacer, para describir la orbita de SO(2) en torno a Sag-A, nada que Einstein no hiciera ya para describir la órbita de mercurio en torno al sol.

Un saludo

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Es posible que este problema sea un problema de geodesicas?
De interseccion de geodesicas?
Es decir. La estrella S0-2 recorre una geodesica orbital.
(Radio, Angulo Theta, 0 ,Tiempo propio de S0-2)
El observador lejano recorre una geodesica radial. (Observador en
caida libre sobre Sag-A sobre un eje perpendicular al plano de la
orbita de S0-2)
(Radio, 0, pi/2, Tiempo propio del observador lejano)
Los fotones emitidos por S0-2 siguen una geodesica nula entre S0-2
y el observador lejano.
Y Pasan por los puntos (Radio1, Angulo1 Theta, 0, Tiempo1 propio de S0-2)
y por los puntos (Radio2, 0, pi/2, Tiempo2 propio del observador lejano)
???
Quizas hay un ejemplo real mas claro que el de S0-2 y Sag-A.
El pulstar doble PSR J0737-3039 A,B.
Son 2 estrellas de neutrones de algo mas de 1 masa solar, orbitando entre
ellas con un periodo de 2.4 horas y a una distancia de aprox. 3850 años luz.
de la Tierra.
Pero aquí no hay datos orbitales.
Un saludo.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Bien.
He logrado calcular y dibujar ´geodesicas nulas´ con cierta precision.
Es decir, orbitas de fotones en funcion de una densidad de energia,
de la masa geometrica de un agujero negro y de la distancia minima
de paso.
Son ´orbitas´ planas, parecidas a hiperbolas tanto mas abiertas cuanto
mas grande es la distancia de paso.
Me dá:
Para una relacion (K) de distancia minima de paso / masa geometrica
del agujero negro:
K = 4. Angulo de dispersion: aprox. = 38 grados.
K = 10. Angulo de dispersion: aprox. = 16 grados.
K = 100. Angulo de dispersion: aprox. = 0.7 grados.
K = 1000. Angulo de dispersion: aprox. = 3 minutos.
K = 10000. Angulo de dispersion: aprox. = 24 segundos.
(No he podido ir mas allá porque mi FORTRAN no me dá mas precision).
(Para el caso del Sol, con una K = 400000 el angulo de dispersion
medido es de 1.75 segundos)
(K debe ser mayor que 3. Porque con ese valor las geodesicas se
cierran inestablemente sobre si mismas).

En el caso de Sag-A y S0-2 con una relacion K
entre 2600 y 20000, el angulo de dispersion debe ser inferior a
3 minutos. Con este angulo de dispersion, a una distancia de 26000
años luz de distancia y con una distancia minima de paso de
17000 millones de Km, dá una diferencia entre el rayo de luz
desviado y el recto mucho menor que la precision de observacion que
es de aprox. 0.01segundos...

Y una pregunta:

No sé si todos los fotones, independientemente de su energia siguen
la misma geodesica. Porque en la formula no aparece por
ningun sitio la energía del foton.

$\dst{Dens_E = cte= \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{dA})^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Y una pregunta:

No sé si todos los fotones, independientemente de su energia siguen
la misma geodesica. Porque en la formula no aparece por
ningun sitio la energía del foton.

$\dst{Dens_E = cte= \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{dA})^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Un saludo.

Esa pregunta si te la puedo responder:

La relatividad nos dice que todas las cosas libres se mueven igual, en un campo gravitatorio, siguiendo una geodésica.
Por tanto, todos los fotones, sea cual sea su energía, se mueven igual.

Es por la misma razón que todos los satélites artificiales, sean grandes o chicos, rusos o americanos, siguen la misma trayectoria.

Saludos.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Gracias.
Me hubiese gustado, en este caso, llegar a calcular el angulo de dispersion
hasta una K = 400000 para comprobar con los resultados reales de observacion.
Pero no ha sido posible porque no tengo suficiente precision para
integrar por calculo numerico para K > 10000.
Tambien, en el caso de la precesion del perihelio de Mercurio, que está en
otro hilo, me hubiese gustado calcularlo, para una K = 30000000. Pero tampoco
me ha sido posible.
Lo maximo que he podido obtener es que, para este caso, con una K = 10000, el
angulo de dispersion es de aprox. 24 segundos de arco. Y que la funcion, K – Angulo
es parecida a una exponencial inversa...(Estamos hablando de un angulo de dispersion
real de 1.75 segundos para K = 400000).
Para el caso de Mercurio, lo maximo que he podido obtener es una precesion de
aprox. 3 grados por revolucion para una Kmin = 200 y Kmax = 2200. Y tambien la funcion K – Angulo
cae de forma exponencial. (Aqui estamos hablando de un angulo de precesion
real de 0.1 segundos por revolucion para K = 30000000).
Bueno. Creo que lo mas importante es que he entendido y he visto como se hace.
Por otra parte me parece sorprendente que hace 100 años, personas como
Einstein, Eddington y otros calculasen esto con papel y lapiz...Bueno...quizas
la explicacion esté en que ellos eran genios en Fisica y Matematicas y yo, no...
Un saludo.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Me interesaria transformar la ecuacion de la geodesica ´nula´ que está en
polares (r,A,cte,M) a una ecuacion que esté en funcion de (x,dy/dx,cte,M) o (y,dy/dx,cte,M)...
o algo asi...pero no lo consigo....(Me interesa eliminar completamente r y A de la ecuacion
sabiendo que x = r cos A , y = r sen A)

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{dA })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Como sé que el angulo de dispersion es funcion de la tangente de (dy/dx) en
coordenadas cartesianas, podria calcularlo sin necesidad de integrar y eso me
permitiria calcularlo para cualquier valor de K con precision.
Alguna idea???
Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

hola FVPI , como va , he seguido tus hilos , pero no opine, pues podia aportar mas confusión que enseñanza,

pero ahora estas seguro que quieres

....transformar la ecuacion de la geodesica ´nula´ que está en
polares (r,A,cte,M) a una ecuacion que esté en funcion de (x,dy/dx,cte,M) o (y,dy/dx,cte,M)...

no sería algo así como que queden en funcion de (x,dx/dt,cte,M)


pues si

x = r cos A , y = r sen A

se trata de una circunferencia de radio r ..... $x^2+y^2=r^2$

de donde ya sabes que $y=\sqrt{r^2-x^2}$ luego hallas su derivada, es eso lo que no pillas, o es algo mas por eso me pregunte si lo que buscas definir la dinamica y no solo la trayectoria.

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{(x^2+y^2)^2}(\frac{dr}{dA })^2 + \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2M}{(x^2+y^2)^{\frac32}}}$

y si corresponde a una circunferencia entonces $\frac{dr}{dA }=0$ pues interpreto a $A$ como el angulo polar.



Saludos $\mathbb R^3$

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Me interesaria transformar la ecuacion de la geodesica ´nula´ que está en
polares (r,A,cte,M) a una ecuacion que esté en funcion de (x,dy/dx,cte,M) o (y,dy/dx,cte,M)...
o algo asi...pero no lo consigo....(Me interesa eliminar completamente r y A de la ecuacion
sabiendo que x = r cos A , y = r sen A)

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{dA })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Hola. La ecuacion que pones es, con una errata, la ecuación del movimiento planetario de dos masas $M_1, M_2$según las leyes de newton.

La ecuación correcta (de las leyes de newton), es

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{d \theta })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2 C}{r}}$

donde $\varepsilon = { 2 \mu E \over L^2}$, y $C= {G M_1 M_2 \mu \over L^2}$

Creo que esto no tiene nada que ver con relatividad general (salvo que las leyes de newton son un limite de la relatividad general)

Saludos

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Gracias.

Esta ecuacion:

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{dA })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Me permite calcular una Tabla (r , A) entre un radio minimo de paso hasta un
radio máximo suficientemente alejado en funcion de una masa geometrica (M).

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r_{min}^2}- \frac{2M}{r_{min}^3}}$

Luego, transformo la Tabla (r , A) en otra Tabla (x , y), haciendo x = r cos A y y = r sen A.
La Tabla (x , y) representa la mitad de la trayectoria de un foton que pasa a una distancia
minima del agujero negro a r_min. (La otra mitad es simetrica).
Luego, calculo la pendiente (m = dy / dx) en R_max porque a una cierta distancia
la trayectoria es aprox. recta y esto me va a dar aproximadamente
la mitad del angulo de dispersion.

Asi es como he calculado:
Para una relacion (K) de distancia minima de paso / masa geometrica
del agujero negro: (Este angulo de dispersion que escribo aquí es la mitad
del angulo de dispersión real).
K = 4. Angulo de dispersion: aprox. = 38 grados.
K = 10. Angulo de dispersion: aprox. = 16 grados.
K = 100. Angulo de dispersion: aprox. = 0.7 grados.
K = 1000. Angulo de dispersion: aprox. = 3 minutos.
K = 10000. Angulo de dispersion: aprox. = 24 segundos.

El problema es que mi programa en FORTRAN que hace esto está jugando con
numeros muy grandes y muy pequeños y a partir de una cierta K, estoy
desbordando la precisión de 15 digitos que tiene y empieza a dar resultados
incoherentes.

Por esto estaba pensando tranformar la ecuacion que está en funcion de
(r,dr,dA,cte,M) en otra en funcion de (x,dx/dy,cte,M) porque dy/dx = m.
Pero creo que lo máximo que voy a obtener es otra funcion (x,y,dx,dy,cte,M)
mas dificil de resolver que la original...

De todas formas, he logrado calcular, a mano, con la ayuda de WAlfa, para
calcular la integral, la mitad del angulo de dispersion para K = 400000.
Y me ha dado que debe ser algo mayor que 0.69 segundos de arco.

La formula standard para calcular esto:

$\dst{2 \varphi =\frac{4 G M_{sol}}{r_{min} c^2}}$

Me dä aprox. 0.92 segundos de arco. Para r_min = 600000 Km y una masa
geometrica del Sol de 1.45 Km. O sea, una K = 414000.

Bueno...Creo que no es un resultado demasiado malo...Y que el procedimiento
tampoco es demasiado malo.

Y como esta trayectoria plana la puedo rotar a cualquier angulo en el espacio con
respecto al centro del agujero negro, siempre la puedo alinear con cualquier
observador. (La orbita de S0-2 tambien es plana pero no ´eliptica´ cerrada).

Y volviendo al origen del hilo.

En el caso de Sag-A y S0-2 con una relacion K
entre 2600 y 20000, el angulo de dispersion total debe estar entre 6 minutos
y 40 segundos. Con este angulo de dispersion, a una distancia de 26000
años luz de distancia y con una distancia minima de paso entre
17000 y 132000 millones de Km, la diferencia entre la orbita aparente y la
orbita real de S0-2 es mucho menor que la precision de observacion que
es de aprox. 0.01 segundos...

Y con respecto al Tiempo. El tiempo propio del obsevador es ´t1´. El tiempo
propio de S0-2 es ´t2´. El tiempo propio del foton es cero. Y esto ya me cuesta
cuadrarlo??? Aqui no sé hasta que punto afecta a la vision entre la orbita aparente
y la real??? Me supongo que en este caso afecta muy poco pero en otros casos
como el del pulstar doble PSR J0737-3039 A,B, quizas sea mas importante???

Gracias y un saludo.

P.S. Para Carroza.
1.- Si. Claro. El limite de la RG para el caso de la metrica de Schwarzschild
a distancias suficientemente grandes es la Mecanica de Newton.
2.- He visto que para calcular geodesicas orbitales y geodesicas nulas,
el procedimiento es similar pero con diferencias importantes.
2.1.- El Potencial Efectivo tiene diferente forma y diferentes dimensiones.
2.2.- En un caso hay un Momento Angular constante explicito y en el otro caso hay
un Momento Angular implicito en la Constante.
2.3.- Tanto sea una masa o un foton el que orbita alrededor de un agujero negro
son siempre orbitas planas similares.
Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

El problema es que mi programa en FORTRAN que hace esto está jugando con
numeros muy grandes y muy pequeños y a partir de una cierta K, estoy
desbordando la precisión de 15 digitos que tiene y empieza a dar resultados
incoherentes.

yo recuerdo un truco para vencer la falta de precisión , de la época cuando las computadoras andaban a cuerda

Si tienes problema de precisión es porque no reconoce números de notación científica? si es que eso te sucede toma los números largos en una variable , convierte la variable a texto, cuenta la longitud del string de texto restale 1 y guarda el valor.
si tienes uno pequeño osea 0>x>1 haz lo mismo pero restale 2 y guarda el valor.
a los números negativos restale al valor uno mas

El valor guardado es el exponente en base 10 por lo que si sabes que vas a operar con estos números y vas a perder precisión, primero divide o multiplica según el caso de la operación, al numero por 1 x 10^x , o x veces por 10 y tendrás un numero cercano a la unidad, haces la operación, que te hacia perder precisión, y luego multiplicas o divides haciendo la operación inversa, para obtener el resultado correcto. , ten cuidado que en la potenciación y radicación el numero de cifras se multiplica o se divide por el valor del exponente de la potencia..

De todas formas, he logrado calcular, a mano, con la ayuda de WAlfa, para
calcular la integral, la mitad del angulo de dispersion para K = 400000.
Y me ha dado que debe ser algo mayor que 0.69 segundos de arco.

casi estas en presencia de una recta, los efectos de curvatura son casi nulos, para que seguir incrementando K , no veo el caso , por favor coméntame cual seria el objetivo, pues no lo comprendo. Estarias trabajando en el caso newtoniano.

Saludos $\mathbb R^3$

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Gracias Richard.

1.- Si. El FORTRAN admite notacion cientifica.
Probaré el ´´truco´´de sumar con strings de caracteres, porque el problema
fundamental de las integrales numericas está en sumar numeros grandes con
numeros pequeños con un numero de digitos fijo.

2.- Mi idea era que con los datos que tenemos de S0-2 y Sag-A...
¿Que precesion del perihelio calcula la RG para la orbita de S0-2 y que
distorsion aparente calcula la RG para la orbita real de S0-2?
Ahora, estimo que la precesion del perihelio de S0-2 debe ser del orden
de decimas de grado por revolucion. Y que la distorsion aparente de la orbita
de S0-2, estimo, en algunos minutos en el perihelio y del orden de 20
segundos en el afelio.
Todo esto, observado a una distancia de 26000 años luz, es, hoy por hoy,
prácticamente inobservable.

3.- En el caso del angulo de dispersion, no necesito ir mas allá de K = 400000.
Porque mi idea era comprobar mis datos de calculo con los datos reales observados.
(La desviacion de la luz en el limbo solar, medida, es de 1.75 segundos de arco.
La que predice la teoría es de 1.84 segundos de arco.
Y la que a mi me sale es de algo mas de 1.38 segundos de arco.)

4.- Para el caso de las orbitas planetarias, los datos y las graficas
que he obtenido son coherentes con las graficas del articulo de:
Rafael Zamora Ramos,´´Geodesicas en la metrica de Schwarzschild y Kerr.
Tratamiento numerico´´.
Pero aquí no he podido llegar mas alla de una K = 10000. Y para comprobar con
datos reales (la precesión del perihelio de Mercurio) deberia llegar a
una K = 38000000. Pero no ha sido posible.
Aqui, tambien es complicado calcular el angulo de precesion porque depende
de una K_min, una K_max, de un Momento Angular y de un Potencial
Total y esto es dificil de ajustar.
Lo mas parecido que he obtenido a S0-2 es una orbita con K_min =200 y
K_max = 2000, MA = 10 Km.y PT = -0.00045. Y me dá un angulo de precesion
de aprox. 3 grados por revolucion.
Un saludo.


Para Carroza.

Me supongo que la ecuación a la que te refieres es:

$\dst{E =(\frac{dr}{d\theta })^2\frac{L^2}{2mr^4}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}}$

Y si. Esta es una ecuación de la Mecanica Clasica que calcula la orbita de una masa m
alrededor de una masa M en funcion de un Momento Angular y de un Potencial Total.
Pero esta ecuacion no tiene nada que ver con esta:

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{d\theta })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Que si es una ecuacion de la RG y que calcula la orbita de un foton alrededor de una
masa M en funcion de una densidad de Potencial. (Y es que, como minimo,
son dimensionalmente diferentes).
Un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Para Carroza.

Me supongo que la ecuación a la que te refieres es:

$\dst{E =(\frac{dr}{d\theta })^2\frac{L^2}{2mr^4}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}}$

Y si. Esta es una ecuación de la Mecanica Clasica que calcula la orbita de una masa m
alrededor de una masa M en funcion de un Momento Angular y de un Potencial Total.
Pero esta ecuacion no tiene nada que ver con esta:

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{d\theta })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

Que si es una ecuacion de la RG y que calcula la orbita de un foton alrededor de una
masa M en funcion de una densidad de Potencial. (Y es que, como minimo,
son dimensionalmente diferentes).
Un saludo.

Eso es lo que me perocupa un poco: la ecuacion de arriba es dimensionalmente correcta. La de abajo no... a no ser que "M" no sea una masa.

Saludos