Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Hola.

La ecuacion correcta es


$\dst{\theta= \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r^{2}\sqrt{\varepsilon-\frac{1}{r^2}+\frac{2M}{r^3}}}}$

Saludos

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Si y No.
Hay 2 caminos para ir de (r1) a (r2) a traves de una misma geodesica.
Directamente de (r1) a (r2) por la misma horizontal de Potencial Total en sentido
positivo.
E indirectamente de (r1) a (r.minimo) y de (r.minimo) a (r2). En sentido negativo
y luego positivo. (Y esto debe tener 1,2 soluciones. Simetricas o asimetricas en
funcion si pasan por un lado del agujero negro o por el otro y si el emisor,
el agujero negro y el observador estan alineados o no.)
Y esta es la interesante de cara a ver el ´anillo de Einstein´
y quizas la ´cruz de Einstein´...(No entiendo como con todas las simetrias
que hay en este sistema, esto se rompe y aparecen 2, 4, 8...puntos de luz...y/o
quizas que este volumen´oscuro´ esferico, no sea esferico sino elipsoidal...y por lo tanto,
con otra metrica que no es la de Schwarzschild.)
El problema, ahora, está en resolver la integral indefinida para determinar $\dst{\varepsilon }$.

$\dst{\theta = \int\frac{dr}{r^{2}\sqrt{\varepsilon-\frac{1}{r^2}+\frac{2M}{r^3}}}}$

Porque sabemos el valor de $\dst{ \theta }$ y de r1 y r2.
Que no sé resolver y que WAlpha no me dá solucion.
Tambien podria aproximar $\dst{ \varepsilon }$´s por integracion numerica.
Pero este es un metodo muy ´basto´ y va a consumir un tiempo de maquina ´infinito´...
(Pero de momento, ahora, es el unico metodo, para mi, posible, que se me ocurre.)
Gracias y un saludo.

P.S. Disculpas. Pienso que muchas veces estoy ´elucubrando´ con temas que me superan físicamente y matemáticamente hablando.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Hola. Yo afrontaria el problema del modo siguiente:

Supon que la distancia de maxima aproximacion r_min es r_2 . (r_1 < r_2) entonces, calculas el angulo theta_0 a partir de tu formula, integrando entre r_1 y r_2=r_min.

Si el valor que te dan de theta es menor que theta_0, entonces una solucion es que r1 y r2 estan en la misma rama de la trayectoria (antes de llegar a r_min). Vas reduciendo r_min hasta que la integral entre r_1 y r_2 te da theta.

Si el valor que te dan de theta es mayor que theta_0, entonces la trayectoria va primero de r_1 a r_min y luego de r_min a r_2. Vas disminuyendo el vaor de r_min hasta que theta sea igual a la suma de la integral entre r_1 y r_min mas la integral entre r_min y r_2.

Esta es una primera solucion. Luego tienes muchas mas soluciones, ya que no eres capaz de diferenciar el angulo theta de un angulo $2\pi n \pm \theta$, para cualquier n entero. Esto te da en un numero infinito de soluciones, que se caracterizan por que la distancia minima está cada vez más cerca de 1.5 R_s.

Saludos

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

1.- Bien. Este metodo de aproximacion de $\dst{ \varepsilon }$´s funciona
bien para tiempos razonables cuando K´s son pequeños (del orden de 10) y cuando la
precision de $\dst{\theta }$ es baja (del orden de 0.01 Rad).
Pero cuando intentamos jugar con valores de K elevados y precisiones elevadas
los tiempos de maquina se hacen inasumibles. (pasan de minutos a horas...a dias...)
para un computador normal.
2.- Ya he visto que bajo la metrica de Schwarzschild, un agujero negro se comporta
como una lente gravitacional.
Un observador alineado con un agujero negro y con un emisor puntual produce un anillo
de Einstein.
Si el emisor esta un poco desalineado, puede producir un anillo eliptico con
´tiempos de llegada´diferentes porque los caminos tienen diferente longitud.
(Aqui solo he podido calcular y dibujar las 2 geodesicas en el plano X-Y)
Si está mas desalineado, puede producir fragmentos de anillos porque el agujero
negro se ´traga´ parte de las geodesicas...
Pero estos 2 últimos puntos ya no los he podido comprobar completamente
porque esto hay que tratarlo con geodesicas en 3 dimensiones y esto,
de momento, no lo sé hacer.
Pero no veo como en un sistema como este, emisor puntual, agujero negro
esferico y observador producen una ´cruz de Einstein´...
3.- Me supongo que si el´agujero negro´ no tiene simetria esferica, con todas
sus orientaciones espaciales posibles y además, el emisor, el observador,
el ´agujero negro´, no estan alineados, las lineas causticas y las imagenes multiples
que se pueden producir, las hay para todos los gustos...
Alguien sabe de algún articulo que explique en que circunstancias se produce
una Cruz de Einstein con algun detalle?
4.- Hay una muy buena aplicación ´Lightwave´ que puede hacer simulaciones
como esta, en optica (no en gravitacion) que produce efectos similares a estos.
(Pero esta aplicación es para profesionales de la imagen y de dificil manejo.
Y no me atrevo a abusar de la paciencia de uno de ellos, que conozco, para que
me enseñe a simular una ´cruz de Einstein´ en el optico...que me supongo tambien
existe).
5.- Hay un excelente ejemplo de esto y un impresionante trabajo de un montón de
profesionales en el hilo de Alriga en Astronomia y Astrofisica sobre la
supernova SNRefsdal. (Que es el que me ha inducido a probar de entender
este fenomeno).
Estoy en lo cierto?
Gracias y un saludo.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Una pregunta.
Si las ´orbitas´ de un fotón son SIEMPRE planas y uno de los puntos del
plano es el agujero negro. Y si tenemos un emisor puntual, un observador y
un agujero negro interpuesto, solo veo 3 soluciones posibles:
1.- Si el emisor, el agujero negro y el observador estan alineados, el observador
verá al emisor como un anillo (El anillo de Einstein). Porque hay solo 2 geodesicas
por plano que pasan por el emisor y el observador. Y hay infinitos planos que pasan
por el emisor y el observador y todos contienen al agujero negro.
2.- Si el emisor, el agujero negro y el observador NO estan alineados, hay 2 posibilidades:
2.1.- Si están un poco desalineados, el observador verá al emisor SOLO como 2 puntos
opuestos asimetricos. Porque solo hay 1 plano que pase por el emisor, el agujero negro
y el observador.
2.2.- Si están muy desalineados, el observador verá al emisor SOLO como 1 punto.
Porque la segunda geodesica es ´tragada´ por el agujero negro.
Y NO veo más...!!!
(No veo ni fragmentos de anillo, ni anillos elipticos, ni 4 imagenes (La cruz de Einstein),
ni multiples imagenes).
Es decir, NO veo como si pongo al observador y al emisor en un plano de ´trabajo´
y al agujero negro por encima o por debajo de ese plano...la geodesica que me salga
sea plana???
Es decir, en la formula de la geodesica (para 3 dimensiones):

$\dst{-A(r)(\frac{dt}{d\lambda })^2 + A(r)^{-1}(\frac{dr}{d\lambda })^2 +r^2(\frac{d\theta }{d\lambda })^2 + r^2 sen^2\theta (\frac{d\varphi}{d\lambda })^2 = 0}$

Se simplifica en esta (para 2 dimensiones) porque la geodesica es SIEMPRE??? plana.

$\dst{-A(r)(\frac{dt}{d\lambda })^2 + A(r)^{-1}(\frac{dr}{d\lambda })^2 +r^2(\frac{d\theta }{d\lambda })^2 = 0}$

Y la pregunta en concreto. Estas geodesicas son SIEMPRE planas?

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

2.- Ya he visto que bajo la métrica de Schwarzschild, un agujero negro se comporta
como una lente gravitacional.
Un observador alineado con un agujero negro y con un emisor puntual produce un anillo
de Einstein.

he leído varios artículos desde que formulaste estas preguntas , las cuales tenia vagamente idea, pero ahora concluyo en lo siguiente:

Un agujero negro que responda a la métrica de Schwarzschild debe si o si producir un anillo. Cuanto más perfectamente alineado , la simetría hará que se forme el anillo los 360° alrededor del AN

Si el emisor esta un poco desalineado, puede producir un anillo elíptico con
´tiempos de llegada´diferentes porque los caminos tienen diferente longitud.

No precisamente lo que observaras el mayor intensidad del lado donde ha seguido la trayectoria más recta, es decir verás un arco, pero de circunferencia no de elipse.

Pero no veo como en un sistema como este, emisor puntual, agujero negro
esférico y observador producen una ´cruz de Einstein´...

Tienes razón por lo que expuse antes, no verás la cruz si la métrica es la de Schwarzschild, pero si el AN sigue la métrica de Kerr, o de Kerr-Newman hay posibilidades de que si la veas.

3.- Me supongo que si el´agujero negro´ no tiene simetría esférica, con todas
sus orientaciones espaciales posibles y además, el emisor, el observador,
el ´agujero negro´, no están alineados, las lineas causticas y las imágenes múltiples
que se pueden producir, las hay para todos los gustos...
Alguien sabe de algún articulo que explique en que circunstancias se produce
una Cruz de Einstein con algún detalle?

Creo que los AN deben tener siempre simetría esférica, lo que pasa es que si rotan , la deformación del espacio tiempo es diferente ,a la que provoca, un AN explicado por la métrica de Schwarzschild, si los caminos seguidos tienen diferente longitud, por cada uno verás una imagen.

No encontre nada apetecible como para compartir solo luego de leerme 8 o 9 páginas, me fui haciendo la idea que te expuse.

1.- Si el emisor, el agujero negro y el observador estan alineados, el observador
verá al emisor como un anillo (El anillo de Einstein)

siempre que use la metrica de sw....

2.- Si el emisor, el agujero negro y el observador NO están alineados, hay 2 posibilidades:
2.1.- Si están un poco desalineados, el observador verá al emisor SOLO como 2 puntos
opuestos asimétricos. Porque solo hay 1 plano que pase por el emisor, el agujero negro
y el observador.

para mi se verán arcos de circunferencia.

2.2.- Si están muy desalineados, el observador verá al emisor SOLO como 1 punto.
Porque la segunda geodesica es ´tragada´ por el agujero negro.

Más se aleja más se achica el arco hasta hacerce el "punto", estrella , galaxia, supernova o lo que fuera.

Y NO veo más...!!!
(No veo ni fragmentos de anillo, ni anillos elípticos, ni 4 imagenes (La cruz de Einstein),
ni multiples imagenes).

Las cruces surgen de lo siguiente, imagina una galaxia frente a una supernova, tal como la Refsdal, porque toda la masa de la galaxia va a estar distribuida en un plano perpendicular al que observa el Hubble????, eso no sera cierto en la mayoría de los casos, entonces si imaginas un eje perpendicular al disco de la galaxia, e imaginas cualquier orientación podrás observar que:
habrá una parte de la galaxia que queda mas cerca de la supernova que la opuesta pasando por el centro, y si hay alineación , en un eje perpendicular al anterior , esas distancias serán iguales, por ello hay 4 caminos diferentes para la luz, y la veras venir de cada uno de ellos rodeando la galaxia, y formando la cruz. Es como si pusieses una lente con forma de silla de montar, en cada uno de los cuadrantes se formará una imagen.

No tengo nada más argumentos científicos para dar, solo un pedacito de este articulo me parece condensar lo antedicho. Espero haberte aclarado algo.


Saludos $\mathbb {R}^3$

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Creo que el ´punto´ del tema es saber porque el Sr Rafael Zamora Ramos,
´´Geodesicas en la metrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento numerico´´.
(En la metrica de Schwarzschild)
Simplifica la ecuacion, (Que está en 3 dimensiones espaciales):

$\dst{-A(r)(\frac{dt}{d\lambda })^2 + A(r)^{-1}(\frac{dr}{d\lambda })^2 +r^2(\frac{d\theta }{d\lambda })^2 + r^2 sen^2\theta (\frac{d\varphi}{d\lambda })^2 = 0\;\; (1) }$

En esta otra, (Que está en 2 dimensiones espaciales):

$\dst{-A(r)(\frac{dt}{d\lambda })^2 + A(r)^{-1}(\frac{dr}{d\lambda })^2 +r^2(\frac{d\theta }{d\lambda })^2 = 0\;\; (2)}$

Lo hace para simplificar SU problema y solo estudiar este tipo de geodesicas en
2 dimensiones??? O lo hace porque las soluciones que obtengamos de (1) son
soluciones con simetría rotacional de las soluciones que obtengamos de (2)???

Porque si lo hace por el segundo motivo, no veo mas soluciones que el Anillo de
Einstein o la pareja de imagenes opuestas asimetricas.

En el caso que lo hace por el primer motivo, no estoy seguro si se producen
fragmentos de anillos. Que yo creo no pueden ser fragmentos circulares sino
fragmentos elípticos.

Y estoy de acuerdo con Richard. Si aplicasemos la metrica de Kerr, como la deformación
del espacio.tiempo no tiene simetria esferica, sino planar, es muy posible que
obtengamos la Cruz de Einstein. (Segun como orientemos los ejes).

Y claro, si la ´lente´es una galaxia espiral y no un agujero negro, es muy posible que
obtengamos la Cruz de Einstein como en el caso de la metrica de Kerr.

Y si además, la ´lente´es un cumulo de galaxias elipticas y espirales, es muy posible que
obtengamos multiples imagenes de una supernova como la SNRefsdal.

Porque se pasa de la ecuación (1) a la (2)???

Gracias y un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Hola.

Se pasa de la ecuación 1 a la 2 porque, si la masa tiene una distribución esférica, la trayectoria de la luz (y de cualquier partícula) es plana. Eso hace, en coordenadas esféricas, que $\varphi$ sea constante, con lo que el último término de 1 se anula.

Con respecto al hecho de que se vea una cruz, y no un anillo, puede deberse a que la distribución de masa de la galaxia (materia oscura incluida) no es esféricamente simétrica. En general, será más bien como un disco. Además, imagino que en ciertas trayectorias la luz puede verse absorbida por nubes de gas, etc.

Saludos

[arivasm]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Con respecto al hecho de que se vea una cruz, y no un anillo, puede deberse a que la distribución de masa de la galaxia (materia oscura incluida) no es esféricamente simétrica. En general, será más bien como un disco. Además, imagino que en ciertas trayectorias la luz puede verse absorbida por nubes de gas, etc.

En esta página de divulgación (pero que incluye enlaces para profundizar) se dice que la formación de cuatro imágenes se debe a la existencia de cáusticas: http://francis.naukas.com/2015/03/08...rnova-refsdal/

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Gracias, arivasm. Muy bueno el enlace.

Entiendo que las causticas no circulares ocurren porque la lente (la distribución de masa) no es esfericamente simétrica.

Saludos

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

De acuerdo.
Bajo la metrica de Schwarzschild, estas geodesicas están siempre en un plano.
Además, el plano debe pasar por el origen de coordenadas (que es el punto
donde situamos el agujero negro y desde donde medimos la coordenada ´r´).
Luego, por el emisor, el AN y el observador, solo pasa 1 plano. (El ´plano de
trabajo´ $\dst{ (r,\alpha) }$).
Bueno...Pues sobre ese plano de trabajo, entre el emisor y el observador,
solo pasan 2 geodesicas.
Si el emisor, el AN y el observador están alineados, hay una imagen en forma
de anillo. (El anillo de Einstein).
Si el emisor, el AN y el observador no están alineados, solo hay 2 imagenes
opuestas y asimetricas.
Bueno...realmente hay mas...Depende de ´n´.

$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{d(\alpha +2\pi n)})^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$

En resumen. Creo que NO existe ninguna geodesica que pase por el emisor y el observador
en un plano que no contenga al agujero negro.
Gracias.
Voy a intentar descifrar la metrica de Kerr y si lo entiendo, voy a intentar obtener
orbitas de fotones...a ver si puedo obtener la ´Cruz de Eisntein´.
Intuyo que me va a costar mucho mas que lo que me ha costado entender algo
sobre la metrica de Schwarzschild !!!
Gracias y un saludo.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Envio un grafico, con lo que a mi me sale, para un emisor (E), 2 observadores
(O1) y (O2) y un agujero negro central, por si a alguien le interesa.



Hay que tener en cuenta que aquí, yo estoy jugando con valores de
K del orden de 6. (K =r_min / M) y el observador a r2/M= 20 y el emisor a
r1/M=15.
(K=2 es el horizonte de sucesos y K=3 es el horizonte ´oscuro´).

Para el caso de SagA y S02, tendriamos valores de K del orden de 2000
y el emisor está muy proximo y el observador muy lejano del AN.

Para el caso de la desviacion de fotones en el limbo solar tendriamos valores
de K del orden de 400.000 con un emisor muy lejano y un observador proximo.

Para el caso de SNRefsdal estimo una K del orden de 1.000.000 y el
emisor y el observador a aprox. la misma distancia...muy,muy lejanos.

Para el caso de PSR-B1257+12b, tendriamos valores de K del orden de 20.000.000
con un emisor proximo y un observador muy lejano. (En el caso que este exoplaneta
fuese un emisor).

(Aquí, el adjetivo de próximo y lejano son relativos y yo no puedo trabajar con cierta
precisión con emisores y observadores con K, r1, r2 muy, muy diferentes).

Gracias y un saludo.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

De todo lo que he visto en estas ultimas semanas, creo que hay 2 metodos
para explicar las multiples imagenes de las lentes gravitatorias.
La Relatividad General (1) y la Optica geometrica (2).

En cuanto a la RG, se pueden (o se podrian) usar la metrica de Schwarzschild (11)
o la metrica de Kerr (12).

En cuanto a (11), tenemos una ´lente´ puntual con simetria esferica y una fuente
que puede ser puntual, o no. Y todo consiste en ir trazando geodesicas nulas
entre el observador puntual y los puntos de la fuente en sus planos de
trabajo correspondientes y proyectar sobre un plano imagen.
(Este es un metodo muy laborioso y un tanto complicado. (Este es el que yo he
usado para dibujar mi ultimo grafico)).
Y esto produce, en el caso mas simple, con fuente puntual, 2 tipos de imagenes,
o bien, un ´circulo de Einstein´, en el caso de alineamiento perfecto, o bien, 2 imagenes
puntuales opuestas y asimetricas en el caso de alineamiento imperfecto.

En cuanto a (12), también tenemos una fuente puntual pero sin simetrias espacio.temporales.
Aqui, no hay trayectorias de fotones planas mas que en el plano ecuatorial (que son
las unicas relativamente faciles de calcular). Pero el plano ecuatorial puede estar
orientado en el espacio de cualquier forma...asi que, no nos sirve de mucho poder
calcular trayectorias de fotones planas. En cuanto a las orbitas no planas, no tengo
ni idea de como trazarlas...mucho menos de como hacerlas pasar por el observador
y un emisor puntual...Y mucho menos en el caso que el emisor no sea puntual...
De todas formas, no he visto a nadie que se refiera a la metrica de Kerr para
explicar lentes gravitatorias...

En cuanto a la Optica Geometrica, que es el metodo generalmente usado, hay
muchos casos pero creo que los mas importantes son, lente puntual-fuente puntual (21),
lente puntual-fuente no puntual (22), 2 lentes puntuales-fuente puntual (23), 2 lentes
puntuales-fuente no puntual (24).

En todos los casos anteriores, la lente puntual es un agujero negro de Schwarzschild
con distancias observador-lente, lente-fuente muy, muy grandes y parametros de
impacto muy grandes (angulos muy pequeños).
Aqui hay una ecuacion de la lente, un calculo de las curvas criticas y un calculo
de las superficies causticas. En el caso de 1 lente, la curva critica es el circulo de
Einstein y la superficie caustica es una linea orientada en la direccion observador-lente.

Para el caso (21), los resultados son identicos al metodo (11). Un punto dentro
de la curva critica y otro fuera o bien un circulo de Einstein.

Para el caso (22), se produce un ´anillo de Einstein´ en el caso de alineacion o
arcos opuestos y asimetricos centrados en los puntos del caso (21) en caso
de desalineacion.

En el caso (23), que es mas complicado, (Simula una distribucion de masa
elipsoidal separando mas o menos 2 masas esfericas), en el caso que la distancia
entre las 2 lentes sea pequeña, hay una ecuacion de la lente diferente de la de (21),
una curva critica parecida a ´un cacahuete´ y una superficie caustica
conica con una base romboide. (Esta base romboide puede estar orientada
en el plano de la lente con cualquier angulo).
Esto produce, en el caso de alineacion perfecta, 4 imagenes puntuales
opuestas y asimetricas 2 a 2 en cualquier angulo. (Una Cruz de Einstein puntual).

En el caso (24), que es similar al anterior, produce 4 manchas opuestas y
asimétricas 2 a 2. (Una Cruz de Eisntein).
En el caso (24) y en el caso de alineacion imperfecta y en el caso de
diferentes orientaciones de la base de la caustica, produce arcos y manchas
multiples...

En el caso de SNRefsdal, hay una galaxia de fondo, una supernova y
un cumulo de galaxias interpuesto actuando como lentes multiples...
Y aquí hay imagenes de todos los tipos.

(A mi nivel, todo esto me parece muy complicado de desarrollar
matematicamente. Pero creo que este metodo de la Optica Geometrica es
mas facil de simular por el ´Ray Tracing´ que por el metodo de la RG,
que no lo permite...)

Envio referencias a articulos por si a alguien le interesa profundizar en el tema:

1 The gravitational lens effect- Sjur Refsdal
2 The Chang-Refsdal lens revisited- Jin An, Wyn Evans
3 Gravitational lensing-Richard Ellis
4 Geodesicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr- Rafael Zamora Ramos
5 Il microlensing come metodo per la ricerca di pianeti extrasolari- Ilania Carleo
6 Gravitational lenses-Schneider, Ehlers, Falco
7 Visualization of the Chang-Refsdal lens
(Todo esto está en Internet).

Gracias y un saludo.

[Visitante]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Bueno. Al final he logrado manejar un poco el programa LIGHTWAVE y simular
los efectos de distorsion de imagen de una lente gravitacional simulando y jugando
con la posicion y orientacion espacial de lentes opticas con forma de base de copa...

Envio 6 imagenes por si a alguien le interesa.

La primera, es como se veria desde el observador, el objeto fuente sin ninguna
lente interpuesta.



La segunda, es el típico anillo de Einstein que se produce cuando el observador,
el emisor y el eje de la lente estan alineados.



La tercera, es un ejemplo de los 2 arcos asimetricos que se producen cuando
el observador, el emisor y, o bien, el centro de la lente y/o el eje de la lente
están desalineados.



(Estos 2 ultimos ejemplos, creo que reproducen bien el ejemplo clasico de una
lente gravitatoria de Schwarzschild).
(En estos casos, siempre se producen 2 arcos mas o menos extensos siempre
que haya alguna desalineacion entre observador, lente y emisor).

La cuarta, es un ejemplo de la Cruz de Einstein, esto se produce cuando el
observador, el emisor y la lente están alineados. Pero aquí, la lente no tiene
una simetria axial sino planar. (Esto creo que simula una lente gravitatoria
de Kerr).



La quinta, es un ejemplo como el anterior pero aquí el observador, la lente
y la fuente están desalineados.



(En estos 2 ultimos casos, se producen siempre 2,3,4 ´arcos´, ´manchas´
asimetricos).

Y la sexta, es un ejemplo con 2 lentes ´de Kerr´ interpuestas...
(Aqui ya hay infinitas posibilidades en funcion de las posiciones de las lentes,
las orientaciones de sus ejes en el espacio...Y pueden haber 2,3,4,5..´arcos´,´manchas´...).



Espero haber servido de alguna ayuda.
Gracias y un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Muy bonito, en especial "La quinta, es un ejemplo como el anterior pero aquí el observador, la lente
y la fuente están desalineados."


saludos